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第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
一、教学目标
【知识与技能】
了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.
【过程与方法】
经历动手、作图的过程,进一步发展空间能力.
【情感态度与价值观】
经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.了解多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等有关概念.
2.了解正多边形的基本性质.
【教学难点】
1.在多边形的概念中，对“在同一平面内”的理解.
2.对多边形对角线的理解.
3.对正多边形性质的理解.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、多边形图片等。
学生：三角尺、直尺、多边形纸片。
六、教学过程
（一）导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？（出示课件2-4）
（二）探索新知
1.师生互动，探究多边形的定义及其有关概念
教师问1：观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形？
学生回答：三角形、长方形、正方形、平行四边形、五边形、六边形、八边形等.
教师讲解引入多边形：上面这些图形我们要给出一个统一的名称，称它们为多边形.那么到底什么是多边形呢？我们先回忆一下三角形的定义.
教师问2：同学们想一想，什么是三角形呢？
学生回答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
做一做
教师讲解：请同学们拿出准备好的材料，随意画几个多边形.
教师问3：观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
学生回答：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形.（出示课件6）
教师问4：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
学生交流，教师讲解并强调“在平面内”，并总结：这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.根据边数的多少来命名为，有四条边就是四边形，有五条边就是五边形，依次命名为六边形、七边形、八边形…
学生问：观察这个多边形，为什么有一条边是虚线？
教师回答：虚线代表的是“不止一条边”，所以这个图形不仅可以代表七边形，也可以代表八边形、九边形等任意一个多边形.
教师问5：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角和对角线.
学生讨论回答，教师引导如下：
内角：多边形相邻两边组成的角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
对角线：连接多边形两个顶点的线段
教师问6：多边形按边数分类，可以分为哪一些呢？
学生回答：多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.（出示课件8）
教师总结如下：
(1)多边形的分类:多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. 其中,三角形是最简单的多边形.如图所示的多边形记作五边形ABCDE.
(2)多边形的边:所连接的线段叫做多边形的边. 如图中的AB、BC、CD、DE、EA都是五边形ABCDE的边.
(3)多边形的角:①内角:多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠EAB、∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA都是五边形ABCDE的内角;n边形共有n个内角.
②外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图中的∠DCF是五边形ABCDE的一个外角.n边形共有2n个外角,其中每个顶点处有两个相等的外角,这两个外角是对顶角.
(4)多边形的对角线:多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图中,AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线.
教师问7：回想三角形的表示方法，多边形应如何表示？
学生讨论回答并得出结论.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.（出示课件7）
教师问8：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？
学生讨论回答，并得出结论：
如图（2）这样，此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.（出示课件9）
例：凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
师生共同解答如下：（出示课件10）
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.
总结点拨：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
①从所截角的两边截，边数增加1.
②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.
③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.
2.动手画图，寻找多边形对角线的特征
教师问9：三角形有对角线吗？为什么？
学生回答：三角形没有对角线，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以没有对角线.
教师问10：四边形有对角线，过四边形的一个顶点有几条对角线？
学生画图并回答：过四边形的一个顶点有1条对角线.（如下图所示）
教师问11：过五边形的一个顶点有几条对角线？
学生回答：过五边形的一个顶点有2条对角线.(如下图所示)（出示课件13）
教师问12：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数，并看一下边数与对角线的条数之间有何规律？
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形
从同一顶点引出的对角线的条数 0 1 2 3 5 n-3
分割出的三角形的个数 1 2 3 4 6 n-2
学生动手操作并回答（如上表数字）
教师问13：每个多边形被过同一顶点的对角线分为几个三角形？
学生观察并回答（如上表数字）（出示课件14）
教师指导学生完成下列问题：
（1）学生画一画
画出下列多边形的全部对角线.（出示课件17）
（2）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题：
教师问14：十边形有多少条对角线？n边形呢？（出示课件18）
学生解答如下：（出示课件19）
解：∵四边形的对角线条数为4×(4－3)× ＝2.
五边形的对角线条数为5×(5－3)× ＝5.
六边形的对角线条数为6×(6－3)× ＝9.
∴十边形的对角线条数为10×(10－3)× ＝35.
n边形的对角线条数为 n(n－3) .
教师问15：多边形一共有多少条对角线呢？
学生讨论并回答，教师引导总结如下：（出示课件15）
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.
将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线 条.
例2：过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分割多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．
师生共同解答如下：
（出示课件16）解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，
∴n-3+n-2=21，
解得n=13．
答：该多边形的边数有13条．
3.自主探索正多边形的概念及基本性质
教师问16：观察下列图形，它们的边、角有什么特点？
学生回答：它们的边都相等，它们的角也都相等.
教师问17：像这样的多边形我们称为正多边形.请用自己的语言说明什么是正多边形？
学生回答：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
问题3：由定义可知，正多边形有什么性质？
学生回答：正多边形的各个角都相等，各条边都相等.
教师问18：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（出示课件21）
（四条边都相等） （四个角都相等）
学生回答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.
总结点拨：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
（三）课堂练习（出示课件24-27）
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
2. 九边形的对角线有（ ）
A. 25条 B. 31条
C. 27条 D. 30条
3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A.六边形 B .五边形
C.四边形 D.三角形
4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 __________边形.
5. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成________个三角形.
6. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m－k)n为多少？
参考答案：
1.B
2.C
3.A
4. 十三
5.六
6. 解：∵m＝10，n＝3，k＝5.
∴(m－k)n＝(10－5)3＝53＝125.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1.本节主要学习多边形及有关概念，多边形的分类和正多边形的概念及基本性质.
2.本节涉及的思想方法是类比思想.
（五）课前预习
预习下节课（11.3.2）的相关内容。
知道多边形的内角和及多边形的外角和
七、课后作业
1、教材21页练习1,2
2、我们知道各边都相等,各角都相等的多边形是正多边形,小明却说各边都相等的多边形就是正多边形,各角都相等的多边形也是正多边形,他的说法对吗 如果不对,你能举反例(画出相应图形)说明吗
八、板书设计：
九、教学反思：
本节的知识内容是在三角形有关知识的基础上，类比对三角形有关性质的探索过程，对多边形及其有关性质进行探究.在教学过程中，教师通过不断提问，以引导学生从新知识中发现与以前所学知识的相似之处，运用类比思想解决问题.
在教学设计上，关注学生的思维变化，关注学生得出结论的过程，让学生体会数学知识的环环相扣，重视基础知识的学习.

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