资源简介

内切球与外接球
一、 课堂目标
1．掌握外接球的几种模型，并熟练掌握求几何体外接球半径的方法，会求解相关数学问题．
2．熟练掌握几何体内切球半径的求法，并会求解相关数学问题．
二、 知识讲解
1. 外接球问题
知识精讲
（1）外接球定义
指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包
围，且几何体的顶点和弧面在此球上，正多面体各顶点在同一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.
（2）外接球模型
模型一：汉堡模型
②和③可以通过补形转化为①.
适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直地面的棱锥
解题思路：找底面外接圆半径 ，找高
计算公式：
1
经典例题
1. 已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
2. 已知直三棱柱 的 个顶点都在球 的球面上，若 ， ， ，
，则球 的半径为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 如图，半径为 的球 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差
是 ．
知识精讲
模型二：斗笠模型
②可以通过补形转化为①.
2
适用几何体：圆锥、正棱锥
解题思路：找底面外接圆半径 ，找高
计算公式：
经典例题
4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
5. 正四棱锥 的底面边长与各侧棱长都为 ，点 、 、 、 、 都在同一球面上，则该球
的体积为 ．
经典例题
6. 已知 ， ， 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆．若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
7. 已知 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上，若球 的表面积为 ，则
球心 到平面 的距离为（ ）．
A. B.
C. D.
8. 设 ， ， ， 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三
棱锥 体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
知识精讲
模型三：墙角模型
3
适用几何体：三组线线垂直型三棱锥
解题思路：先补长方体，再找锥，找长方体的长宽高：
计算公式：
经典例题
9. 体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
10. 长方体的长，宽，高分别为 ， ， ，其顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为 ．
经典例题
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在
球 的球面上，则球 的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
4
12. 已知三棱锥 的四个顶点均在球面上， 平面 ， ， 为直角三角
形， ，且 ， ．则球的表面积为（ ）．
A. B.
C. D.
13. 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，若 ，
，则球 的表面积为 ．
经典例题
14. 已知四面体 四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，且 ，
，则球 的表面积为 ．
巩固练习
15. 三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接球
的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
知识精讲
模型四：麻花模型
适用几何体：对棱长相等的三棱锥
解题思路：先补长方体，再找锥，找长方体的三类面对角线：
计算公式：
经典例题
16. 四面体 中， ， ， ，则四面体
外接球的表面积为（ ）．
5
A. B. C. D.
巩固练习
17. 空间四面体 中， ， ， ，则四面体 的
外接球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
2. 内切球问题
知识精讲
（1）内切球定义
球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球. 如果一个球与简单多面体的各面或
其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.
（2）内切球公式
①万能公式（棱锥）： （注： 表示棱锥的体积， 表示棱锥的表面积）．
②正方体的内切球：设正方体的棱长为 ，其内切球半径为 ．
③圆锥内切球半径公式：圆锥的内切球有且仅有一个，球心在圆锥的轴线上，当圆锥高为 ，底面圆半
径为 时，则内切球半径 ．
④圆柱内切球的半径：等边圆柱才有内切球，球心在圆柱轴线中点处，内切球半径与圆柱底面圆半径相
等．
经典例题
18. 在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球．若 ， ， ，
，则 的最大值是（ ）．
A. B.
C. D.
6
巩固练习
19. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球．若球的表面积等于圆柱的侧
面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
20. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的内切球的体积为 ．
21. 已知三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，则该三棱锥
的内切球的体积为 ．
巩固练习
22. 已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为（ ）．
A. B. C. D.
23. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ）．
A. B. C. D.
24. 网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆
锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为 ，体积为 ，假设
条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是(　　)
A. B.
C. D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
7
25. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为 ．
26. 在体积为 的球的表面上有 ， ， 三点， ， ， ， 两点的球面距离为
，则球心到平面 的距离为 ．
27. 如图，已知正四面体 的高为 ，则它的内切球的体积为 ．
8内切球与外接球
一、 课堂目标
1．掌握外接球的几种模型，并熟练掌握求几何体外接球半径的方法，会求解相关数学问题．
2．熟练掌握几何体内切球半径的求法，并会求解相关数学问题．
【备注】【教师指导】
内切球与外接球属于考试重点考查的内容，难度比较大，但是近几年高考几乎每年都进行
考查，要求学生必须掌握常考题型.
1.本讲的重点是掌握外接球的几种模型，并熟练求解几何体外接球的半径；掌握内切球相
关公式，并熟练求解几何体内切球的半径.
2.本讲的相关知识是空间几何体，球的表面积与体积公式.
二、 知识讲解
1. 外接球问题
知识精讲
（1）外接球定义
指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包
围，且几何体的顶点和弧面在此球上，正多面体各顶点在同一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.
（2）外接球模型
模型一：汉堡模型
1
②和③可以通过补形转化为①.
适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直地面的棱锥
解题思路：找底面外接圆半径 ，找高
计算公式：
经典例题
1. 已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
利用 ，先球圆柱底面圆的半径，再求圆柱的体积.
【答案】B
【解析】
由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 ，则圆柱
体体积 ，故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积
【素养】直观想象
巩固练习
2. 已知直三棱柱 的 个顶点都在球 的球面上，若 ， ， ，
，则球 的半径为（ ）．
2
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方法一：如图，∵ ， ， ，
∴ ，
连接 与 中点 ， ，
∵ 为直角三角形，
∴ 且 ， ，
．
方法二：因为三棱柱 的 个顶点都在球 的球面上， ， ，
， ，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面 ，其中点是球心，
则侧面 经过球的球心，球的直径是侧面 的对角线的长，
因为 ， ， ， ，
所以球的直径为： ．
所以半径为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积
3. 如图，半径为 的球 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差
是 ．
3
【答案】
【解析】如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为 ，
圆柱侧面积 ，
当 时， 取最大值 ，
此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 ．
【标注】【知识点】平面图形、空间几何体的直观图认识；空间几何体的表面积；空间几何体的内
切球、外接球问题；圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
知识精讲
模型二：斗笠模型
②可以通过补形转化为①.
适用几何体：圆锥、正棱锥
解题思路：找底面外接圆半径 ，找高
计算公式：
4
【备注】【教师指导】
设
，在 ，由勾股定理可得：
，
∴ .
经典例题
4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题可以直接利用公式 求外接球的半径：
先求底面圆的半径： ，
所以外接球的半径为：
注意：这里外接球的半径用 表示，解析里外接球的半径用 表示.
【答案】A
【解析】如图，设球心为 ， 平面 ，
则 在线段 上，且满足 ，
其中 为球的半径，由题意 ， ，
于是有 ，
即 ，
解得 ，
所以该球的表面积为 ，故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的表面积
5
巩固练习
5. 正四棱锥 的底面边长与各侧棱长都为 ，点 、 、 、 、 都在同一球面上，则该球
的体积为 ．
【备注】【教师指导】
先求正四棱锥的高，然后直接利用公式求外接球的半径.
【答案】
【解析】
记 为底面 的中心，则 ，从而 ，故
点为球心，球的半径为 ．
拓展：当底面边长为 ，侧棱长小于 时，球心在四棱锥外，如图的 点位置，如侧
棱长为 时，此时 ，设半径长为 ，
对 ，有 ，解得 ．
当侧棱长大于 时，外接球的球心在线段 上，可以根据 得到半径．
【标注】【素养】直观想象；数学运算
【知识点】圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的结构特征
经典例题
6. 已知 ， ， 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆．若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
因为 是等边三角形，以 为底边构造正三棱锥，利用 ，来
求球的半径.
6
【答案】A
【解析】设球 的半径为 ，圆 的半径为 ，
则 ，即 ，
则正三角形 的外接圆的半径为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴球 的表面积为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的表面积
巩固练习
7. 已知 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上，若球 的表面积为 ，则
球心 到平面 的距离为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图所示， 为正 的中心，
∵ 为等边三角形且 ，
∴ ，
为正 的中心，根据等边三角形的性质，
可得 ，
7
∵球 的表面积为 ，
∴球 的半径为 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
即点 到平面 的距离为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】三角形外接圆相关问题；空间几何体的内切球、外接球问题
8. 设 ， ， ， 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三
棱锥 体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：如图所示，点 为 的重心， 为 中点，
当 平面 时，三棱锥 体积最大（ 是球心），
此时 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴在 中，有 ，
∴ ，
∴ ．
方法二：设等边 的边长为 ，则有 ，解
得 ．
设 外接圆的半径为 ，则 ，
解得 ，
设球的半径为 ，球心到等边 的外接圆圆心的距离为 ，
8
则 ．
所以三棱锥 高的最大值为 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积
知识精讲
模型三：墙角模型
适用几何体：三组线线垂直型三棱锥
解题思路：先补长方体，再找锥，找长方体的长宽高：
计算公式：
经典例题
9. 体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
先求正方体的边长，直接利用公式（正方体特殊） ，求外接球的半径.
【答案】A
【解析】由正方体的体积为 可知正方体的棱长 ．
又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，
即 （ 为正方体外接球的半径)，所以 ，
故所求球的表面积 ．
9
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的表面积
巩固练习
10. 长方体的长，宽，高分别为 ， ， ，其顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为 ．
【答案】
【解析】球 的直径应为长方体的体对角线的长，
令该长方体的体对角线长为 ，球 的半径为 ，
据已知数据可得 ，则 ，
则球 的表面积 ．
【标注】【知识点】空间几何体的表面积；组合体求体积、表面积问题
经典例题
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在
球 的球面上，则球 的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，并且相邻的三条线两两垂直，构造长、宽、高分
别为5，4，3的长方体，利用公式可求外接球的半径.
【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，
其外接球相当于一个长，宽，高分别为： ， ， 的长方体的外接球，
10
故球 的半径 满足： ，
故球 的表面积 ，
故选： ．
【标注】【知识点】三视图与几何体转化问题；空间几何体的内切球、外接球问题
巩固练习
12. 已知三棱锥 的四个顶点均在球面上， 平面 ， ， 为直角三角
形， ，且 ， ．则球的表面积为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，
在长方体中作出符合条件的三棱锥 ，
易知，长方体的外接球即三棱锥 的外接球，
所以 ，
则球的表面积 ．
故选 ．
【标注】【知识点】棱柱、棱锥、棱台的结构特征；空间几何体的内切球、外接球问题；空间几何
体的表面积
13. 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，若 ，
，则球 的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
11
故 ， ， ，符合墙角模型，
因此：外接球半径 ，
即外接球表面积为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的表面积；棱柱、棱锥、棱台的结构
特征；空间几何体的内切球、外接球问题；圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
经典例题
14. 已知四面体 四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，且 ，
，则球 的表面积为 ．
【备注】【教师指导】
,∴ 是以 、 为长、宽的长方形的对角线，
∴ 是长宽高分别为 长方体的体对角线，即 是四面体外接球的直径.
【答案】
【解析】由 平面 ， ，
可得图中四个直角三角形，
且 为 ， 的公共斜边，
故球心 为 的中点，
由 ， ，
，
12
∴球 的半径为 ，
其表面积为： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间几何体的内切球、外接球问题；空间几何体的表面积
巩固练习
15. 三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接球
的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 平面 ， ，
∴ 平面 ， 是三棱锥 的外接球直径；
∵ 中， ， ,
∴ ，可得外接球半径 ,
∴外接球的表面积 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的表面积；空间几何体的内切球、外接球问题
知识精讲
模型四：麻花模型
13
适用几何体：对棱长相等的三棱锥
解题思路：先补长方体，再找锥，找长方体的三类面对角线：
计算公式：
【备注】【教师指导】
外接球模型
注意：最后三个模型没有给出学生，请老师根据学生情况进行讲解.
模型 适用几何体 解题流程 公式
圆柱、直棱柱、
汉堡模型一条侧楞垂直地找底面外接圆半径 ，找高
面的棱锥
斗笠模型圆锥、正棱锥 找底面外接圆半径 ，找高
三组线线垂直型先补长方体，再找锥，
墙角模型
三棱锥 找长方体的长宽高：
先补长方体，再找锥，
对棱长相等的三
麻花模型 找长方体的三类面对角线：
棱锥
找等腰三角形底边上的高
两全等等腰三角
怀表模型 ，找外接球半径 ，找二面
形折叠式棱锥
角α
找两个面外接圆半径 ，
“ ”模型 两两垂直型棱锥
找面面交线
找两面外接圆圆心到交线的
鳄鱼模型普通三棱锥 距离 ， ，找二面角α，
找面面交线
经典例题
16.
14
四面体 中， ， ， ，则四面体
外接球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
对于该模型求外接球的半径，先补长方体，然后再找长方体的三类面对角线.
【答案】A
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以 ， ， 为三边的三角形作为底面，
且分别以 ， ， 为长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体，
并且 ， ， ，
设球半径为 ，则有 ，
∴ ，
∴球的表面积为 ．
故选： ．
A
B
D
C
【标注】【知识点】空间几何体的内切球、外接球问题；空间几何体的表面积
巩固练习
17. 空间四面体 中， ， ， ，则四面体 的
外接球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为空间四面体 中， ， ， ，
所以可以将该四面体放入长方体中，如图所示：
15
设长方体的长宽高分别为 ， ， ，
则有 ，
于是有 ，
由于该四面体的外接球和长方体外接球为同一个球，
所以外接球的直径等于长方体的体对角线，
即有 ，
解得 ，
故球的表面积为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的表面积；空间几何体的内切球、外接球问题
2. 内切球问题
知识精讲
（1）内切球定义
球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球. 如果一个球与简单多面体的各面或
其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.
（2）内切球公式
①万能公式（棱锥）： （注： 表示棱锥的体积， 表示棱锥的表面积）．
②正方体的内切球：设正方体的棱长为 ，其内切球半径为 ．
③圆锥内切球半径公式：圆锥的内切球有且仅有一个，球心在圆锥的轴线上，当圆锥高为 ，底面圆半
径为 时，则内切球半径 ．
16
④圆柱内切球的半径：等边圆柱才有内切球，球心在圆柱轴线中点处，内切球半径与圆柱底面圆半径相
等．
【备注】【教师指导】
③的推导过程如下：
由勾股定理可得母线长： ，对于轴截面三角形，由等面积法可得：
经典例题
18. 在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球．若 ， ， ，
，则 的最大值是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题注意两点：
①底面 内切圆的半径即为内接球的半径；
②求出半径之后，注意判断内接球的直径要小于等于圆柱的高.
【答案】B
【解析】方法一： 的内切圆的半径 ，
三棱柱的高为 ，因此球的最大半径为 ， ．
方法二：由题意可得若 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可
求得球的半径为 ，球的直径为 ，超过直三棱柱的高，
17
∴这个球放不进去，则球可与上、下底面相切，此时球的半径 ，该球的体积最
大， ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积
巩固练习
19. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球．若球的表面积等于圆柱的侧
面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球半径为 ，则圆柱底面半径为 ，圆柱的高为 ，
则 球 圆柱侧， ，
则 球 ， 圆柱 ，
球
∴ ．
圆柱
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；空间几何体的表面积；组合体求体积、表面积问题；圆
柱、圆锥、圆台和球的结构特征；空间几何体的内切球、外接球问题
经典例题
20. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的内切球的体积为 ．
【备注】【教师指导】
首先画出圆锥的轴截面，求轴截面的高，然后利用等面积法求轴截面内切圆的半径，即为
内切球的半径.
【答案】
【解析】已知底面半径为 ，母线长为 ，
故圆锥的高为 ，设内切球半径为 ，
沿圆锥轴截面切开得到剖面如图所示：
18
由等面积法可得 ，
即 ，
解得 ，
故 球 ．
故该圆锥内半径最大的内切球体积为 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；组合体求体积、表面积问题；空间几何体的内切球、外接
球问题
21. 已知三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，则该三棱锥
的内切球的体积为 ．
【备注】【教师指导】
本题主要利用万能公式（棱锥）： （注： 表示棱锥的体积， 表示棱锥的表面
积）可求内接球的半径．
可利用等体积法得到万能公式：设内切球半径为 ，则：
【答案】
【解析】∵ 底面 ，
∴ 是三棱锥 的高，
∵ ， ， ，
∴ ，
19
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
设内切球半径为 ，则
，
∴ ，
∴ ，
∴ 内切球 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间几何体的内切球、外接球问题；空间几何体的体积；点、直线、平面之间
的位置关系
巩固练习
22. 已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆锥和球体的截面图如图所示，且 ， ， ，
20
∵ （圆锥母线长），
∴ 的延长线过 点，即 为圆锥的高，
∵ ， ， ，
∴ ，
设球半径为 ，
又∵在 中， ，
∴ ，
∴在 中， ，
解得 ，
∴内切球表面积为 ，
故选 项．
【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的表面积；空间几何体的内切球、外
接球问题
23. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设球的半径为 ；圆锥的高为： ，则圆锥的底面半径为： ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，
圆锥的侧面积为： ，
球的表面积为： ，
所以圆锥的侧面积与球的表面积之比 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的表面积；空间几何体的内切球、外接球问题
21
24. 网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆
锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为 ，体积为 ，假设
条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥的高为 ，则 ， ， 圆锥的母线长为 ，
设轴截面的内切球的半径为 ，则 ，
， 该珠子的体积最大值是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；空间几何体的内切球、外接球问题
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
22
四、 出门测
25. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为 ．
【答案】
【解析】设正方体的棱长为 ，其外接球的半径为 ，则由球的体积为 ，得 ，解得
．由 ，得 ．
【标注】【知识点】圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；空间几何体的内切球、外接球问题；组合
体求体积、表面积问题；空间几何体的体积
26. 在体积为 的球的表面上有 ， ， 三点， ， ， ， 两点的球面距离为
，则球心到平面 的距离为 ．
【答案】
【解析】如图所示，由 球 ，可得， ，
又由 两点的球面距离为 ，
可得 ，∴ ，
又∵ ， ，可得 ，
即得平面 所在圆的圆心 为 中点，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的性质；平面图形、空间几何体的直观图认识；空间几何体的
体积；组合体求体积、表面积问题；弧长公式与扇形面积
23
27. 如图，已知正四面体 的高为 ，则它的内切球的体积为 ．
【答案】
【解析】
正四面体，内切球与外接球球心重合．
在 中， ．
．
在 中， ．
解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积
24

展开更多......

收起↑