资源简介

7.2.1随机变量及离散型随机变量
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第七章《随机变量及其分布列》， 主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一，是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情境为主，需要学生具备一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。
学情分析
在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识，在本书的第一章中也全面学习了排列组合的有关内容，有了知识上的准备; 并且通过古典概率的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的准备, 但并未系统化。处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的能力，动手能力运算能力尚佳，但基础薄弱，对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化，以及处理抽象问题的能力，还有待于提高。
教学目标
【基础性目标】
通过具体实例掌握随机变量概念，并建立起离散型随机变量概念。
【拓展性目标】
能将随机试验的结果数量化。在举列、观察、思考、发现中，体会到随机变量是一种映射，并能清楚地理解它与函数的区别和联系。
【挑战性目标】
用数学的方法研究随机现象，在学习中建立数学抽象的核心素养，体会数学的量化思想。
教学重难点
重点：掌握随机变量及离散型随机变量的概念。
难点：能将随机试验结果数量化，体验随机变量是建立了从随机试验结果到实数集合的映射。
教学过程
引言（1分钟） 求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验。 呈现学习目标（1分钟） 【基础性目标】 我能通过具体实例掌握随机变量概念，并建立起离散型随机变量的概念。 新寓于旧，借助新旧知识的内在联系适当拓展获取新知识
【拓展性目标】 我可以将简单随机试验的结果数量化，在举列、观察、思考、发现中，体会到随机变量是一种映射，并能清楚地理解它与函数的区别和联系。 【挑战性目标】 我可以用数学的方法研究随机现象，在学习中建立数学抽象的核心素养，体会数学的量化思想。 出示问题组 问题组一（随机变量及离散型随机变量的概念）（12分钟） 认真阅读下列试验并完成下面问题。 试验1：掷一枚质地均匀的骰子，变量M表示掷出的点数.掷两枚骰子出现的点数之和。 试验2:某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数N情况. 试验3：随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品” 的情况. 试验4：掷一枚硬币的试验结果. 试验5：:随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格. 问题1：试验1和试验2这两个情境中的样本空间各是什么？变量M和N的共同的特征是什么？ 归纳总结：有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系. 问题2：试验3、4、5这些随机试验的样本空间与数值没有直接关系，你能将它的试验结果数字化吗？ 归纳总结：有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。 定义生成 1.随机变量的定义 一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量. 2.离散型随机变量的定义 称为离散型随机变量。 表示：通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z; 用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. 随机变量的特点 达标训练：1.下列变量中哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由。 (1)上海国际机场候机室中2020年10月1日的旅客数量； (2)2021年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； (3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； 体积为1000 cm3的球的半径长． 2.下列变量中是离散型随机变量的是？ ( ) A.电话号码“110”每分钟被呼叫的次数 B.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； C.在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号； D.抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数. E.江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位． 变式练：将本例的E改为：监测站所测水位X是否超过警戒水位(警戒水位是29 m)，X是离散型随机变量吗 总结归纳:判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法。 （教师可补充连续型随机变量的定义） 问题组二（将随机试验结果数量化）（10分钟） 问题1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数，写出X的可能值。 问题2：写出下列随机变量可能取得值，并说明每个值所表示的随机试验的结果。 一个不透明袋中有大小相同、质地均匀的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球不放回，直到取出的球是白球为止，所需的取球次数； 一个不透明袋中有5个编号外其余均相同的白球，编号为1,2,3,4,5，现从中一次取出3个球，被取出的球中的最大号码Y. 问题3：上述各试验中各样本点是否都有唯一的变量值与之对应？ 总结归纳：随机变量与函数的区别和联系 （1）联系：它们都是一种映射，都是将一个对象映射为实数. （2）区别：随机变量是把随机试验的结果映为实数，而函数则是把实数映为实数． 达标训练：从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和。 变式训练：本题中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量X，请问X有哪些取值？其中X＝4表示什么含义？ 归纳总结： 齐读学习目标，使学生明确学习目标。 创设情境，引导学生“数学的”观察事物，对随机现象“数学地”思考，把问“数学化”，培养学生的数学建模素养。 通过具体实例抽象出随机变量及离散型随机变量的概念，让学生感受到从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的数学推理素养。 引导学生将知识横向迁移，类比，形成系统的知识体系。
课堂小结（2分钟） 随机变量及离散型随机变量的概念。（知识层面） 理解随机变量与函数的区别与联系（理解层面） 在理解和解题过程中所用到的思想、发展的素养。（学科核心素养） 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
课后作业
教学反思
7.2.2离散型随机变量的分布列及其应用
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》， 主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一，是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情境为主，需要学生具备一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。
学情分析
在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识，在本书的第一章中也全面学习了排列组合的有关内容，有了知识上的准备; 并且通过古典概率的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的准备, 但并未系统化。处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的能力，动手能力运算能力尚佳，但基础薄弱，对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化，以及处理抽象问题的能力，还有待于提高。
教学目标
【基础性目标】
通过具体实例理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示方法。
【拓展性目标】
掌握离散型随机变量的分布列的性质，并会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)。
【挑战性目标】
在学习中发展数学应用意识，提升数学建模和数学运算素养。
教学重难点
重点：离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及性质。
难点：准确求出具体问题随机变量取值的概率。
教学过程
呈现学习目标（1分钟） 【基础性目标】 我可以通过具体实例理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示。 【拓展性目标】 我可以掌握离散型随机变量的分布列的性质，并会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)。 【挑战性目标】 我在学习中发展数学应用意识，提升数学建模和数学运算素养。 安排学生朗读，使学生明确学习目标。
问题组一（离散型随机变量分布列的定义及表示方法）（8分钟） 问题1：抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？填入下表。 X123456P
问题2：由上表求出事件A“掷出的点数不大于2”和事件B“掷出偶数点”和的概率。 解：P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)= P(A)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)= 问题3：一批产品中次品率为5%,随机抽取1件产品,定义 ，请问随机试验结果有几个？并完成下表。 X01P0.950.05
定义生成 1.离散型随机变量的分布列的定义 一般地，当离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn时，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi, i∈{1,2，…，n}，为X的概率分布列。 2.离散型随机变量的分布列的表示 ①解析式 P(X=x i)=pi ,i=1,2,…,n ②表格 Xx1x2…xnPP1P2…pn
③概率分布图 3.两点分布的定义 对于只有 2个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败, 定义 ,如果P(A)=p,则P()= 1-p ，那么X的分布列如下表所示 X01P1-pp
我们称X服从两点分布或0—1分布. 达标训练：（预设答案详见ppt） X25P0.30.7
1.分布列 是两点分布吗？为什么？ 2.下列事件： ①买一张彩票是否中奖； ②掷一枚骰子，是否为偶数； ③投篮一次是否命中。 可以用两点分布来研究的是 问题组二（离散型随机变量的分布列的性质）（15分钟） 某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030
问题1:从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数X的分布列以及P(X≥4)。(预设答案详见ppt) 问题2：根据分布列，你能发现各个概率有怎样的特点？ 归纳总结：离散型随机变量分布列的性质 ⑴pi≥ 0 ,i=1,2,…,n ⑵p1+p2+…pn= 1 达标训练：（预设答案详见ppt） 1.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 2.设随机变量X的分布列为P= ，求 (1）P(x=1或P=2); (2) 3.若离散型随机变量X的分布列如下，求c的值 X01P6c-11-2c
问题组三（离散型随机变量分布列的实际应用）（7分钟） 某超市试销某种商品一个月（30天），获得如下数据： 日销售量/件01234频率0.10.30.30.20.1
（假设该商品的日销售量的分布规律不变），超市决定正式营销这种商品，设某天超市开始营业时有该商品4件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至4件，否则不进货，将频率视为概率。 （1）求当天商品进货的概率。 （2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列。(预设答案详见ppt) 归纳总结： 抛出问题，引导学生从概率的角度分析实际生活中遇到的问题，在具体的情境中经历数学建模的过程。 通过具体实例抽象出离散型随机变量的分布列的概念，并类比函数的表示方法总结归纳出分布列的表示方法，发展学生的数学抽象素养。 在训练中让学生锻炼求随机变量取值的概率，从而列出分布列，在解题过程中发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养。
课堂小结（2分钟） 离散型随机变量和两点分布列的概念及性质。（知识层面） 离散型随机变量分布列的实际应用。（学科核心素养） 通过总结，提高概括能力。
课后作业
教学反思

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