资源简介

平面向量基本定理及坐标表示
一、 课堂目标
1．掌握平面向量基本定理及其应用．
2．掌握平面向量的坐标表示及运算．
3．掌握平面向量的数量积的坐标表示和应用．
二、 知识讲解
1. 平面向量基本定理
知识精讲
（1）平面向量基本定理
如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数
、 ，使 ．
（2）基底的定义
把不共线的非零向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（3）向量的分解
一个平面向量 用一组基底 、 表示成 （ 、 ）的形式，我们称它为向量的分
解．
知识点睛
①同一平面内，只要是一组不共线的非零向量，都可以作为基底，基底不同，那么同一向量对基底的分
解结果就是不同的．
②平面内任意一个向量都可以用该平面内的一组不共线的非零向量线性表示，这是平面向量基本定理的
语言表述．
③若给定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是说，当 、 、 给定，则 、 有唯一解．
④平面向量基本定理还可以稍加拓展为如下结论：
对于平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
经典例题
1
1. 设点 是平行四边形 两条对角线的交点，给出下列向量组：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 ．
其中可作为该平面其他向量基底的是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
巩固练习
2. 已知向量 ， ，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的
是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
经典例题
3. 如图,在 中, , ,若 ,则 的值为（　　）．
A. B. C. D.
巩固练习
4. 如图，在 中，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 平面向量的正交分解及坐标表示
2
知识精讲
如下图：
在平面直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底．
对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 、 ，
使得：
这样，平面内的任一向量 都可以由 、 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的坐标，
记作： ．
由于 ，则称互相垂直的一组基底为正交基底，在正交基底下的向量分解叫做正交分解．
规定：零向量与任意向量垂直．
3. 平面向量的坐标运算
知识精讲
已知向量
（1）平面向量加法运算坐标表示：
（2）平面向量减法运算坐标表示：
即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
（3）平面向量数乘运算坐标表示：
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
知识点睛
若 ， ，
根据向量的减法运算，则 ，
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
经典例题
3
5. 设平面向量 ， ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
6. 如图，正方形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ，则 （
）．
A. B. C. D.
巩固练习
7. 已知向量 ， ，那么向量 的坐标是 ．
8. 已知点 ， ，向量 ，则向量 （ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形 中， 是 的中点，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
4. 平面向量共线的坐标表示
知识精讲
设 ， ，其中 ．
由共线向量基本定理可知： 、 共线，当且仅当存在实数 ，使 ．
如果用坐标表示，可写为 ，即 ，消去 后得 ，
即当且仅当 时，向量 、 共线.
4
当 时，此时上述表达式仍然成立．
因此有向量 ， （ ）共线的充要条件是 ．
知识点睛
如图，已知 ， 是不平行的两个向量， 是实数， ，
则
．
一个结论：若 、 、 三点满足 ，其中 ，则 、 、 三点共线．
经典例题
10. 已知向量 ， ，若 与 共线，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
11. 已知向量 ， ， ，若向量 与 共线，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
12. 已知向量 ， ，若 ，则实数 ．
巩固练习
13. 已知向量 ，向量 ，若 ，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
14. 已知向量 ， ， ，若 为实数， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
经典例题
5
15. 已知向量 ， ， ，且 、 、 三点共线，则 ．
巩固练习
16. 若三点 、 、 共线，则 的值为 ．
经典例题
17. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为
（ ）．
A. B. C. 1 D. 3
巩固练习
18. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为
（ ）．
A. B. C. D.
5. 平面向量数量积的坐标表示
知识精讲
（1）平面向量数量积的坐标表示
已知 ， ， ．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）平面向量模的坐标表示
已知 ，则 ，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
（3）平面向量夹角的坐标表示
6
已知非零向量 、 ，若 ， ， 是 与 的夹角，则
（4）向量垂直的坐标表示
若 ， ，
则 ⊥ ，且 ⊥ .
经典例题
19. 已知平面向量 ， ，若 与 垂直，则实数 值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
20. 已知 ， ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
经典例题
21. 设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ，则
．
巩固练习
22. 如果向量 ， ，那么 （ ）．
A. B. C. D.
23. 设平面向量 ， ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
6. 平面几何中的向量方法
知识精讲
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长
度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的
方法加以解决.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
①建立平面几何和向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
7
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
经典例题
24. 在平行四边形 中，若 ，判断四边形 的形状．
巩固练习
25. 若 是 所在平面内一点，且满足 则 的形状是（
）．
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
26. 若 ，且 ，则四边形 是（ ）．
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
27. 如图， 是 的边 的中点，则向量 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
28. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
8
29. 已知向量 ， ， ．若向量 与向量 共线，则实数
．
30. 已知等腰三角形 的底边 的长是 ，则 ．
9平面向量基本定理及坐标表示
一、 课堂目标
1．掌握平面向量基本定理及其应用．
2．掌握平面向量的坐标表示及运算．
3．掌握平面向量的数量积的坐标表示和应用．
【备注】【教师指导】
1.本讲的内容整体上难度不大，但是非常重要.知识非常零碎，由于定理也比较抽象，对于
初学向量的学生还是有一点难度的.对于本讲的学习，要求学生理解概念，熟练掌握公式并
能够灵活应用.本讲的重点是理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及坐标表
示，掌握平面向量的坐标运算及数量积的坐标表示；重点题型平面向量基本定理的应用，
平面向量的坐标运算以及数量积坐标表示.
2.本讲的前置知识是平面向量的概念及运算，后置知识是正、余弦定理.
二、 知识讲解
1. 平面向量基本定理
知识精讲
（1）平面向量基本定理
如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数
、 ，使 ．
（2）基底的定义
把不共线的非零向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（3）向量的分解
一个平面向量 用一组基底 、 表示成 （ 、 ）的形式，我们称它为向量的分
解．
知识点睛
①同一平面内，只要是一组不共线的非零向量，都可以作为基底，基底不同，那么同一向量对基底的分
解结果就是不同的．
1
②平面内任意一个向量都可以用该平面内的一组不共线的非零向量线性表示，这是平面向量基本定理的
语言表述．
③若给定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是说，当 、 、 给定，则 、 有唯一解．
④平面向量基本定理还可以稍加拓展为如下结论：
对于平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
经典例题
1. 设点 是平行四边形 两条对角线的交点，给出下列向量组：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 ．
其中可作为该平面其他向量基底的是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
【备注】【教师指导】
本题是对平面向量基底的考查.作为平面基底的两个向量应满足的条件：
①这两个向量在同一平面内；②两个向量都是非零向量；③这两个向量不共线.
【答案】B
【解析】可作为平面向量基底的两个向量需要满足不共线，
而①③ 组向量不共线，②④组向量共线，
∴其中可作为该平面其他向量基底的是①③．
故选 ．
【标注】【知识点】基底的判断
巩固练习
2. 已知向量 ， ，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的
是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】因为 ，
2
所以 与 共线，故其不能作为基底，
其它选项中的两个向量都不共线，故其可以作为基底．
故选 ．
【标注】【知识点】基底的判断；平面向量基本定理及其意义
经典例题
3. 如图,在 中, , ,若 ,则 的值为（　　）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查平面向量基本定理.
【答案】A
【解析】∵ , ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ , ,
则 ,
故选： ．
【标注】【知识点】平面向量基本定理及其意义；平面向量线性运算综合（非坐标）
巩固练习
3
4. 如图，在 中，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）
2. 平面向量的正交分解及坐标表示
知识精讲
如下图：
在平面直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底．
对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 、 ，
使得：
4
这样，平面内的任一向量 都可以由 、 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的坐标，
记作： ．
由于 ，则称互相垂直的一组基底为正交基底，在正交基底下的向量分解叫做正交分解．
规定：零向量与任意向量垂直．
3. 平面向量的坐标运算
知识精讲
已知向量
（1）平面向量加法运算坐标表示：
（2）平面向量减法运算坐标表示：
即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
（3）平面向量数乘运算坐标表示：
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
知识点睛
若 ， ，
根据向量的减法运算，则 ，
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
经典例题
5. 设平面向量 ， ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查平面向量的线性运算（坐标表示）.
【答案】A
【解析】∵平面向量 ， ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量加、减、数乘的坐标运算
5
6. 如图，正方形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ，则 （
）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查平面向量正交分解及其坐标表示.
【答案】D
【解析】以 ， 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故选： ．
【标注】【知识点】向量系数求值问题；平面向量基本定理及其意义
巩固练习
7. 已知向量 ， ，那么向量 的坐标是 ．
【答案】
6
【解析】 ．
【标注】【知识点】平面向量加、减、数乘的坐标运算；平面向量线性运算综合（非坐标）
8. 已知点 ， ，向量 ，则向量 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知点 ， ，得到 ，向量 ，则向量
．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量加、减、数乘的坐标运算；平面向量线性运算综合（非坐标）
9. 如图，在正方形 中， 是 的中点，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：因为
,
且 ,
所以 ，
得 ，
7
所以 ，
故选 .
方法二：设正方形边长为 ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
依题意， ，即 ，解得 ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；向量系数求值问题
4. 平面向量共线的坐标表示
知识精讲
设 ， ，其中 ．
由共线向量基本定理可知： 、 共线，当且仅当存在实数 ，使 ．
如果用坐标表示，可写为 ，即 ，消去 后得 ，
即当且仅当 时，向量 、 共线.
当 时，此时上述表达式仍然成立．
因此有向量 ， （ ）共线的充要条件是 ．
知识点睛
如图，已知 ， 是不平行的两个向量， 是实数， ，
则
．
8
12. 已知向量 ， ，若 ，则实数 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查平面向量平行的坐标表示： ，若 ，则
.
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ，
，
若 ，
则 ，
得 ，
即 ，得 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的共线
巩固练习
13. 已知向量 ，向量 ，若 ，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知 ，
，
因为 ，
所以有 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的垂直；坐标表示平面向量的共线
14. 已知向量 ， ， ，若 为实数， ，则 （ ）．
10
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的共线；坐标表示平面向量的垂直
经典例题
15. 已知向量 ， ， ，且 、 、 三点共线，则 ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查三点共线：若 三点共线，则 .
【答案】
【解析】向量 ， ， ，
∴ ， ，
又 、 、 三点共线，
故 ，
∴ ，
故答案为 ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；坐标表示平面向量的垂直
巩固练习
16. 若三点 、 、 共线，则 的值为 ．
【答案】
【解析】因为由已知可得： ， ，
因为 ， ， 三点共线，
11
所以可得 ，
则 ，
解得 ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的垂直；坐标表示平面向量的共线
经典例题
17. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为
（ ）．
A. B. C. 1 D. 3
【备注】【教师指导】
由三点共线得出的一个结论：若 、 、 三点满足 ，其中 ，
则 、 、 三点共线．
【答案】A
【解析】∵ ， ，∴
又因为 在同一条直线上，所以 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量的数乘运算及运算规则；平面向量中的三点共线问题
巩固练习
18. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为
（ ）．
12
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设可知：
由 ，
则 ，
故 可转化为：
，
又由 是 上一点，
即 、 、 三点共线，
则利用三点共线定理可知：
，
解得： ，
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量的数乘运算及运算规则；平面向量中的三点共线问题；平面向量的加
法运算及运算规则
5. 平面向量数量积的坐标表示
知识精讲
（1）平面向量数量积的坐标表示
已知 ， ， ．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）平面向量模的坐标表示
已知 ，则 ，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
（3）平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量 、 ，若 ， ， 是 与 的夹角，则
（4）向量垂直的坐标表示
若 ， ，
则 ⊥ ，且 ⊥ .
13
经典例题
19. 已知平面向量 ， ，若 与 垂直，则实数 值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查向量垂直的坐标表示：
若 ， ，
则 ⊥ ，且 ⊥ .
【答案】D
【解析】 ．
．
∵ 与 垂直，
∴
．
∴ ．
【标注】【知识点】数量积的坐标表达式；平面向量数量积运算（非坐标）
巩固练习
20. 已知 ， ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得 ，
．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
故选 ．
14
【标注】【知识点】平面向量加、减、数乘的坐标运算；平面向量数量积的坐标运算；坐标表示平
面向量的垂直
经典例题
21. 设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ，则
．
【备注】【教师指导】
本题主要考查平面向量共线、垂直的坐标表示，并且能够根据向量的坐标求向量的模长.
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ，解得 ，
且 ，解得 ，
∵ ， ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】向量的模；坐标表示平面向量的垂直；坐标表示平面向量的共线；利用向量数
量积求模长；利用数量积解决向量垂直问题（非坐标运算）
巩固练习
22. 如果向量 ， ，那么 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴ ，
则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量的模；平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量加、减、数乘的坐标
运算
15
23. 设平面向量 ， ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以有 ，解得 ．于是 ，
所以 ．
【标注】【知识点】利用向量数量积求模长；平面向量数量积的运算律
6. 平面几何中的向量方法
知识精讲
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长
度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的
方法加以解决.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
①建立平面几何和向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
【备注】【教师指导】
本讲主要利用向量方法来判断几何图形的形状，向量在平面几何中的应用在《平面向量的
综合应用》这一讲会重点讲解.
经典例题
24. 在平行四边形 中，若 ，判断四边形 的形状．
【备注】【教师指导】
本题主要考查用向量的方法解决平面几何问题：利用向量的方法判断四边形的形状.
注意：对角线相等的平行四边形是矩形.
【答案】证明见解析．
【解析】如图所示，
16
因为四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
故四边形 是矩形．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；平面几何中的向量方法
巩固练习
25. 若 是 所在平面内一点，且满足 则 的形状是（
）．
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【备注】【教师指导】
注意：将红框等式两边平方得到： .
【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
17
∴ 是直角三角形．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；平面几何中的向量方法
26. 若 ，且 ，则四边形 是（ ）．
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是等腰梯形．
故选 ．
【标注】【知识点】平面几何中的向量方法
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
18
四、 出门测
27. 如图， 是 的边 的中点，则向量 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵ 是 的边 的中点，∴
∵ ，
∴
19
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量基本定理及其意义；平面向量中的三点共线问题
28. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵向量 ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的垂直
29. 已知向量 ， ， ．若向量 与向量 共线，则实数
．
【答案】
【解析】∵向量 ， ， ．所以 ，
∵向量 与向量 共线，∴ ，解得 ．
【标注】【知识点】坐标表示平面向量的共线
30. 已知等腰三角形 的底边 的长是 ，则 ．
【答案】
【解析】方法一：作 的中点 连接 ，则有 ，
20
．
方法二：
，
即为 在 上的投影，
为等腰三角形， 为底边 的高，所以 ，
即为 在 上的投影，
根据等腰三角形“三线合一”，
故 ．
【标注】【知识点】向量的数量积的定义；平面向量数量积运算（非坐标）
21

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