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专题22正弦定理、余弦定理--2023届（新高考）数学高频考点+重点题型
一、关键能力
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
二、教学建议
从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2023届会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型.
三、自主梳理
1． 正弦定理
＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．
常用变形：
① a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
② sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A．
2． 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
cosA＝，cosB＝，cosC＝．
3． 三角形中的常见结论
(1) A＋B＋C＝π．
(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB．
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC的面积公式
① S＝a·h(h表示a边上的高)；
② S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝；
③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
④ S＝，其中P＝(a＋b＋c)．
四、高频考点+重点题型
考点一、三角形中求边、求角、求周长、求面积
例1-1（求角）
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝
(3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝
例1-2（求边）
（1）已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A．2　　　　　B．1 C. D.
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，cos(A＋C)＝－，则c＝(　　)
A. B．5 C. D.
例1-3（求面积）
在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)
A. B．
C. D．
对点训练1.(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
对点训练2.【2020·江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
对点训练3.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；(2)若sin A＋sin C＝，求C.
考点二、求角、边、面积、周长的范围或最值
例2-1.在△ABC中，A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
例2-2.（2021·四川省成都外国语学校）在锐角中， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2-3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.
例2-4．（2021·四川省）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，当面积最大时，此时的为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．不能对形状进行判断
例2-5．（2021·全国高三（文））在锐角中，若，则的范围（ ）
A． B． C． D．
考点三、判断三角形的形状
例3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
对点训练1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
对点训练2.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
考点四、多个三角形组合图形的求解
例4-1.(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.
例4-2．（2021·四川外国语大学附属）如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.
巩固训练
一、单项选择题
1． 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
在△ABC中，AB＝，BC＝，A＝60°，则角C的值为(　　)
A. B.
C. D.或
3． 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)
A. B．
C. D．
5．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
6．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
二、多项选择题
7． 已知在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的可能值为( )
A． B． C． D．
8． 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
三、填空题
9． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
10． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为__________．
11． 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．
12．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.
四、解答题
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＝，sinA＝cosB．
(1) 求tanB的值；
(2) 若c＝，求△ABC的面积．
14．(2019·全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A。
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。专题22正弦定理、余弦定理--2023届（新高考）数学高频考点+重点题型
一、关键能力
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
二、教学建议
从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2023届会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型.
三、自主梳理
1． 正弦定理
＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．
常用变形：
① a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
② sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A．
2． 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
cosA＝，cosB＝，cosC＝．
3． 三角形中的常见结论
(1) A＋B＋C＝π．
(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB．
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC的面积公式
① S＝a·h(h表示a边上的高)；
② S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝；
③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
④ S＝，其中P＝(a＋b＋c)．
四、高频考点+重点题型
考点一、三角形中求边、求角、求周长、求面积
例1-1（求角）
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝
(3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝
【解析】　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
结合b(2)∵(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.
所以cos A＝＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(3)因为a2＋b2－c2＝2abcos C，且S△ABC＝，
所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1.
又C∈(0，π)，故C＝.
例1-2（求边）
（1）已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A．2　　　　　B．1 C. D.
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，cos(A＋C)＝－，则c＝(　　)
A. B．5 C. D.
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由正弦定理＝ b＝＝.
【解析】（2）因为cos(A＋C)＝－，所以cos B＝，又因为a＝3，b＝2，所以b2＝c2＋a2－2cacos B，即4＝c2＋9－2c，即c2－2c＋5＝0，解得c＝.
例1-3（求面积）
在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.
对点训练1.(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
【解析】方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
对点训练2.【2020·江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【解析】（1）在△ABC中，因为，
由余弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，
得，
所以
（2）在△ABC中，因为,所以为钝角，
而,所以为锐角.
故则.
因为，所以，.
从而
对点训练3.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；(2)若sin A＋sin C＝，求C.
【解析】(1)由题设及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝2或c＝－2(舍去)，从而a＝2.
所以△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)因为在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝.
而0°＜C＜30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
考点二、求角、边、面积、周长的范围或最值
例2-1.在△ABC中，A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由1－≤，得：a(a＋c)＋b(b＋c)≥(b＋c)(a＋c)，化简得：a2＋b2－c2≥ab，同除以2ab，利用余弦定理得cos C≥，所以0＜C≤.
例2-2.（2021·四川省成都外国语学校）在锐角中， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得
因为三角形是锐角三角形，
所以.
由正弦定理得.
所以.
例2-3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.
【解析】　由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.
例2-4．（2021·四川省）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，当面积最大时，此时的为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．不能对形状进行判断
【答案】C
【解析】，当取最大值，面积最大，
由余弦定理可得，，
解得，当等号成立，
所以为等边三角形.
故选：C.
例2-5．（2021·全国高三（文））在锐角中，若，则的范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得
=2cosB，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，
即有 0＜B＜， 0＜C=2B＜，0＜π-A-B=π-3B＜，
解得＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴，故选A．
考点三、判断三角形的形状
例3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
【解析】由又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin C即sin(A＋B)所以sin Acos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
对点训练1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析：由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
对点训练2.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】(1)由已知得sin2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.
所以2＝0，所以cos A＝.
由于0＜A＜π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由(1)知A＝，B＋C＝，
所以sin B－sin＝sin，
即sin B－cos B＝，从而sin＝.
由于0＜B＜，故B＝.从而△ABC是直角三角形．
考点四、多个三角形组合图形的求解
例4-1.(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB
⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.
【解析】依题意得，AE＝AD＝.
在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，
由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－2 cos 30°＝1，
所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.
又BC＝＝＝2，
BF＝BD＝＝，
所以在△BCF中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
【答案】－
例4-2．（2021·四川外国语大学附属）如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.
【解析】（1）在四边形中，因为，，
所以 ，
在中,可得，，
由正弦定理得:,解得： .
（2）因为，可得,
四边形内角和得，
巩固训练
一、单项选择题
1． 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.
在△ABC中，AB＝，BC＝，A＝60°，则角C的值为(　　)
A. B.
C. D.或
【答案】C
【解析】由正弦定理可得＝，即＝，解得sin C＝，所以C＝或，由BC＞AB得A＞C，所以C＝，故选C.
3． 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
答案：B
解析：因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝ cos B，因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.故选B.
5．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：选A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，解得AB＝3，所以 cos B＝＝.故选A.
6．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案：B
解析：∵cos2＝，cos2＝，∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
二、多项选择题
7． 已知在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的可能值为( )
A． B． C． D．
答案：BC
解析：由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴ sinB＝，
∴ B＝或．
8． 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案：ACD
解析：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
三、填空题
9． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案：
解析：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0，
所以bc＝，
所以S△ABC＝××＝.
10． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为__________．
答案：3
解析：由正弦定理＝＝，得＝＝，
即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3．
11． 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．
答案：
解析：在△ABC中，由余弦定理变式得cos∠BAC＝＝－．又∠BAC∈(0，π)，
∴ sin∠BAC＝＝，∴ tan∠BAC＝－，
∴ tan∠CAD＝tan(∠BAC－45°)＝＝＝．
12．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.
【解析】如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，作AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′， 记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P.
设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，
于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形．
又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，
∴5－3m＝7－5m，解得m＝1，
∴AF′＝OF′＝5－3m＝2，∴OA＝2，
∴阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2)．
答案：＋4
四、解答题
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＝，sinA＝cosB．
(1) 求tanB的值；
(2) 若c＝，求△ABC的面积．
解析：(1) ∵ cosC＝，C∈(0，π)，∴ sinC＝．
∵ A＋B＋C＝π，
∴ sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝sinB＋cosB．
由题意sinB＋cosB＝cosB，
∴ sinB＝cosB，∴ tanB＝．
(2) 由(1)知tanB＝，∴ sinB＝，cosB＝．
由正弦定理得＝，∴ b＝×＝．
又sinA＝cosB＝，
∴ S＝bcsinA＝×××＝．
14．(2019·全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A。
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。
【解析】(1)由题设及正弦定理得
sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知A＋C＝120°，
所以30°因此，△ABC面积的取值范围是。

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