资源简介

平面向量的概念及运算
一、 课堂目标
1．理解平面向量相关的概念．
2．熟练掌握向量的加减法和数乘运算．
3．熟练掌握向量的数量积运算．
【备注】【教师指导】
1.本堂课的主要讲解平面向量的相关概念及运算，难度不是很大，但是知识点比较琐碎，
需要学生理解相关概念，熟练掌握公式及利用公式进行运算.本讲的重点是掌握向量的加减
和数乘运算，其中对于向量的加法运算，要重点掌握三角形法则和平行四边形法则，对于
数乘运算要掌握共线向量基本定理的应用；掌握向量的数量积，会求两个向量的夹角以及
会求一个向量在另一个向量上的投影.
2.本讲的相关知识：平面向量基本定理及向量数量积的坐标运算.
二、 知识讲解
1. 向量的概念及几何表示
知识精讲
（1）向量的概念
既有大小，又有方向的量，叫做向量.
注意：
向量与数量的区别：数量是只有大小，没有方向的量，可以比较大小；向量是既有大小，又有方向的
量，不能比较大小.
（2）有向线段
①定义：一般地，若规定线段 的端点 为起点，端点 为终点，则线段 就具有了从起点 到终点
的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.
1
②表示：以 为起点， 为终点的有向线段即为 ，起点写在终点前面.规定线段 的长度为有向线段
的长度，记为 .
③有向线段的三要素：起点、方向、长度.
（3）向量的模
①定义：向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作 ．
另外，向量 的模即为 .任意向量 的模都是非负实数，即 .
②零向量：长度为 的向量叫做零向量．
③单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量．
【备注】【教师指导】
向量不能比较大小，但 是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小.
知识点睛
（1）向量的几何表示
①用有向线段表示：用有向线段的起点和终点字母表示，例如： ， ．
②用字母表示：向量可用小写字母， 表示．
（2）零向量是有方向的，其方向是任意的. 是一个实数， 是一个向量，且有 .
（3）单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同.
注意：
由于零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中向量的条件是“任意向量”还是“任意非零向量”，
若条件是“任意向量”，则要考虑零向量.
经典例题
1. 下列命题中正确的个数是（ ）．
①向量就是有向线段；
②零向量是没有方向的向量：
③零向量的方向是任意的；
④任何向量的模都是正实数．
2
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量的相关概念，进一步加深学生对概念的理解和辨析.
【答案】B
【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，
其方向是任意的，故②错，③正确；零向量的模等于 ，故④错．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量概念辨析问题
巩固练习
2. 下列说法正确的是（ ）．
A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为
C. 任意两个单位向量的方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小
【答案】B
【解析】 ．零向量的长度为 ，方向是任意的，故 错误，故 正确；
．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 错误；
．不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】零向量
2. 相等向量与共线向量
知识精讲
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
如平行四边形 中， 与 就是相等向量，记作 ．
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
若两个非零向量 平行,记作 ．
（3）共线向量
3
如图， 是一组平行向量，任作一条与 所在直线平行的直线 ，在 上任取一点 ，则可在 上分
别作出 .即任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量
也叫作共线向量.
规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 ，都有 ．
（4）相反向量
1.定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 .
2.性质：
①零向量的相反向量仍是零向量，即 .
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即 （ ） ；
③若 ， 互为相反向量，则 ， ， ；
⑤ 与其相反向量 是平行向量.
经典例题
3. 下列结论中，不正确的是（ ）．
A. 向量 ， 共线与向量 意义是相同的
B. 若 ，则
C. 若向量 ， 满足 ，则
D. 若向量 ，则向量
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量的相关概念，进一步加深学生对概念的理解和辨析.
【答案】C
【解析】 选项中 ， 模相同，但方向不一定相同，故 不成立． 错．
故选 ．
【标注】【知识点】共线向量；相等向量与相反向量
巩固练习
4. 下列说法正确的是（ ）．
4
A. 单位向量一定是平行向量 B. 相等向量不一定是共线向量
C. 共线的单位向量一定是相等向量 D. 平行向量一定是共线向量
【答案】D
【解析】A 选项：单位向量是指模长为 ，只提单位向量是无法判断其方向的，因此单位向量不一
定是平行向量，故 错误；
B 选项：相等向量是指大小相等、方向相同的向量；共线向量是指方向相同或相反的向
量．因此相等向量一定共线，故 错误；
C 选项：与 选项类似，共线的向量可能方向相同，也可能方向相反，当共线向量方向相
反时不是相等向量，故 错误；
D 选项：平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的向量叫做平行向量．故 正确．
故选 D .
【标注】【知识点】平面向量概念辨析问题
经典例题
5. 如图所示， 为正方形 对角线的交点，四边形 、 都是正方形．
（ 1 ）写出与 相等的向量．
（ 2 ）写出与 共线的向量．
（ 3 ）向量 与 是否相等．
【备注】【教师指导】
本题主要考查相等向量与共线向量的概念，要注意平行向量也是共弦向量.
【答案】（ 1 ） 、 、
（ 2 ） 、 、 、 、 、 、 、 、
（ 3 ）不相等
【解析】（ 1 ）
5
与 相等的向量为： 、 、 ．
（ 2 ）与 共线的向量： 、 、 、 、 、 、 、 、 ．
（ 3 ）向量 与 不相等，因为 与 的方向相反，所以它们不相等．
【标注】【知识点】相等向量与相反向量；共线向量
巩固练习
6. 如图， ， ， 分别是 各边上的中点，四边形 是平行四边形．
（ 1 ）写出与 相等的向量．
（ 2 ）写出与 共线的向量．
【答案】（ 1 ） ， ， ．
（ 2 ）与 共线的向量有 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ．
【解析】（ 1 ）因为 、 、 分别是 边上的中点，四边形 是平行四边形，
所以 ， ．
（ 2 ）与 共线的向量有 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ．
【标注】【知识点】相等向量与相反向量；共线向量
3. 向量的加法运算
知识精讲
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
注意：
①向量的和仍然是一个向量；
6
②任意向量与零向量的和为其本身.
（1）向量加法的三角形法则
已知非零向量 、 ，在平面内任取一点 ，作 ， ，
则向量 叫做 与 的和，记作 ，即 ．
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
（2）向量加法的平行四边形法则
以同一点 为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ，则以 为起点的对角线 就是
与 的和．
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
知识点睛
一般地，我们有 ，当且仅当 方向相同时等号成立.
向量的加法运算满足
（1）交换律：
（2）结合律： .
经典例题
7. 如图，在平行四边形 中， ， ．
7
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量的加法运算，其中第二个空注意两个相反向量的和为零向量.
【答案】 ;
【解析】 ，
．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量的加法运算及运算规则
巩固练习
8. 在平面中，化简 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则
9. 化简：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
8
【解析】（ 1 ）略．
（ 2 ）略．
（ 3 ）略．
【标注】【知识点】平面向量的减法运算及运算规则；平面向量的加法运算及运算规则
4. 向量的减法运算
知识精讲
定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
设向量 ， ，则 ，
向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
．
在四边形 中， 且 ，所以 是平行四边形.所以 .
由此我们得到 的作图方法．
如下图：
已知 、 ，在平面内任取一点 ，作 ， ，则 ．即 可以表示为
从向量 的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
经典例题
9
10. 化简：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量的加法和减法运算，注意减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【标注】【知识点】平面向量的减法运算及运算规则；平面向量的加法运算及运算规则；平面向量
线性运算综合（非坐标）
巩固练习
11. 化简 的结果等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ， ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量的加法运算及运算规则
12. 化简下列各式．
．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量的减法运算及运算规则；平面向
量的加法运算及运算规则
10
经典例题
13. 如图， 等于（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量的加法和减法混合运算.
【答案】B
【解析】 ．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；平面向量的减法运算及运算规则；平面向量
线性运算综合（非坐标）
巩固练习
14. 如图所示，在梯形 中， ， 与 交于 点，则
．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向
量的减法运算及运算规则；平面向量基本定理及其意义
5. 向量的数乘运算
知识精讲
11
（1）定义：一般地，实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度
与方向规定如下：
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
（2）向量的数乘运算律
设 、 为实数，那么：
① ；
② ；
③ ．
特别地：
① ；
② ．
（3）共线向量基本定理
①向量共线的判定定理：
对于 、 ，若存在实数 ，使 ，则 与 共线．
②向量共线的性质定理
若 与非零 共线，则存在一个实数 ，使 .
所以，共线向量的基本定理为：
向量 与 共线的充要条件是：存在唯一实数 ，使 ．
根据这一定理，设非零向量 位于直线 上，那么对于直线 上的任意一个向量 ，都存在唯一的一个实
数 ，使 .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
知识点睛
利用向量共线定理证明三点共线，其一般步骤为：
①以三点中任意两个点为端点构造有一个共同端点的向量 ， ；
②证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数 ，使 或 成立；
③由两个向量有共同的端点得出结论：三点共线.
经典例题
12
15. 如图，若 ， ， ，则向量 可用向量 ， 表示为 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量的线性运算：加法、减法和数乘的混合运算.
【答案】
【解析】方法一：由平面向量的三角形加法法则可知
，
又由平面向量的减法法则可知， ，
∴ ，
故 ．
方法二： ，换成从 为起点
∴
∵ ，
∴ ．
方法三：过 的终点 作 的平行线交 于点 ，
过 作 的平行线交 于点 ，
所以 ，
所以 ， ．
．
13
【标注】【知识点】平面向量数量积的运算律；线性运算和数量积综合问题；平面向量的数乘运算
及运算规则；平面向量概念辨析问题；线段的定比分点公式
16. 已知两个非零向量 、 不共线．
（ 1 ）若 ， ， ，求证： 、 、 三点共线；
（ 2 ）求实数 ，使 与 共线．
【备注】【教师指导】
本题主要对共线向量基本定理的考查：向量 与 共线的充要条件是存在唯一
实数 ，使 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵
，
∴ 、 、 三点共线．
（ 2 ）∵ 与 共线，∴ （ ）．
∴ ．
∴ 解得 ．
【标注】【知识点】共线向量；平面向量中的三点共线问题
巩固练习
17. 已知 与 是两个不共线向量，且向量 与 共线，则 的值为 ．
【答案】
14
【解析】由已知得 ，
∴ ， ，
， ．
【标注】【知识点】共线向量；平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量的数乘运算及运算规
则
6. 向量的数量积
知识精讲
（1）平面向量的夹角
如图，已知两个非零向量 ，作 ， ，则 称作向量 和向量 的夹角，记作
，并规定 .
特别地，当 时，我们说向量 和向量 互相垂直，记作 ．
（2）平面向量的数量积
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 .我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），
记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（3）平面向量数量积的性质
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，即 ，则 .
因为零向量与任一向量的数量积为 ，即 ，对于非零向量来说 和 来说， 与
是等价的.
注意：
15
数量积是向量间的一种特殊运算，它与数量的乘法是有区别的，不能用乘号“×”连接，需用实心点“· ”连
接.
（4）平面向量数量积的几何意义
① 在 方向上的投影
对于数量积的运算公式 ，我们把 叫做向量 在 方向上的投影，显然此
投影值可正可负也可为 ．
如图，我们可以在平面内任取一点 ，作 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 就是向量 在向量 上的投影向量.
②数量积 的几何意义：数量积 等于 的模长 与 在 方向上的投影 的乘积，
或 的模长 与 在 方向上的投影 的乘积.
（5）平面向量数量积的运算律
①交换律： ；
②数乘结合律： ；
③分配律： ．
知识点睛
（1）向量数量积的性质
设 ，作 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则：
① ；
② ；
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， .特别地，
或 ；
④ .
（2）应用运算律的两个重要结论：
① ；
16
② ．
经典例题
18. 已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影是 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影，即 在 方向上的投影 的乘积，
是 与 的夹角.
【答案】
【解析】根据题意，向量 满足 ，
与 的夹角为 ，
则 在 方向上的投影即 ，
即 在 方向的投影是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量的投影；利用投影解决平面向量的数量积
巩固练习
19. 已知非零向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影的数量
为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 在 方向上的投影为：
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量的投影；利用投影解决平面向量的数量积
经典例题
20.
17
设向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影
为 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影， 在 方向上的投影（其中 是 与 的
夹角），即 .
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴向量 在向量 方向上的投影为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用投影解决平面向量的数量积；向量的投影
巩固练习
21. 已知 ， 在 方向上的正射影的数量为 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
在 方向上的正射影 ，
所以 ．
【标注】【知识点】平面向量数量积运算（非坐标）；向量的数量积的定义
22. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影为（ ）．
A. B.
C. D.
18
【答案】B
【解析】∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ 在 方向上的投影为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量的投影；利用投影解决平面向量的数量积
经典例题
23. 已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则 与 的夹角
为 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查求两个向量的夹角： ，通过求两个向量夹角的
余弦值来求其夹角.
【答案】
【解析】设 与 的夹角为 ，
∵向量 ， 满足 ，且 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，再由 的范围为 ，可得 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量的夹角的判断；利用向量数量积求夹角
巩固练习
24. 若非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
19
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，所以
而 ，故 ，
设夹角为 ，则 ， ．
故选A．
【标注】【知识点】向量的夹角的判断
经典例题
25. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ．
【备注】【教师指导】
考查平面向量数量积运算（非坐标），属于常考题型.
【答案】
【解析】依题有 ，
，
，
．
【标注】【知识点】向量的数量积的定义；平面向量数量积运算（非坐标）
巩固练习
26. 已知 ， 为单位向量，其夹角为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得： ，所以 ，故答案
为 ．
20
【标注】【知识点】平面向量数量积运算（非坐标）；向量的数量积的定义
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
27. 已知向量 ， 满足 ， 在 方向上的投影是 ，则 ．
【答案】
【解析】 ， 夹角为 ， 在 方向上的投影是 ，即 ，
．
21
【标注】【知识点】向量的投影；利用投影解决平面向量的数量积
28. 在下列判断中，正确的是（ ）．
①长度为 的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②⑤ D. ①③⑤
【答案】D
【解析】对于①，长度为 的向量都是零向量，①正确；
对于②，零向量的方向是任意的，②错误；
对于③，单位向量的长度都为 ，相等，③正确；
对于④，单位向量的方向不一定相同，④错误；
对于⑤，零向量的方向是任意的，∴任意向量与零向量都共线，⑤正确．
综上，正确的命题是①③⑤．
【标注】【知识点】平面向量概念辨析问题
29. 化简后等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ．故选 ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量的加法运算及运算规则
30. 如图，在 中，线段 ， 交于点 ，设向量 ， ， ， ，
，则向量 可以表示为（ ）．
22
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为 ， ， 三点共线，
∴存在实数 ，使 ，
由已知 ， ，
所以 ，
同理 ，
∴ ，解得 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量中的三点共线问题；平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量的
数乘运算及运算规则；平面向量的加法运算及运算规则；平面向量基本定理及其意义；向
量分解中的待定系数法
23平面向量的概念及运算
一、 课堂目标
1．理解平面向量相关的概念．
2．熟练掌握向量的加减法和数乘运算．
3．熟练掌握向量的数量积运算．
二、 知识讲解
1. 向量的概念及几何表示
知识精讲
（1）向量的概念
既有大小，又有方向的量，叫做向量.
注意：
向量与数量的区别：数量是只有大小，没有方向的量，可以比较大小；向量是既有大小，又有方向的
量，不能比较大小.
（2）有向线段
①定义：一般地，若规定线段 的端点 为起点，端点 为终点，则线段 就具有了从起点 到终点
的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.
②表示：以 为起点， 为终点的有向线段即为 ，起点写在终点前面.规定线段 的长度为有向线段
的长度，记为 .
③有向线段的三要素：起点、方向、长度.
（3）向量的模
①定义：向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作 ．
1
另外，向量 的模即为 .任意向量 的模都是非负实数，即 .
②零向量：长度为 的向量叫做零向量．
③单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量．
知识点睛
（1）向量的几何表示
①用有向线段表示：用有向线段的起点和终点字母表示，例如： ， ．
②用字母表示：向量可用小写字母， 表示．
（2）零向量是有方向的，其方向是任意的. 是一个实数， 是一个向量，且有 .
（3）单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同.
注意：
由于零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中向量的条件是“任意向量”还是“任意非零向量”，
若条件是“任意向量”，则要考虑零向量.
经典例题
1. 下列命题中正确的个数是（ ）．
①向量就是有向线段；
②零向量是没有方向的向量：
③零向量的方向是任意的；
④任何向量的模都是正实数．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 下列说法正确的是（ ）．
A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为
C. 任意两个单位向量的方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小
2. 相等向量与共线向量
知识精讲
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
如平行四边形 中， 与 就是相等向量，记作 ．
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
若两个非零向量 平行,记作 ．
2
（3）共线向量
如图， 是一组平行向量，任作一条与 所在直线平行的直线 ，在 上任取一点 ，则可在 上分
别作出 .即任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量
也叫作共线向量.
规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 ，都有 ．
（4）相反向量
1.定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 .
2.性质：
①零向量的相反向量仍是零向量，即 .
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即 （ ） ；
③若 ， 互为相反向量，则 ， ， ；
⑤ 与其相反向量 是平行向量.
经典例题
3. 下列结论中，不正确的是（ ）．
A. 向量 ， 共线与向量 意义是相同的
B. 若 ，则
C. 若向量 ， 满足 ，则
D. 若向量 ，则向量
巩固练习
4. 下列说法正确的是（ ）．
A. 单位向量一定是平行向量 B. 相等向量不一定是共线向量
C. 共线的单位向量一定是相等向量 D. 平行向量一定是共线向量
经典例题
5. 如图所示， 为正方形 对角线的交点，四边形 、 都是正方形．
3
（ 1 ）写出与 相等的向量．
（ 2 ）写出与 共线的向量．
（ 3 ）向量 与 是否相等．
巩固练习
6. 如图， ， ， 分别是 各边上的中点，四边形 是平行四边形．
（ 1 ）写出与 相等的向量．
（ 2 ）写出与 共线的向量．
3. 向量的加法运算
知识精讲
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
注意：
①向量的和仍然是一个向量；
②任意向量与零向量的和为其本身.
（1）向量加法的三角形法则
已知非零向量 、 ，在平面内任取一点 ，作 ， ，
则向量 叫做 与 的和，记作 ，即 ．
4
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
（2）向量加法的平行四边形法则
以同一点 为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ，则以 为起点的对角线 就是
与 的和．
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
知识点睛
一般地，我们有 ，当且仅当 方向相同时等号成立.
向量的加法运算满足
（1）交换律：
（2）结合律： .
经典例题
7. 如图，在平行四边形 中， ， ．
巩固练习
8. 在平面中，化简 （ ）．
A. B.
5
C. D.
9. 化简：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
4. 向量的减法运算
知识精讲
定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
设向量 ， ，则 ，
向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
．
在四边形 中， 且 ，所以 是平行四边形.所以 .
由此我们得到 的作图方法．
如下图：
已知 、 ，在平面内任取一点 ，作 ， ，则 ．即 可以表示为
从向量 的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
经典例题
6
10. 化简：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
巩固练习
11. 化简 的结果等于（ ）．
A. B.
C. D.
12. 化简下列各式．
．
经典例题
13. 如图， 等于（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
14. 如图所示，在梯形 中， ， 与 交于 点，则
．
5. 向量的数乘运算
知识精讲
（1）定义：一般地，实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度
与方向规定如下：
① ；
7
②当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
（2）向量的数乘运算律
设 、 为实数，那么：
① ；
② ；
③ ．
特别地：
① ；
② ．
（3）共线向量基本定理
①向量共线的判定定理：
对于 、 ，若存在实数 ，使 ，则 与 共线．
②向量共线的性质定理
若 与非零 共线，则存在一个实数 ，使 .
所以，共线向量的基本定理为：
向量 与 共线的充要条件是：存在唯一实数 ，使 ．
根据这一定理，设非零向量 位于直线 上，那么对于直线 上的任意一个向量 ，都存在唯一的一个实
数 ，使 .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
知识点睛
利用向量共线定理证明三点共线，其一般步骤为：
①以三点中任意两个点为端点构造有一个共同端点的向量 ， ；
②证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数 ，使 或 成立；
③由两个向量有共同的端点得出结论：三点共线.
经典例题
15. 如图，若 ， ， ，则向量 可用向量 ， 表示为 ．
8
16. 已知两个非零向量 、 不共线．
（ 1 ）若 ， ， ，求证： 、 、 三点共线；
（ 2 ）求实数 ，使 与 共线．
巩固练习
17. 已知 与 是两个不共线向量，且向量 与 共线，则 的值为 ．
6. 向量的数量积
知识精讲
（1）平面向量的夹角
如图，已知两个非零向量 ，作 ， ，则 称作向量 和向量 的夹角，记作
，并规定 .
特别地，当 时，我们说向量 和向量 互相垂直，记作 ．
（2）平面向量的数量积
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 .我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），
记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（3）平面向量数量积的性质
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
9
③若 ，即 ，则 .
因为零向量与任一向量的数量积为 ，即 ，对于非零向量来说 和 来说， 与
是等价的.
注意：
数量积是向量间的一种特殊运算，它与数量的乘法是有区别的，不能用乘号“×”连接，需用实心点“· ”连
接.
（4）平面向量数量积的几何意义
① 在 方向上的投影
对于数量积的运算公式 ，我们把 叫做向量 在 方向上的投影，显然此
投影值可正可负也可为 ．
如图，我们可以在平面内任取一点 ，作 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 就是向量 在向量 上的投影向量.
②数量积 的几何意义：数量积 等于 的模长 与 在 方向上的投影 的乘积，
或 的模长 与 在 方向上的投影 的乘积.
（5）平面向量数量积的运算律
①交换律： ；
②数乘结合律： ；
③分配律： ．
知识点睛
（1）向量数量积的性质
设 ，作 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则：
① ；
② ；
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， .特别地，
或 ；
10
④ .
（2）应用运算律的两个重要结论：
① ；
② ．
经典例题
18. 已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影是 ．
巩固练习
19. 已知非零向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影的数量
为 ．
经典例题
20. 设向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影
为 ．
巩固练习
21. 已知 ， 在 方向上的正射影的数量为 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D. 不确定
22. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影为（ ）．
A. B.
C. D.
经典例题
23. 已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则 与 的夹角
为 ．
巩固练习
24. 若非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
11
25. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ．
巩固练习
26. 已知 ， 为单位向量，其夹角为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
27. 已知向量 ， 满足 ， 在 方向上的投影是 ，则 ．
28. 在下列判断中，正确的是（ ）．
①长度为 的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②⑤ D. ①③⑤
29. 化简后等于（ ）．
A. B.
C. D.
30. 如图，在 中，线段 ， 交于点 ，设向量 ， ， ， ，
，则向量 可以表示为（ ）．
A.
12
B.
C.
D.
13

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