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菱形的性质 教学设计
摘 要：本节课的核心素养是整体教学、逻辑推理、应用意识。经复习回忆矩形的研究思路，易知菱形也是按定义、性质这样的思路进行研究，通过视角转变，仿照矩形的定义得到菱形定义，从定义出发，通过折叠发现性质，由此启发证明思路，经历合作、探究，在类比、归纳、演绎中引导学生严谨的推理证明，从而抓住重点，探索中用到转化思想、归纳思想、演绎思想。得出性质后通过纵向和横向对比，让学生对菱形、矩形、平行四边形形成一个系统的知识脉络，提炼方法，总结数学思想。最后通过不同层次的练习激发学生的学习热情，学生在应用迁移知识中反馈效果，同时巧妙的利用练习编排，层层递进，让学生体会菱形面积公式的推导过程，突破难点，培养学生运用数学能力、抽象概括能力和逻辑推理能力的数学核心素养。
关键词：整体教学；数学抽象；逻辑推理；数学运用；核心素养
一、内容和内容解析
1.内容
湘教版《义务教育教科书 数学》八年级下册：“2.6.1菱形的性质”.
2.内容解析
本节内容为《四边形》章节的第二章第六单元第一课时. 是在学生学习了等腰三角形性质、四边形的相关知识、平行四边形和矩形的性质和判定、中心对称和轴对称知识的基础上进一步研究的另一类特殊平行四边形．它既是平行四边形和矩形的延续和深入，同时也为后续正方形的学习打下基础，教学上存在“温故”和“知新”两方面内容，在本章中起着承上启下的作用。
对于平行四边形、矩形都是按照定义、性质、判定这样的思路研究，菱形亦是如此,采用类比平行四边形转化矩形的方式加以定义，定义中反映了“邻边相等”这一特殊“平行四边行”的“充要条件”，它反映了其基本要素（边）大小的特殊关系.
菱形的性质反映了其基本要素（边、角）以及相关要素（对角线）之间特殊的不变关系.教材从生活中的菱形图片出发，通过转化关系得出定义，由此知道菱形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边行的一切性质及中心对称性，接着抓住邻边相等推导出四边相等，利用等腰三角形三线合一进一步推出对角线的性质垂直、平分每组对角，然后通过学生动手操作，发现菱形是轴对称图形，利用轴对称性进一步验证菱形的性质，顺式推导出菱形独特的面积公式。让学生对菱形的认识由最初的感性通过推理上升到理性认识，再通过实践操作直观的加以验证。在研究过程中体会到了类比、归纳和演绎的数学推理思想及轴对称的思想。
基于以上分析，本节课的教学重点确定为：
【教学重点】 菱形的性质及应用.
目标和目标解析
教学目标
（1）了解菱形的定义及其与平行四边形、矩形之间的关系，体会类比、转化、归纳等数学思想.
（2）知道菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形
（3）探索并掌握菱形的性质，会用菱形的性质进行有关的计算，培养思维严密性和表达的规范性，提升逻辑推理、数学运算、应用意识等核心素养能力
2.目标解析
本节内容从学生熟悉的生活图片出发，让学生感受菱形在实际生活中的广泛应用，激发学生学习情趣。通过转化得出定义，从定义出发通过操作、推理鼓励学生合作探究，得出性质，将所学知识应用，加深学生对性质的理解与再认识。
达成目标（1）的标志：能根据转化关系得出菱形定义，能将其文字化、图形化、符号化,明白以定义为出发点来研究菱形；
达成目标（2）的标志：通过动手操作，能说出菱形的对称中心及对称轴；
达成目标（3）的标志：能根据转化关系知道菱形是一个特殊的平行四边形，通过类比、观察、操作、推理、想象等探索过程，体会合作探究的乐趣，并能将性质准确的用文字语言和符号语言描述出来；在“学以至用”中“融会贯通”。
三、学生学情分析
1.学生的知识基础：学生在七年级下册学习了轴对称图形，八年级上册学习了等腰三角形三线合一性质、八年级下册又刚学完了平行四边形和矩形的性质，学生能对这些基础知识进行运用，这为本节课作好了铺垫。
2.学生的技能基础：学生在学习平行四边形和矩形中，已渗透了“符号化”“分类”“类比”“归纳”“演绎”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好技能基础.
3.学生活动经验基础：学生刚学完平行四边形和矩形的性质，对其探究模式形成一定的套路，受其启发，学生具备一定模仿探究能力和合作学习的经验。
菱形是继矩形之后所研究的第二种特殊的平行四边形，它们之间有许多共性，也有许多区别，比如矩形和菱形中都有四个等腰三角形和直角三角形，为何菱形的面积可以利用对角线乘积的一半，而矩形不可以，这些学生在学习中极易混淆，因此在学习的过程中要注意引导学生动手，在操作中加深对性质的理解，找到共性及区别.使学生在后续学以至用中更从容，基于此，我将本节课的教学难点确定为：
【教学难点】菱形性质的探究和菱形面积公式的推导
四、教学策略分析
针对本节课的特点。教学中，我深层挖掘教材资源，创造性的使用教材，自主观察、独立思考类比归纳中得出菱形定义；动手操作、合作交流、演绎归纳中得出性质；利用习题编排技巧，通过知识串将难题设小问，降低坡度，从知识层面上满足不同学生的需求，通过吸引学生思考，让学生在练习中水到渠成的推导出菱形面积公式，运用中加深对性质的理解，归纳类比中培养学生思考问题和梳理知识的意识与能力。因此我采取了探究教学的模式，整体教学的理念，合作探究的方法展开本节课的教学.
五、教学基本流程
教学过程设计
环节一：情境引入，以旧带新
(一)、温故旧知（多媒体）
问题：随着学习的深入，四边形这个“大家族”越来越庞大，到目前为止，咱们学习了哪里特殊的四边形？
师生活动：当学生回答出平行四边形和矩形后，老师马上用多媒体展示事先准备好的转化关系图，引导学生回忆四边形、平行四边行、矩形的转化关系。
【设计意图】通过图形的转化关系，使学生明白知识的形成、产生过程，系统地撑握前面所学的四边形的从属关系，并为菱形的定义作铺垫.
(二)、引入新知
问题1：我们知道平行四边形是从角转化成矩形的，换个视角，你能否改变平行四边行边的大小关系，得到另一类特殊的平行四边形？
师生活动：学生说出从邻边的大小关系特殊化得到菱形，老师将事先做好的动画播放，改变平行四边形边，使一组邻边相等，从而引出菱形定义.
教师提出课题：今天这节课我们就来探究菱形的性质．（板书课题）其实这样的图形在我们日常生活中无处不在（播放生活中的菱形）！
【设计意图】类比矩形的形成过程，从另一角度引发菱形的形成过程，依着知识发展的逻辑及现实情境为线索，引入并明确研究对象——菱形，提出本节课研究的总问题.
问题2：怎样研究菱形呢？
师生活动：引导学生回忆平行四边形、矩形的研究思路——定义、性质、判定，类比得出菱形的研究思路
追问1：能模仿矩形的定义，根据刚才的转化过程，说出菱形的定义吗？试着画一个菱形，并用符号语言描述菱形定义.
追问2：由此你知道构成菱形的充要条件有哪几个？
师生活动：学生观看动画得到菱形定义，并画出菱形，用符号语言描述菱形定义，强调构成菱形的两个充要条件.
【设计意图】通过追问，引发学生类比，独立思考中得出菱形定义，将总问题化解成具体子问题一一解决
环节二：提出疑问，探究新知
问题1：依着上面的研究思路，从定义出发，你认为菱形是平行四边形吗？ 它具有平行四边形的性质吗？
师生活动：引导学生从边、角、对角线回忆平行四边形性质
【设计意图】让学生明白，研究几何图形性质是从最基本的定义开始的，理解平行四边形和菱形的共性
问题2：菱形还有哪些自己独特性质？你能模仿矩形性质的研究思路，利用手中的菱形纸板，通过折叠、旋转、测量等各种方法，猜测出菱形的特殊性质吗？
师生活动：学生动手操作，通过折叠，合作交流中发现菱形是轴对称图形，由此找出重合的线段和角，师引导学生从边、角、对角线归纳总结出菱形的特殊性质
【设计意图】通过动手操作，发现性质，感性认识中初层次感知菱形性质，为后续推理证明引发思路
追问1：刚才我们是如何发现菱形性质的？
师生活动：由轴对称性，将菱形依着两条对角线折叠两次，得到菱形四边重合，且两条对角线相交构成的四个角也重合，对角线将每组对角分成的两个角也互相重合，由此得到菱形四条边相等，两条对角线互相垂直、平分、平分每组对角，但我们只是通过操作得出的猜想，结论是否正确，还需严谨的推理过程
【设计意图】引导学生理清思路，发现结论，培养学生抽象概括能力和创新意识
追问2：如何证明菱形的性质？
师生活动：教师引导学生将几何命题写成已知和求证形式，从研究几何图形的基本定义出发，让学生思考中独立完成菱形两条特殊性质的推理过程，并激励学生扮演教师角色，到讲台上讲解。
【设计意图】学生在动手操作交流中，受对折启发推理思路，这有助于发展学生逻辑思维能力以及语言表达能力，在探究中促进演绎证明，培养学生逻辑推理能力和分析解决问题的能力，从而突破难点，达成目标。
追问3：你能用符号语言描述菱形的性质吗？
师生活动：抽生回答，其他学生补充，老师发现问题，引导纠正
追问4：菱形性质能帮我们解决什么问题？
师生活动：学生独立思考后回答，教师引导总结得出性质可用来证明两边等、两角等，两线垂直
【设计意图】通过文字语言符号化、图形化，培养学生严谨的逻辑思维能力，从已知和结论中看清菱形性质的用途，为今后证明边等、角等、线垂直构建模型，提供方法。
追问5：请你回顾下菱形性质的探究过程？
师生活动：学生回答，教师引导共同补充，仿照矩形的研究过程，从定义出发，以推理为明线，对折操作为暗线，在观察、操作、猜想中推理证明，最后从基本元素角、边、对角线归纳菱形性质特点。
【设计意图】梳理思路，回顾整合，为后续正方形的探究作经验铺垫
环节三：提炼方法，小结提升
1.你能从数学知识、方法、思想三方面说说你本节课有哪些收获吗？
2.将平行四边形、矩形、菱形性质，以表格形式进行纵向和横向比较，加深理解
师生活动：学生谈自己的收获，教师利用表格将知识结构化.
【设计意图】使学生系统地掌握所学四边形的从属关系，正确区分各种图形的性质，提炼方法，总结数学思想，纳入已有知识体系，使学生对整个学习过程脉络更清晰。
环节四：学以至用，检测效果
(一)、题组一：小试牛刀
1.下列菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
Ａ.内角和是３６０° Ｂ.四个角是直角　Ｃ.四条边相等 Ｄ.对角线互相平分
变式训练：
2.请你列举菱形具有而一般平行四边形不具有的一条性质：______
3.请你列举菱形和矩形都具有的一条性质：______
师生活动：教师点名抽答学生，学生回答后，师或给予引导纠错或给予肯定表扬
【设计意图】通过3道基础题来检查学生对菱形性质的理解、掌握情况，并给予及纠错和评价，激励学生学习热情（注重3个小题的演变，由常规题型转向开放题型，从多角度考查学生掌握情况）
(二)、题组二：八仙过海
4.如右图：在菱形ABCD中，对角线AC 、BD交于点O，试指出：
(1).图中所有的直角三角形
(2).图中所有的等腰三角形
师生活动：教师点名抽答学生，其他同学补充，师生共同纠错、给予评价
【设计意图】通过题型演变，多角度考查学生对菱形性质的迁移能力、撑握情况，同时引导学生归纳对比，明确并理解矩形和菱形中四个全等直角三角形和四个全等等腰三角形联系和区别，在练习中渗透数学思想，培养做题后的归纳反思习惯。
跟踪训练：
5.上图菱形ABCD中，两条对角线AC=6,BD=8，则
(1) AO=____ BO=____ ( 理由 )
(2) AB=____ ( 理由 )
(3) ( 理由 )
师生活动：教师点名抽答学生，其他同学补充，师生共同纠错、给予评价
【设计意图】在上题练习、归纳总结基础上，进一步了解学生对性质的理解撑握程度，并为下题的出场做好铺垫，让学生体会菱形公式的推导过程
变式训练：
6.将上题中的已知条件改成AC=a,BD=b，则
(1) AO=____ BO=____
(2) (3)
由此得出菱形面积公式：
师生活动：教师点名抽答学生，其他同学补充，师生共同纠错、给予评价
【设计意图】学生通过对比上题，自然过渡到本题，通过练习巧妙编排，层层递进，水到渠成得出菱形公式，从而抓住重点、突破难点。练习中渗透数学从特殊到一般的研究思路，反映数学严密的逻辑推理，培养学生思考问题的意识和能力。
跟踪训练：
7.菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积是___，周长是___
8.右图是一个边长为4米的菱形花圃，测得较小内角∠B＝60°，为迎接“五一
节，工作人员依对角线AC摆放另一种花型，则摆放花型的长度是____米。
师生活动：学生独立思考后抢答，教师或给予引导纠错或给予肯定表扬。
【设计意图】通过前面4至6题层层设置，练习中得出结论，构建数学模型，这里的第7题用来检查反馈学生的理解撑握情况，第8题即是菱形性质（四边等）、等边三角形判定的综合检测，又为下面第9题作铺垫，练习中培养学生运用数学，分析问题和解决问题的能力）
(三)、题组三：过关斩将（学科综合）
9.下图，在菱形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，AE⊥BC
(1) 请你猜想△ABC是什么特殊三角形？并说明你的理由。
(2) 求∠BCD的度数
(3) 求菱形ABCD的面积
师生活动：通过上题提示和铺垫，教师追问：由E是BC的中点，AE⊥BC，同学们想到了什么知识点？有什么结论？引导提示后，由学生将解题过程写出来，然后用展示台展示，师生查看证题的严紧性、规范性。
【设计意图】进一步检测学生对菱形性质的掌握程度，及综合运用知识和迁移知识的能力，并对学生证题过程的严紧性、规范性作出强化,以此为例题警示学生做题的规范化，重点培养学生逻辑推理的数学核心素养及分析能力解决问题能力的训练。渗透“以学生自主学习，自主探究为主，教师引导为辅”的教学理念。
环节五：课后作业，分层设计
⒈菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
⒉右图，四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交与点O，若AC＝80,BD=60，
求菱形的周长和面积。
⒊（能力提升题）（建议一题多解）
右图，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AC=㎝，
求BD的长；
求菱形ABCD的面积，
写出A、B、C、D的坐标.
【设计意图】前两题为必做题，第3题做为有能力的学生选做,分层作业，尽可能的满足各类学生对知识的需求
七、教学反思
菱形的性质是八年级下册中四边形性质探索这一章中很重要的一节课，在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤。了解菱形的现实应用和常用方法。
本节课的思路是：
1.先复习提问四边形、平行四边形、矩形的转化关系，让学生回忆平行四边形及矩形的性质，使学生系统地撑握前面所学的四边形的从属关系，并为后续问题的探究作铺垫
2.引出菱形定义：平行四边形是从角转化成矩形的，类比中让学生思考，并直观的用动画播放平行四边形从边转化成菱形，从而引出菱形定义，并展示菱形在生活中的实际应用，从而引出本课题――菱形的性质．
3.小组合作交流，通过学生动手操作，说理等方式，总结出菱形的特殊性质
4.课堂小结：通过表格形式进行对比平行四边形、矩形、菱形的性质
5.通过三个题组，检测学生对本节课的掌握程度，在这一过程中注重培养学生的思维，利用题型变换，做题总结规律等方式提高学生的逻辑思维能力。在培养灵活思维的同时注意解题“通法”这一不变因素，使学生学会将菱形问题转化放入特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形）中去解决几何计算问题、说理问题。
亮点一：整堂课经历操作感知→大胆猜想→理论认证→总结归纳→巩固提升，从动手对折初浅感知，启发猜测论证上升到理性认识，然后回归到生活运用中，让学生感受到数学的魅力，生活来源于数学又服务于数学，数学严谨美，逻辑美，思维美，整节课体现数学知识的形成探究过程，渗透数学思想，培养学生核心素养。
亮点二：通过类比矩形的探索研究过程，锻炼学生的抽象概括能力归纳总结能力，培养学生建模数学思想。探究中渗透“以学生自主学习，自主探究为主，教师引导为辅”的教学理念。
亮点三：大部分学生积极性被调动起来，学生积极性较高，思维活跃。
亮点四：整节课较流畅，一环扣一环
亮点五：习题选择精，突出目的性、层次性、代表性、关联性，各种类型题齐全，注重题目与题目间的过渡，题型之间注重变式，教师善于引导、启发学生，善于总结规律
不足之处：
学生动手操作，探索菱形性质时间还稍少了些。
本想将最后的综合题作为检测学生解题规范化检查，但因时间把握不够好，导致没有时间开展，同时也缺少了老师示范例题的一个好机会。

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