资源简介

《折纸做60°，30°，15°的角》教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容
本节课是人教版义务教育教科书《数学》八年级下册第十八章《平行四边形》章末数学活动一：“折纸做60°,30°,15°的角”.
内容解析
本节内容是教材在“三角形”、“轴对称”“平行四边形”、“尺规作图”等知识基础上安排的一次“综合与实践”活动.
之前，教材已呈现折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称、全等、菱形等活动，学生也已积累丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础.学生通过折纸做角活动，对特殊平行四边形、轴对称、线段垂直平分线、直角三角形等相关知识进行了复习，将数学知识与折纸有机融合，学生动手、动脑、动心、动口，多思、多做、多说，分析推理、动手操作、大胆猜想、理论论证，从而解决问题.这个过程不但激发学生的学习兴趣，巩固已学知识，深化对知识的理解运用，还为后续学习旋转、圆、相似三角形等埋下伏笔，也为学习黄金分割打下基础，因此，具有承上启下的作用.
从综合实践课程的角度看，通过折纸，发展学生的几何直观，既是对学生之前积累的数学活动经验和数学活动能力的巩固和提升，也是为学生进一步学习图形变化和几何论证、强化动手操作能力奠定基础.加深了解所学知识之间的联系，加强数学与生活的联系，积累活动经验，培养应用能力、实践能力和元认知能力，为后继知识的学习和数学实践活动奠定认知基础.进一步理解相关知识，发展学生的应用意识和能力.
本节教学内容蕴含丰富的文化价值资源，折纸不仅是一门艺术，也是中国传统文化之一，被广泛应用于航天等高科技领域，有利于激发学生探究欲望与爱国情感.
二、目标和目标解析
（一）目标
（1）能利用矩形纸片折出60°，30°，15°的角；
（2）通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特殊三角形、四边形等知识的认识；
（3）经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动过程，积累数学活动经验.
（二）目标解析
达成目标（1）的标志是：首先，经历分析推理、尝试折叠，学生能运用“等边三角形的判定”、“垂直平分线的判定”等知识，设计出用矩形纸片折60°角的方案；其次是进行实验操作折出60°角；最后是能利用角的倍分关系或组合，顺利折出30°、15°、120°、150°等相关的角.
达成目标（2）的标志是：通过分析推理、尝试折叠，学生能够将折60°角转化为先折等腰三角形，从而得出等边三角形；通过一题多解的方式，学生能综合运用轴对称、全等三角形等知识，证明折出的角是30°；通过折纸做给定角过程的反思再认，能理解折叠的本质是轴对称；通过折尽可能多的平面图形和立体图形，系统整合特殊的三角形、四边形等知识.
达成目标（3）的标志是：首先是学生通过独自思考、小组合作、动手操作，不仅能折出特殊角，还能折出特殊的平面图形、立体图形；其次是学生能够熟练运用转化思想，将复杂问题简单化，将未知信息已知化，设计出用矩形纸片折60°角的方案；最后，通过中考链接，能够从命题人角度思考命题规律.
三、学生学情分析
学生已经学移、轴对称等基本图形变化，角平分线、平行线、三角形全等、四边形等知识，教材选取学生熟悉的折纸游戏为研究和学习的内容，可以激发学生学习兴趣，让学生感受到折纸的趣味性与实用性.
笔者所教班级的学生基础扎实，思维灵活，已基本具备运用所学知识解决问题的能力.不过，学生的操作和探究经验欠缺，归纳能力尚需提升，严密的推理能力还有待进一步提高.
综合课标要求、教材内容及学生实际，确定本节课教学重难点为：
教学重点：学生通过折纸做特殊角；从几何直观到抽象的数学语言描述，用多种方法推理证明所折的角为30°.
教学难点：尝试折叠、分析推理，设计折60°角方案.
四、教学策略分析
为体现数学新课程标准和新教材要求，真正体现数学活动课的特点，通过设计课堂活动，让学生经历折叠、观察、猜想、推理、交流、反思等理性思维过程，培养学生的动手能力、观察能力和创新能力，发展学生对几何图形的认知能力.因此，在学习方式上，采用动手实践、自主探究和合作交流相结合的方式，使学生学习过程更直观、生动、形象.
（一）教法
在教学策略上，采用任务驱动、启发式教学方法，既关注学生折叠的结果，更关注他们折叠方案的设计与折叠的过程.营造自主探索与合作交流的氛围，在观察、思考、讨论等活动中提高教学效率，加强学生自主学习和合作探究的意识与能力.
（二）学法
注重学生动手操作、自主探究、合作交流，引导学生动手、动脑、动心、动口，促进学生思维发展，落实核心素养的培养.
（三）教学媒体
多媒体课件、几何画板、矩形纸片、导学案等.
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
问题情境：
如果你身边没有三角板，也没有任何作图工具，只有一张矩形纸，我们又需要用三角板中的特殊角，怎么办？
学生认为可以想办法用纸折角.
教师展示关于折纸艺术的图片，并自然导入新课：折纸是一门艺术，也是中国的传统文化之一.在折纸过程中蕴含着许多数学知识，今天我们就从数学角度研究如何通过折纸做这些特殊角.
【设计意图】从学生熟悉的数学工具——三角板出发，创设与教学内容密切相关的生活情境，呈现数学与生活的联系，激发学生学习的兴趣和动力，为教学活动做情感铺垫.让学生在欣赏作品艺术魅力的同时，体会中国优秀传统文化的博大精深，增强学生文化自信.
（二）提出问题，深度思考
生尝试折叠45°角，并得到结论：对折可以平分一个角，为进一步探究做铺垫.
问题1：怎么折出60°，30°，15°角呢？
生思考，并分享想法，说明理由.
【设计意图】引导学生联系所学，观察分析，从而找到其内在联系，认识到因为它们具有倍分关系，只要折出60°，将其对折，就可以得到30°，再对折30°，就可以得到15°，从而形成解决问题的思路.
（三）动手操作，实验探究
问题2：怎么折出60°角？
生思考.
追问1：看到60°，你想到了哪些几何图形？
生回答.
追问2：利用矩形纸，怎么折出等边三角形？
追问3：一下子折出三边相等，有一定的难度，怎么将这个较难的问题转化为简单问题？
学生思考，得出：可以先折出两边相等，再构造第三条边与这两条边相等，即先折出等腰三角形，从而得出等边三角形.
学生小组合作，尝试折叠.教师巡视指导，参与讨论.
学生小组分享，教师根据学生分享情况加以点拨.
生1：先过点B，将AB折叠到任意一个位置，比如BN处，那么就得到了两条相等的线段，AB=BN，如果再让BN=AN，就可以使三边相等.根据线段垂直平分线的判定定理，得知点N应该在线段AB的垂直平分线上.接着，对折矩形，就得到了线段AB的垂直平分线.然后，再次折叠，使点A落在折痕EF上，这样得到的三角形ABN就是等边三角形.
生2：我们调整了折叠顺序，先对折矩形，得到折痕EF，然后再次折叠，使点A落在EF上，得到折痕BM。这样折叠起来，更简单.
教师运用在线画板展示折叠方法、分析过程，帮助学生更清晰地认识折等边三角形的本质.
并总结：折叠是图形的变化方式之一，解决图形变化问题的关键是寻找不变量，也就是动中求静，动中求定。动图1的变化过程中，A点在动，B点不动；动点A到定点B的距离始终等于定长AB。说明在折叠过程中，点A 的运动轨迹就是一个圆，在这里，是一段弧。
对折矩形ABCD，折痕EF上任意一点，到点A,B的距离都相等，折痕EF与刚才形成的这段弧的交点，即为点A的对应点，N的位置。
【设计意图】一方面，学生数形结合，由度数想到与之相关的图形；同时，引导学生将困难的问题转化为简单的问题，先折出两边相等，然后让第三条边与这两条边相等，也就是先折出等腰三角形，进而得到等边三角形.而等边三角形的三个内角都是60°，从而折出60°角.另外，学生通过折叠、分析推理，动手、动脑、动心，探究折等边三角形的方法，让学生经历折角过程，积累活动经验，培养学用结合、手脑结合的能力.通过一题多法，促进学生思维的灵活性、敏捷性和创造性.
问题3：怎么折出30°角？
追问：请找出图中所有的30°度角.
学生思考，并表示对折60°角可以得到30°角，同时，在探究折60°角的过程中，已经存在30°角。
【设计意图】类比折45°角的方法，学生探索如何折30°角.
（四）引发猜想，理论验证
问题4：怎么证明你折出的角是30°？
请同学们尝试证明，并小组派代表分享.
学生点评，教师根据学生分享、点评情况加以点拨，引导学生寻找解决问题的不同策略.
追问1：折叠的本质是什么？
追问2：轴对称有哪些性质？
【设计意图】引导学生从折叠的本质思考折特殊角，从定义出发解答题目，思路清晰，过程简单.
问题5：怎么折出15°角呢？
追问：120°，150°角呢？
总结：对折可以平分一个角，利用角的倍分关系或组合，就很容易折出15°，60°，120°，150°等等.
【设计意图】类比45°角的折叠方法，让学生感受对折可以平分一个角，还可以把一个角分成2n等份.借助得到的特殊角，通过对折、找补角以及和差，我们还可以得到120°，150°等等.增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性.
（五）发散思维，拓展延伸
同学们，刚才我们利用矩形纸，折出了这些特殊角，实际上，这个图形就是一个宝藏，我们可以从中继续挖掘更多、更有意思的数学结论和数学元素，下面我们继续研究.
问题6：请再看这个图，找到尽可能多的60°角.
问题7：你能找到几个等边三角形？
问题8：如果这个矩形足够长，继续翻折，请观察，四边形BGHM是什么图形？
问题9：还能得到哪些几何图形，请探究.
学生尝试折叠，学生代表展示折出的几何图形，如：等边三角形，等腰三角形，直角三角形，直角梯形，等腰梯形，菱形，正六边形，正三棱锥，正六面体，棱台......
总结：通过大家认真积极的探究，我们不仅折出特殊角，还得到特殊几何图形.一张小小的矩形纸片，由点——线——面——体，连接平面几何与立体几何.由90°得到60°，30°，也相当于把90°角三等分.通过尺规作图，把一个任意角三等分，现在还解决不了，也是世界三大几何难题之一，但是，通过折纸，可以实现,这也正是折纸的魅力所在.
【设计意图】由特殊角到特殊图形，由平面图形到立体图形，让学生在获得知识、技能、和方法的同时，让知识在实践中巩固内化，同时也培养了学生大胆探索、善于创造的意识，培养学生发散思维能力，充分感受数学知识体系的完整与神奇.
（六）中考链接，目标检测
折叠问题在中考中也经常出现，请看今年的中考链接.
(2022年)23.(10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD , 使AD与BC 重合，得到折痕EF, 把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P , 沿BP 折叠，使点A落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM,BM.
根据以上操作，当点M 在 EF 上时，写出图1中一个30°的角： .
（2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1)中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ,连接BQ.
①如图2,当点M 在EF 上时，∠MBQ= °，∠CBQ= °；
②改变点P 在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3,判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由.
（3)拓展应用
在（2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm, 当FQ=1cm时，直接写出AP 的长.
教师引导学生审题，分析其中的命题规律，并尝试从命题人角度，思考，沿着第二问的命题思路，接下来，可以如何命题.
生1：第二问将矩形换成了正方形，那么，还能不能换成其他图形？比如我们所学的菱形，平行四边形......
生2：学习四边形时，我们主要从边、角、对角线三方面进行研究，而在第二问，主要围绕角编题，所以我觉得下面可以围绕边，也就是线段的长度编题.
【设计意图】链接中考，让学生感受数学折纸活动在中考中的地位，及时将中考信息传递给学生，服务中招考试需要.引导学生从命题人的角度思考，如何编题，体会中考试题源于课本.
（七）课堂小结，梳理知识
1.利用矩形纸片，你能折出哪些特殊角、哪些特殊图形？
2.在探索和证明的过程中，用了哪些知识？体现了哪些数学思想？
【设计意图】梳理知识，重构知识结构，养成学生归纳总结的习惯，培养学生整理归纳的能力，也从知识、能力、思想方法等方面让学生对折叠的本质有一个深刻认识.
（八）联系时事，应用折纸
神奇的折纸，也被广泛应用于航天等高科技领域，如我国6月5日发射成功的神州十四，其中的卫星太阳帆和降落伞，就采用了折纸结构.并播放视频，让学生了解其中的科学原理.
【设计意图】这是本节课的升华之处，挖掘了教学内容蕴含的文化价值和科技资源，让学生感受到折叠问题不仅是中考知识学习中的重点，在生活中，尤其是高科技领域，也有广泛应用，从而激发学生探究欲望与爱国情怀，增强学生文化自信，升华折纸艺术的科学价值.较好地并让学生了解卫星太阳帆和降落伞中的折纸原理，让学生知其然更知其所以然，渗透对学生学习品质、学习习惯的培养.
（九）引用名言，教师寄语
我国伟大的数学家华罗庚先生曾说，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.
希望同学们在今后的学习中善于观察，敢于猜想，不断感受数学的魅力，并用所学为祖国发展做贡献！
【设计意图】让学生感受数学无处不在，寄语学生感受数学的魅力，并用所学为祖国发展做贡献！
（十）特色作业，拓展延伸
1.必做题：通过折叠，自己制作一副三角尺.
2.选做题：上网查阅折30°角的更多方法，并思考其中的数学道理.
3.拓展题：在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，E是AD上的一个动点，把 ABE沿着BE折叠，当点A的对应点N落在矩形ABCD的对称轴上时，求折痕BE的长.
【设计意图】分层作业对不同层次的学生提出不同的练习要求，使不同层次的学生在原有基础上有所进步，让不同的学生有不同的收获，提高学生学习数学积极性的目的.同时，设置第3问拓展题，让学生思考折叠后，线段所在的不同位置，为下节课学习做铺垫.
六、课堂教学目标检测
（一）课内检测：中考链接，检验所学
折叠问题在中考中也经常出现，请看今年的中考链接.
(2022年)23.(10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD , 使AD与BC 重合，得到折痕EF, 把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P , 沿BP 折叠，使点A落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM,BM.
根据以上操作，当点M 在 EF 上时，写出图1中一个30°的角： .
（2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1)中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ,连接BQ.
①如图2,当点M 在EF 上时，∠MBQ= °，∠CBQ= °；
②改变点P 在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3,判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由.
（3)拓展应用
在（2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm, 当FQ=1cm时，直接写出AP 的长.
（二）课外检测：分层作业，铺垫将学
1.必做题：通过折叠，自己制作一副三角尺.
【设计意图】检验学生是否能独立折出45°，30°，60°角，达成教学目标（1）.
2.选做题：上网查阅折30°角的更多方法，并思考其中的数学道理.
【设计意图】让学有余力的学生，探究30°角的不同折法，激发学生兴趣，拓展学生思维，使学生能够通过学习不同折法，更加系统整合所学，加深对轴对称、全等三角形等知识的认识，积累数学活动经验，达成教学目标（2）、（3）.
3.拓展题：在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，E是AD上的一个动点，把 ABE沿着BE折叠，当点A的对应点N落在矩形ABCD的对称轴上时，求折痕BE的长.
【设计意图】通过让学生提前探究折叠后线段所在的不同位置，为下节课学习做铺垫.

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