资源简介

学科培优 数学
“分数与小数的混合运算”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生在运算顺序正确的前提下，通过一定题目的训练，熟练把握分数和小数之间的互化，从而使题目化繁为简。
知识梳理
一、分数和小数的定义：
分数：表示把一个“单位1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，叫做分数
（分成零份在此不讨论）
分数又分为真分数、假分数和带分数。
真分数：分子比分母小的分数叫真分数。
假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。（分母、分子为零在此不讨论）
带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。
小数：分母是10n的（n为自然数）分数叫做“十进分数”。由于任何一个“十进分数”都能写成小数的形式，例如：7/10＝0.7，7/10^2＝0.07等等，所以一般而言，小数是特殊形式的分数。（但是不能说小数就是分数）
小数分为有限小数和循环小数。
一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字
叫做这个循环小数的循环节。例如：0.3333……循环节是“3”
2.14242……循环节是“42”
二、分数与小数混合运算时的运算顺序：
在整数四则混合运算中，有加、减法，又有乘、除法，要先算乘、除法，后算加、减法；有小括号、中括号、大括号的，要先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
【授课批注】
高年级同学有时会遇到幂的运算——即：2次方或者3次方等，做题时，应首先进行括号的运算，然后是幂，后面才是乘除和加减。
三、分数与小数混合运算的技巧：
在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
【授课批注】
技巧2中提到的循环小数化分数会在题目中具体进行讲解。
技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
【授课批注】
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
和不变规律：a+b=(a+c)+(b-c)=(a-c)+(b+c)
减法的性质：a-b-c=a-(b+c)
(a-b)+(c-d)=(a-d)+(c-b) (a>d,c>b)
差不变规律：a-b=(a-c)-(b-c)=(a+c)-(b+c)
乘法交换率：a×b=b×a
乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c
积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)
技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
除法 除不尽(按四舍五入计算)
除法 比 分数 小数 百分 除法 比 分数 小数 百分
1÷2 1:2 1/2 0.5 50% 1÷3 1:3 1/3 0.33 33%
1÷4 1:4 1/4 0.25 25% 2÷3 2:3 2/3 0.67 67%
1÷5 1:5 1/5 0.2 20% 1÷6 1:6 1/6 0.17 17%
2÷5 2:5 2/5 0.4 40% 5÷6 5:6 5/6 0.83 83%
3÷5 3:5 3/5 0.6 60% 1÷7 1:7 1/7 0.14 14%
4÷5 4:5 4/5 0.8 80% 2÷7 2:7 2/7 0.29 29%
1÷8 1:8 1/8 0.125 12.5% 3÷7 3:7 3/7 0.43 43%
3÷8 3:8 3/8 0.375 37.5% 4÷7 4:7 4/7 0.57 57%
5÷8 5:8 5/8 0.625 62.5% 5÷7 5:7 5/7 0.71 71%
7÷8 7:8 7/8 0.875 87.5% 6÷7 6:7 6/7 0.86 86%
1÷10 1:10 1/10 0.1 10% 1÷9 1:9 1/9 0.11 11%
3÷10 3:10 3/10 0.3 30% 2÷9 2:9 2/9 0.22 22%
7÷10 7:10 7/10 0.7 70% 4÷9 4:9 4/9 0.44 44%
9÷10 9:10 9/10 0.9 90% 5÷9 5:9 5/9 0.56 56%
3÷2 3:2 3/2 1.5 150% 7÷9 7:9 7/9 0.78 78%
5÷4 5:4 5/4 1.25 125% 8÷9 8:9 8/9 0.89 89%
7÷5 7:5 7/5 1.4 140% 4÷3 4:3 4/3 1.33 133%
备注 除尽是指除数(前项、分子)除以除数（后项、分母）得商不出现循环（或无限循环）小数；除不尽与除尽相反，是无限循环小数。
【重点难点解析】
计算时分数和小数的互化。
循环小数化分数的规则。
【竞赛考点挖掘】
将该类型题目转化为解方程问题。
循环小数化分数。
例题精讲
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】
计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】
解关于x的方程
【试题来源】
【题目】已知，那么□=_______
习题演练
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】将下列算式的计算结果写成带分数：
【试题来源】
【题目】计算 7÷÷1
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】求下述算式计算结果的整数部分
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】求□代表的数是多少
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】已知 ，则x等于多少
【试题来源】
【题目】计算
【试题来源】
【题目】某学生将1.2乘以一个数a时，把1.2误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少 学科培优 数学
“分数与小数的混合运算”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生在运算顺序正确的
前提下，通过一定题目的训练，熟练把握分数和小数之间的互化，从而使题目化
繁为简。
知识梳理
一、分数和小数的定义：
分数：表示把一个“单位 1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，
叫做分数
（分成零份在此不讨论）
分数又分为真分数、假分数和带分数。
真分数：分子比分母小的分数叫真分数。
假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。（分母、分
子为零在此不讨论）
带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。
带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。
小数：分母是 10n 的（n 为自然数）分数叫做“十进分数”。由于任何一个
“十进分数”都能写成小数的形式，例如：7/10＝0.7，7/10^2＝0.07等等，所
以一般而言，小数是特殊形式的分数。（但是不能说小数就是分数）
小数分为有限小数和循环小数。
一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复
出现，这个小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字
叫做这个循环小数的循环节。例如：0.3333……循环节是“3”
2.14242……循环节是“42”
二、分数与小数混合运算时的运算顺序：
在整数四则混合运算中，有加、减法，又有乘、除法，要先算乘、除法，后
算加、减法；有小括号、中括号、大括号的，要先算小括号，再算中括号，最后
算大括号。
【授课批注】
高年级同学有时会遇到幂的运算——即：2次方或者 3次方等，做题时，应首先
进行括号的运算，然后是幂，后面才是乘除和加减。
三、分数与小数混合运算的技巧：
在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成
分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，
要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化
成小数。
技巧 1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧 2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成
小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
【授课批注】
技巧 2中提到的循环小数化分数会在题目中具体进行讲解。
技巧 3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧 4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
【授课批注】
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
和不变规律：a+b=(a+c)+(b-c)=(a-c)+(b+c)
减法的性质：a-b-c=a-(b+c)
(a-b)+(c-d)=(a-d)+(c-b) (a>d,c>b)
差不变规律：a-b=(a-c)-(b-c)=(a+c)-(b+c)
乘法交换率：a×b=b×a
乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c
积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)
技巧 5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，
把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
除法 除不尽(按四舍五入计算)
除法 比 分数 小数 百分 除法 比 分数 小数 百分
1÷2 1:2 1/2 0.5 50% 1÷3 1:3 1/3 0.33 33%
1÷4 1:4 1/4 0.25 25% 2÷3 2:3 2/3 0.67 67%
1÷5 1:5 1/5 0.2 20% 1÷6 1:6 1/6 0.17 17%
2÷5 2:5 2/5 0.4 40% 5÷6 5:6 5/6 0.83 83%
3÷5 3:5 3/5 0.6 60% 1÷7 1:7 1/7 0.14 14%
4÷5 4:5 4/5 0.8 80% 2÷7 2:7 2/7 0.29 29%
1÷8 1:8 1/8 0.125 12.5% 3÷7 3:7 3/7 0.43 43%
3÷8 3:8 3/8 0.375 37.5% 4÷7 4:7 4/7 0.57 57%
5÷8 5:8 5/8 0.625 62.5% 5÷7 5:7 5/7 0.71 71%
7÷8 7:8 7/8 0.875 87.5% 6÷7 6:7 6/7 0.86 86%
1÷10 1:10 1/10 0.1 10% 1÷9 1:9 1/9 0.11 11%
3÷10 3:10 3/10 0.3 30% 2÷9 2:9 2/9 0.22 22%
7÷10 7:10 7/10 0.7 70% 4÷9 4:9 4/9 0.44 44%
9÷10 9:10 9/10 0.9 90% 5÷9 5:9 5/9 0.56 56%
3÷2 3:2 3/2 1.5 150% 7÷9 7:9 7/9 0.78 78%
5÷4 5:4 5/4 1.25 125% 8÷9 8:9 8/9 0.89 89%
7÷5 7:5 7/5 1.4 140% 4÷3 4:3 4/3 1.33 133%
除尽是指除数(前项、分子)除以除数（后项、分母）得商
备注 不出现循环（或无限循环）小数；除不尽与除尽相反，是
无限循环小数。
【重点难点解析】
1. 计算时分数和小数的互化。
2. 循环小数化分数的规则。
【竞赛考点挖掘】
1. 将该类型题目转化为解方程问题。
2. 循环小数化分数。
例题精讲
【试题来源】
1 2
【题目】计算 5.2 3 1 0.7
5 3
11
【答案】
24
52 16 5 7 52 5 5 7 13 7 5 1 11
【解析】原式=
10 5 3 10 10 16 3 10 8 6 8 6 24
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
4 5
【题目】计算 0.32 0.375
15 9
1
【答案】1
24
4 8 5 3 5 5 1
【解析】原式= 1
15 25 9 8 6 24 24
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
1997
计算 1997 1997
1998
1
【答案】1
1998
1997 1997 1 1
【解析】原式=（1997 ） 1997 1997 1997 1997 1 1
1998 1998 1998 1998
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
1997
【题目】计算 1997 1997
1998
1998
【答案】
1999
【解析】本题考察学生对带分数的灵活转化及四则运算定律的准确理解
本题非常容易出现的一种错误解法是：
1997 1997 1997
1997 1997 1997 (1997 ) 1997 1997 1997 1 1998 1999
1998 1998 1998
也就是学生会惯性的理解为除法具有除法分配率！正确的解法如下：
1997 1997 1998 1997 1997 1999 1998 1998
1997 1997 1997 1997 1997
1998 1998 1998 1999 1997 1999
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
3 8 2 5 7
【题目】计算 18 0.65 18 1
7 13 7 13 13
31
【答案】3
140
【解析】
3 2 8 5 13 3 2 8 5 18 13 31
18 18 0.65 18 ( ) 0.65 （ ） 3
7 7 13 13 20 7 7 13 13 7 20 140
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
解关于 x的方程
x 1 1 1
(x 151 ) 2.4 5 3
8 3 2 2
【答案】144
x 1 1 1
【解析】 (x 151 ) 2.4 5 3
8 3 2 2
x 1
x 50.5 15.5
8 3
11x
66
24
x 144
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
1 2
【题目】已知16.2 [(4 700□) 1 ] 8.1，那么□=_______
7 7
【答案】0.005
【解析】设□为 x，于是此题转化为解关于 x的方程。
1 2
16.2 [(4 700x) 1 ] 8.1
7 7
1 2
[(4 700x) 1 ] 8.1 16.2
7 7
1 1 9
4 700x
7 2 7
1
700x 3
2
x 0.005
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
9.6 89 1103 24
【题目】计算
1993 25 1993
【答案】0.96
【解析】原式=
89 24 1103 89 1103 890 1103
9.6 0.96 0.96 0.96 ( ) 0.96
1993 25 1993 1993 1993 1993 1993
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
16 5 25
8 59
【题目】计算 31 102 17
33 3 32

512 236 93
3
【答案】9
5
【解析】
16 5 25
8 59
31 102 17 16 5 17 512 3 93 264 5 17 59 512 3 93 3 8 59 9
33 3 32 31 102 25 33 236 32 31 102 25 33 236 32 5

512 236 93
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
0.5 236 59
【题目】将下列算式的计算结果写成带分数：
119
60
【答案】58
119
0.5 236 59 118 59 1 59 60
【解析】原式= = = (1 ) ×59=59- =58
119 119 119 119 119
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
4480 21934 18556
【题目】计算 7 ÷ ÷1
8333 25909 35255
5
【答案】5
6
4480 21934 18556
【解析】7 ÷ ÷1
8333 25909 35255
62811 25909 35255
=
8333 21934 53811
3 7 3 997 13 1993 5 641 11
=
13 641 2 11 997 3 3 3 1993
7 5
=
2 3
5
=5
6
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】5
【试题来源】
1 5 3 2 19
【题目】计算 (4.85 3.6 6.15 3 ) 5.5 1.75 (1 )4 18 5 3 21


【答案】10
1 7 5 7 19
【解析】原式= 3.6 (4.85 1 6.15) 5.5
4 4 3 4 21
1 35 19
= 3.6 10 5.5 9 5.5 4.5 10
4 12
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
1
【题目】计算 41.2 8.1 11 9 537 0.19
4
【答案】537.5
【解析】
原式=412 0.81 11 9.25 0.19 (412 125)
=412 (0.81 0.19) 11 9.25 0.19 125
=412 11 8 11 1.25 0.19 1.25
=412 88 37.5
=537.5
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
2 2 5 5
【题目】计算 (9 7 ) ( )
7 9 7 9
【答案】13
【解析】
65 65 5 5 5 5 5 5
原式= ( ) ( ) = 13 ( ) ( ) 13
7 9 7 9 7 9 7 9
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
1 2 3 2 4 6 4 8 12 7 14 21
【题目】计算
1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35
2
【答案】
5
【解析】
1 2 3 (13 23 43 73) 1 2 3 2
原式=
1 3 5 (13 23 43 73) 1 3 5 5
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
1 1 1 1 1 1
【题目】求下述算式计算结果的整数部分 ( ) 385
2 3 5 7 11 13
【答案】517.
【解析】
1 1 1 1 1 1
原式= ( 385 385 385 385 385 385
2 3 5 7 11 13
192.5 128.3 77 55 35 29.6
517.4
所以原式的整数部分是 517．
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
148 86 74
【题目】计算 39 148 48
149 149 149
【答案】148
【解析】
39 86 24 39 86 24
148 148 148 148 ( ) 148
149 149 149 149 149 149
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
5 9
19 3 5.22
9 10 1993 0.4 1.6
【题目】计算 ( )
5 27 1995 0.5 1995
19 6 5.22
9 50
5
【答案】
4
【解析】
5
19 1.32
9 1993 0.4 0.8 0.4 (1993 2) 4 5原式＝ ÷ =1 =1 =
5 1995 0.5 1995 0.5 5 4
19 1.32
9
【知识点】分数与小数的混合运算
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
99
【题目】计算99 99 99
100
【答案】9999
【试题来源】
2 1 8
【题目】求□代表的数是多少 [(6.5 ) 3 1 ] (□ 71.95） 10
3 2 15
1
【答案】3
20
【试题来源】
117 1112 1 13 41
【题目】计算 (6 8 ) (3 3 )
665 1995 13 17 221
【答案】133
【试题来源】
1 8
【题目】已知 ，则 x等于多少
1 11
1
1
2
1
x
4
【答案】1。25
【试题来源】
1
2.1 0.54 55
【题目】计算 110
1
54 0.21 4
5
1
【答案】
2
【试题来源】
· ·
【题目】某学生将 1.23乘以一个数 a时，把 1.23误看成 1.23，使乘积比正确结果减少 0.3．则
正确结果该是多少
· · 3 3
【答案】由题意得：1.23a-1.23a=0.3，即：0.003a=0.3，所以有： a= ．解得 a= 90，
900 10
· · 23-2 111
所以 1.23a =1.23× 90=1 ×90= × 90=111．
90 90

展开更多......

收起↑