资源简介

平面向量的综合应用
一、 课堂目标
1．熟练掌握用向量解决实际问题的两种方法：基底法和坐标法．
2．掌握向量在物理中的应用．
3．掌握三角形的“五心”及应用．
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是用向量解决实际问题的两种方法（基底法和坐标法）和向量法解决几何问
题的“三步曲”；掌握向量在物理中的应用：一是体会如何把物理之间的关系抽象成数学模
型，二是如何用向量来解决这个数学模型；理解三角形“五心”概念，掌握“五心”的向量表达
式.本讲的难点是如何将实际问题转化为向量问题，以及三角形“五心”的应用.本讲的重点题
型是在几何图形中，用基底法和坐标法来求向量的数量积的取值及取值范围，力的合成与
分解以及力对物体做功的大小.
2.本讲在考试中一般以选择、填空题考查，其关联知识是平面向量基本定理及坐标运算.
二、 知识讲解
1. 向量在平面几何中的应用
知识精讲
（1）两种方法
①基底法：根据图形之间的关系，选择一组基底，再用基底分别表示出目标向量，然后再根据平面向量
的加法、减法、数乘、数量积的运算法则进行计算求解．
②坐标法：若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，先求点的坐标，再表示向量的坐标，通
过坐标运算法则求解．
（2）用向量方法解决平面几何问题的基本步骤
①表示：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量
问题；
②运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．
1
知识点睛
（1）平面向量坐标法的解题思路：
①首先需要考虑如何建立合适的坐标系以便更有利于问题的解决，一般遵循的原则是：让尽可能多的点
的坐标形式简单．比如，尽量让更多的点落在坐标轴上，一般优先考虑将原点取在已知线段的中点处
(或互相垂直的线段的交点处)等等．
②建立坐标系后，要标出坐标已知的点，对于坐标未知的点，要分析它们与已知点的关系，确实没有联
系的未知点，要大胆地设出坐标，这样未知参数虽然比较多，看上去似乎有些凌乱，但一般不影响解答
和最终结果．
③相关点的坐标设出之后，就可以将题目中的向量关系和运算用坐标来表示了，此时结合解析几何、代
数知识可使问题获解．
（2）常见应用形式
①证明线段相等：要证明 ，只要证明 或 或 ．
②证明直线或线段平行：要证明 ，只要证明存在实数λ，使得 或
，即利用向量共线定理或向量共线的坐标表示证明．
③证明三点共线：要证明 ， ， 三点共线，只要证明存在实数λ，使得 或
或 ，即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可．
④证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是直角三角形等）：
要证明 ，只要证明 或 ．
⑤求与夹角有关的问题：
逆用向量的数量积公式 ，或利用坐标表示为 ．
⑥求线段的长度：
利用公式 或 ．
经典例题
1. 在平行四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在 ， 边上，且
， ，则 （ ）．
2
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
利用“基底法”求向量的数量积，选择基底 来表示目标向量 和 ，然后在根
据向量的加法、减法、数乘、数量积的运算法则进行计算求解.
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴
．
故选： ．
【标注】【知识点】向量的数量积的定义；平面向量数量积的运算律；平面向量数量积运算（非坐
标）；平面向量线性运算综合（非坐标）
巩固练习
2. 已知 中， ， ， ， ， ，则 （
）．
3
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 中， ， ， ， ， ，
得 ， ，
∴
．
故选： ．
【标注】【知识点】用基底法求向量的数量积
3. 如图，正六边形 的边长为 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵在边长为 的正六边形 中，
∴ 是边长为 的正三角形，
且 ， ，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量数量积运算（非坐标）；向量的数量积的定义
4
经典例题
4. 如图，在 中， ， ， ． 是 边上的一点（不含端点），则
的取值范围是 ．
D
【备注】【教师指导】
利用“基底法”求向量的数量积的取值范围，选择基底 和 来表示目标向量
和 .
注意：利用 三点共线，得到： .
【答案】
【解析】∵在 中， ， ， ．
∴ ．
∵ ， ， 三点共线，
∴存在实数 使得 ． ．
∴
，
∵ ，
∴ ．
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；平面向量数量积的运算律
巩固练习
5. 如图，在梯形 中， ， ， ， ， 是线段 上一点，（可与
， 重合），若 ，则 的取值范围是 ．
5
【答案】
【解析】设 ， ，
∴ ，
，
∴
，
，
∴ ．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；平面向量数量积运算（非坐标）；向量的数量积
的定义；平面向量数量积的运算律
6. 如图，在三角形 中，已知 ， ， ，点 为 的三等分点．则
的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
，
6
∴
．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量的数量积的定义
经典例题
7. 在边长为 的正方形 中， ， 的中点为 ， ，则
．
【备注】【教师指导】
利用“坐标法”来求向量数量积，通过建立合适的平面直角坐标系，求出点的坐标，进而求出
向量的坐标，利用坐标运算求向量的数量积.
【答案】
【解析】建立如图所示直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，由 ，得 ，
解得 ．
∴ ， ．
则 ．
故答案为： ．
7
【标注】【知识点】数量积的坐标表达式；平面向量数量积运算（非坐标）
巩固练习
8. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若
，则 的值是 ．
【答案】
【解析】法一：坐标法．
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，则 ，
， ，设 ．故 ， ， ，
，
∴ ．又 ，∴ ．∴
．
∴ ．
法二：用 ， 表示 ， 是关键．设 ，则
．
，∴ ．
∴ ，
∴
．
【标注】【知识点】向量的数量积的定义
经典例题
8
9. 如图，四边形 是正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为 的中点，且
,则 （ ）
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
利用“坐标法”来求向量数量积，通过建立合适的平面直角坐标系，求出点的坐标，进而求出
向量的坐标，利用坐标运算法则求解.
【答案】B
【解析】方法一：由题意，
，
， ，
，
故选： ．
方法二：由题意，设正方形的边长为 ，建立坐标系如图，
则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
又∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故选： ．
9
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；向量系数求值问题
巩固练习
10. 在 中， ，若 ，则 .
【答案】
【解析】特殊值法，以等腰直角三角形为例，并建立直角坐标系，如图，设边长为 ．
三等分点
.
由相似三角形性质可得 ,
得 ．
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量加、减、数乘的坐标运算
2. 向量在物理中的应用
知识精讲
（1）常见物理量的解题思路
①力向量：求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则求解．
（i）当受力物体被看成质点时，往往对作用力进行正交分解；
（ii）在同一平面上，作用于同一点的两个力 ， 或三个力 ， ， 处于平衡状态，可分别用等式
， 来表示．
②速度向量：可用求向量和的平行四边形法则求两个速度的合速度．在具体问题中有时需要对速度进行
分解，这时可根据实际情况选择平行四边形法则或正交分解法．
③力做功：力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量
积， （ 为 和 的夹角）．
10
(2)用向量法解决物理问题的步骤
①抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
②建立以向量为主体的数学模型；
③通过向量的线性运算或数量运算，求解数学模型；
④用数学模型中的数据解释物理问题．
知识点睛
（1）向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量，比如力，速度、加速度、位移等都是向量，本
节就是用向量来研究物理问题，应注意两点：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理
量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
（2）须明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识．
①力，速度、加速度、位移都是向量；
②力，速度，加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
③动量 是数乘向量；
④功即是力 与所产生位移 的数量积．
经典例题
11. 如图，一质点在平面上的三个力 、 、 的作用下处于平衡状态，已知 ，
， 与 的夹角为 ，求 的大小．
【备注】【教师指导】
利用作用于同一点的几个力处于平衡状态，可知几个力的和等于零向量.
【答案】 ．
【解析】因为质点在三个力 、 、 的作用下处于平衡状态，
所以 ，即 ，
所以
11
．
【标注】【知识点】向量在物理中的应用举例；向量的模
巩固练习
12. 两个大小相等的共点力 、 ，当它们的夹角为 时，合力大小为 ，当它们的夹角为
时，合力大小为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，以 ， 为邻边作平行四边形， 为这两个力的合力．
由题意，易知 ， ；
∴ ．
当它们的夹角为 时，以 ， 为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，此时 ．
【标注】【知识点】向量的模；平面向量的加法运算及运算规则；向量在物理中的应用举例
13. 一质点受到平面上的三个力 、 、 （单位： ）的作用处于平衡状态．已知 、 成 角，
且 ， 的大小分别为 和 ，则 的大小为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知 ，
12
∴
．
∴ （ ）．
故选 ．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；向量的数量积的定义；平面向量的加法运算及运
算规则；向量在物理中的应用举例
经典例题
14. 年巴西夏季奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆
船所受的风力方向为北偏东 ，速度为 ，此时水的流向是正东，流速为 ，若不考虑
其他因素，求帆船行驶的速度与方向．
【备注】【教师指导】
本题考查的是速度向量：求向量和的平行四边形法则求两个速度的合速度.
【答案】帆船向北偏东 方向行驶，速度为 ．
【解析】如图所示，建立直角坐标系，风力的方向为北偏东 ，速度为 ，
水流的方向为正东，速度为 ，帆船行驶的速度为 ，
则 ，
由题意可得向量 ，
向量 ，
则帆船行驶的速度 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 为锐角，
所以 ，
13
答：帆船向北偏东 方向行驶，速度为 ．
【标注】【知识点】向量的模；平面向量加、减、数乘的坐标运算；利用向量数量积求模长
巩固练习
15. 一条河宽为 ，一船从 出发垂直到达河正对岸的 处，船速为 ，水速为 ，则船
到达 处所需时间为 ．
【答案】
【解析】船速和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图所示，
水流方向
， ，
根据勾股定理得 ，
所以船到达 处所需时间为 ．
【标注】【知识点】利用向量数量积求模长；平面向量的加法运算及运算规则；向量的模
经典例题
16. 质量 的物体，在平行于斜面向上的拉力 的作用下，沿斜面角 的光滑斜
面向上滑行 的距离（如图所示）．
（ 1 ）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功．
（ 2 ）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？
【备注】【教师指导】
本题考查的是力做功：实质上是力和位移两个向量的数量积.
【答案】（ 1 ）重力： ，拉力： ，支持力： ．
14
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）物体受三个力的作用，重力 ，拉力 和支持力 ，如题图所示．
拉力 与位移 方向相同，所以拉力 对物体所做的功为：
；
支持力 对物体所做的功为： ；
重力 对物体所做的功为：
．
（ 2 ）物体所受各力对物体做功的代数和为 ．
【标注】【知识点】向量在物理中的应用举例；向量的数量积的定义；平面向量数量积运算（非坐
标）
巩固练习
17. 已知一物体在共点力 ， 的作用下产生位移 ，则这两个共点力对
物体做的总功为 ．
【答案】
【解析】合力 ，其所做的功为 ．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；数量积的坐标表达式；平面向量加、减、数乘的
坐标运算
3. 三角形的“五心”
知识精讲
（1）三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、内心、旁心
①三角形三条中线的交点是重心；
②三角形三条高线的交点为垂心；
③与三角形三个顶点都相交的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（是三边垂直平
分线的交点）；
④与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心（是三条内角平分线
的交点）；
15
⑤与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁
心（是其一内角的平分线所在直线和其他两角的外角平分线的交点）．
（2）“奔驰”定理
已知 为三角形内 一点，则
其中 ， ， 分别是 、 、 的面积．
【备注】【教师指导】
证明：记 的面积为 ，延长 交 于点 ，则
根据利用向量基底化的交叉法可得：
从而可得：
将 ， ， 代入上式并整理得：
由于这个定理和奔驰的 很相似，我们把它称为“奔驰”定理．根据这个定理，我们很容易得到三角形
的五心的向量表达式.
知识点睛
（1）重心的向量表示式
表达式①： 是 的重心
表达式②： 是 的重心
【备注】【教师指导】
表达式①证明：若 是 的重心，
则
16
根据奔驰定理，有
于是 ，得证．
表达式②证明：
（2）垂心的向量表达式
表达式①： 是 的垂心
表达式②： 是 的垂心
【备注】【教师指导】
表达式①证明：由于
任取一个等号两端进行移项合并，有：
于是根据垂心的特点，得证．
表达式②证明：当 为锐角三角形时， 在 的内部，如图：
由于 ，
于是 ，
而 ， ，所以
同理可得
于是，根据奔驰定理可得
当 为钝角三角形时，也可依同样的方法证出．
（3）外心的向量表达式
17
表达式①： 是 的外心
表达式②： 是 的外心
【备注】【教师指导】
表达式①证明：由于外心到三角形各顶点的距离相等，所以结论显然成立．
表达式②证明：
由于 是 的外心，所以 ，
所以
结合奔驰定理可得
，得证．
（4）内心的向量表达式
表达式①： 是 的内心
表达式②： 是 的内心
【备注】【教师指导】
表达式①证明：过点 分别作 、 、 边的垂线并分别交三边于 、 、 三点，若
是 的内心，则
， ，
于是
18
结合奔驰定理，可得 ，得证．
表达式②证明：由平行向量可知， 表示与 同向的单位向量，记与 同向的单位向
量为 ，与 同向的单位向量为 ，
则
若 ，则 ，又因为 为等腰三角形，所以 在
的平分线上，
同理，由若 可得 在 的平分线上，
所以 为 的内心．
（5）旁心的向量表达式
一个三角形的旁心有三个，若 是 的位于 的平分线上的一个旁心，则有：
．反之也成立．
【备注】【教师指导】
旁心作为学生了解内容，不需要重点讲解.
经典例题
18. 已知 为 的重心， 为 的中点，则下列等式成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查三角形“重心”的应用.
19
注意：此题是多选题.
【答案】ABD
【解析】如图所示，易知重心 为三角形 三中线的交点，设 、 分别为 ， 的中点，
对于 ：
，
故 正确；
对于 ： ， ，
∴
．
（至于 运用到了重心是中线的三等分点这个定理），
故 正确；
对于 ：
，
故 错误；
对于 ：
20
，
故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；平面向量的数乘运算及运算规则；平面向量
线性运算综合（非坐标）；平面向量与三角形的“心”；平面向量的减法运算及运算规则
巩固练习
19. 已知等边三角形 的边长为 ，其重心为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】等边三角形 的边长为 ，其重心为 ，
则
．
故选 ．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；平面向量数量积的运算律；向量的数量积的定义
经典例题
20. 已知 的垂心为 ，且 ， ， 是 的中点，则 （ ）．
A. B. C. D.
21
【备注】【教师指导】
本题主要考查三角形“垂心”的应用.
【答案】D
【解析】
．
∵ 为 的垂心，
∴ 与 垂直，
∴ ．
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量与三角形的“心”；平面向量数量积的运算律；线性运算和数量积综合
问题；向量的数量积的定义
巩固练习
21. 已知 是 的垂心（三角形三条高所在的直线的交点）， ，则
的值为 ．
【答案】
22
【解析】设 边上的高为 ， ，
令 ，则 为 的中点，∴ ，
由三点共线定理可得 ， ， 三点共线，所以 ， 为同一点，
，
而 ，所以 ， ，
．
【标注】【知识点】平面向量数量积运算（非坐标）；向量的数量积的定义；平面向量与三角形的
“心”；平面向量中的三点共线问题
经典例题
22. 在 中， ， ， ，且 是 的外心，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查三角形“外心”的应用.
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形，
∴外心 是 的中点，
．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量数量积的运算律；线性运算和数量积综合问题
巩固练习
23. 已知 中 ， ，若 为 的外心，则 ．
23
【答案】
【解析】由题意可知，
．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；平面向量数量积的运算律；向量的数量积的定
义；平面向量的减法运算及运算规则；平面向量与三角形的“心”
经典例题
24. 在 中， ， ， ．若 是 的内心，且 ，则
， ．
【备注】【教师指导】
本题主要考查三角形“内心”的应用.
【答案】 ;
【解析】延长 交 于 ，则类似例 可得， ．又由定比分点公式，
，所以 ．
【标注】【知识点】平面向量的加法运算及运算规则；线段的定比分点公式
巩固练习
25. 在 中， ， ，设 为 的内心，若 ，则 的值为（
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设 ，
24
∴ ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量的数乘运算及运算规则；平面向量的加法运算及运算规则；平面向量
与三角形的“心”；平面向量线性运算综合（非坐标）
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
26. 已知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点，则 的值为 ； 的取
值范围是 ．
25
【答案】 ;
【解析】
∵正方形 的边长为 ，
则 ， ， ，
∵ 为 上动点，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
，
又∵ ，
∴ 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】平面向量数量积的运算律；平面向量数量积运算（非坐标）
27. 河水的流速为 ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速
度大小为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设河水的流速 ，
静水速度与河水速度的合速度 ，
26
小船在静水中的速度为 ，
∵为了使船向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即：静水速度 斜向上游方向，河水速度 ，平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度 指向河岸，
∴静水速度 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量在物理中的应用举例
28. 已知 ， ， 在 所在平面内， ， ，且
，则点 ， ， 依次是 的（ ）．
A. 重心 外心 垂心
B. 重心 外心 内心
C. 外心 重心 垂心
D. 外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）
【答案】C
【解析】由 知， 为 的外心；
由 知， 为 的重心；
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
同理， ，∴ 为 的垂心，故选 ．
【标注】【知识点】向量的模；平面向量与三角形的“心”；向量的数量积的定义；平面向量数量积
的运算律
27平面向量的综合应用
一、 课堂目标
1．熟练掌握用向量解决实际问题的两种方法：基底法和坐标法．
2．掌握向量在物理中的应用．
3．掌握三角形的“五心”及应用．
二、 知识讲解
1. 向量在平面几何中的应用
知识精讲
（1）两种方法
①基底法：根据图形之间的关系，选择一组基底，再用基底分别表示出目标向量，然后再根据平面向量
的加法、减法、数乘、数量积的运算法则进行计算求解．
②坐标法：若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，先求点的坐标，再表示向量的坐标，通
过坐标运算法则求解．
（2）用向量方法解决平面几何问题的基本步骤
①表示：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量
问题；
②运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点睛
（1）平面向量坐标法的解题思路：
①首先需要考虑如何建立合适的坐标系以便更有利于问题的解决，一般遵循的原则是：让尽可能多的点
的坐标形式简单．比如，尽量让更多的点落在坐标轴上，一般优先考虑将原点取在已知线段的中点处
(或互相垂直的线段的交点处)等等．
②建立坐标系后，要标出坐标已知的点，对于坐标未知的点，要分析它们与已知点的关系，确实没有联
系的未知点，要大胆地设出坐标，这样未知参数虽然比较多，看上去似乎有些凌乱，但一般不影响解答
和最终结果．
1
③相关点的坐标设出之后，就可以将题目中的向量关系和运算用坐标来表示了，此时结合解析几何、代
数知识可使问题获解．
（2）常见应用形式
①证明线段相等：要证明 ，只要证明 或 或 ．
②证明直线或线段平行：要证明 ，只要证明存在实数λ，使得 或
，即利用向量共线定理或向量共线的坐标表示证明．
③证明三点共线：要证明 ， ， 三点共线，只要证明存在实数λ，使得 或
或 ，即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可．
④证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是直角三角形等）：
要证明 ，只要证明 或 ．
⑤求与夹角有关的问题：
逆用向量的数量积公式 ，或利用坐标表示为 ．
⑥求线段的长度：
利用公式 或 ．
经典例题
1. 在平行四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在 ， 边上，且
， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 已知 中， ， ， ， ， ，则 （
）．
2
A. B. C. D.
3. 如图，正六边形 的边长为 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
经典例题
4. 如图，在 中， ， ， ． 是 边上的一点（不含端点），则
的取值范围是 ．
D
巩固练习
5. 如图，在梯形 中， ， ， ， ， 是线段 上一点，（可与
， 重合），若 ，则 的取值范围是 ．
6. 如图，在三角形 中，已知 ， ， ，点 为 的三等分点．则
的取值范围为（ ）．
3
A. B.
C. D.
经典例题
7. 在边长为 的正方形 中， ， 的中点为 ， ，则
．
巩固练习
8. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若
，则 的值是 ．
经典例题
9. 如图，四边形 是正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为 的中点，且
,则 （ ）
A. B. C. D.
巩固练习
10. 在 中， ，若 ，则 .
2. 向量在物理中的应用
4
知识精讲
（1）常见物理量的解题思路
①力向量：求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则求解．
（i）当受力物体被看成质点时，往往对作用力进行正交分解；
（ii）在同一平面上，作用于同一点的两个力 ， 或三个力 ， ， 处于平衡状态，可分别用等式
， 来表示．
②速度向量：可用求向量和的平行四边形法则求两个速度的合速度．在具体问题中有时需要对速度进行
分解，这时可根据实际情况选择平行四边形法则或正交分解法．
③力做功：力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量
积， （ 为 和 的夹角）．
(2)用向量法解决物理问题的步骤
①抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
②建立以向量为主体的数学模型；
③通过向量的线性运算或数量运算，求解数学模型；
④用数学模型中的数据解释物理问题．
知识点睛
（1）向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量，比如力，速度、加速度、位移等都是向量，本
节就是用向量来研究物理问题，应注意两点：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理
量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
（2）须明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识．
①力，速度、加速度、位移都是向量；
②力，速度，加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
③动量 是数乘向量；
④功即是力 与所产生位移 的数量积．
经典例题
11. 如图，一质点在平面上的三个力 、 、 的作用下处于平衡状态，已知 ，
， 与 的夹角为 ，求 的大小．
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巩固练习
12. 两个大小相等的共点力 、 ，当它们的夹角为 时，合力大小为 ，当它们的夹角为
时，合力大小为（ ）．
A. B.
C. D.
13. 一质点受到平面上的三个力 、 、 （单位： ）的作用处于平衡状态．已知 、 成 角，
且 ， 的大小分别为 和 ，则 的大小为（ ）．
A. B.
C. D.
经典例题
14. 年巴西夏季奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆
船所受的风力方向为北偏东 ，速度为 ，此时水的流向是正东，流速为 ，若不考虑
其他因素，求帆船行驶的速度与方向．
巩固练习
15. 一条河宽为 ，一船从 出发垂直到达河正对岸的 处，船速为 ，水速为 ，则船
到达 处所需时间为 ．
经典例题
16. 质量 的物体，在平行于斜面向上的拉力 的作用下，沿斜面角 的光滑斜
面向上滑行 的距离（如图所示）．
6
（ 1 ）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功．
（ 2 ）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？
巩固练习
17. 已知一物体在共点力 ， 的作用下产生位移 ，则这两个共点力对
物体做的总功为 ．
3. 三角形的“五心”
知识精讲
（1）三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、内心、旁心
①三角形三条中线的交点是重心；
②三角形三条高线的交点为垂心；
③与三角形三个顶点都相交的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（是三边垂直平
分线的交点）；
④与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心（是三条内角平分线
的交点）；
⑤与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁
心（是其一内角的平分线所在直线和其他两角的外角平分线的交点）．
（2）“奔驰”定理
已知 为三角形内 一点，则
其中 ， ， 分别是 、 、 的面积．
由于这个定理和奔驰的 很相似，我们把它称为“奔驰”定理．根据这个定理，我们很容易得到三角形
的五心的向量表达式.
知识点睛
（1）重心的向量表示式
表达式①： 是 的重心
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表达式②： 是 的重心
（2）垂心的向量表达式
表达式①： 是 的垂心
表达式②： 是 的垂心
（3）外心的向量表达式
表达式①： 是 的外心
表达式②： 是 的外心
（4）内心的向量表达式
表达式①： 是 的内心
表达式②： 是 的内心
（5）旁心的向量表达式
一个三角形的旁心有三个，若 是 的位于 的平分线上的一个旁心，则有：
．反之也成立．
经典例题
18. 已知 为 的重心， 为 的中点，则下列等式成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
19. 已知等边三角形 的边长为 ，其重心为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
经典例题
20. 已知 的垂心为 ，且 ， ， 是 的中点，则 （ ）．
A. B. C. D.
8
巩固练习
21. 已知 是 的垂心（三角形三条高所在的直线的交点）， ，则
的值为 ．
经典例题
22. 在 中， ， ， ，且 是 的外心，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
23. 已知 中 ， ，若 为 的外心，则 ．
经典例题
24. 在 中， ， ， ．若 是 的内心，且 ，则
， ．
巩固练习
25. 在 中， ， ，设 为 的内心，若 ，则 的值为（
）．
A. B. C. D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
26. 已知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点，则 的值为 ； 的取
值范围是 ．
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27. 河水的流速为 ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速
度大小为（ ）．
A. B. C. D.
28. 已知 ， ， 在 所在平面内， ， ，且
，则点 ， ， 依次是 的（ ）．
A. 重心 外心 垂心
B. 重心 外心 内心
C. 外心 重心 垂心
D. 外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）
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