资源简介

人民教育出版社普通高中教科书A版数学必修第二册
《长方体容器内的水面》教学设计
教材分析
中华人民共和国教育部制定的普通高中数学课程标准（2017年版)提到“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.”“数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体.”
关于数学建模素养，标准提到“数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.”
本问题节选自人民教育出版社普通高中教科书A版数学必修第二册第八章8.5节习题中的拓广探索部分.标准要求学生借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.
本例为学生提供一种模型，为学生认识直线与平面的位置关系提供了方便.当容器倾斜时，水面的高度在变化但始终保持水平，不变的量为水的体积.
在此题的解答过程中，学生可经历建模的主要过程：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.流程图如下：
二.学情分析
学生本节课之前已经掌握了常见规则几何体的概念，学习了空间中点线面的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行的性质定理与判定定理.具备通过公理、定理等对直线平面之间简单的位置关系作出判断.特别是直线、平面等几何对象之间的平行关系.
对学生而言，困难的是在研究水在旋转的长方体内变化时所有量的变与不变.通过确定参数可以建立适当的几何模型，借助信息技术通过演示变化过程，学生可以观察、思考与之对应的问题.
三．教学目标分析
通过本课例的学习，学生可经历通过建模解决长方体容器内的水这一问题的全过程，感受如何用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题.具体来说，就是通过将容器内的水以及容器抽象为空间几何体以后，根据倾斜过程中，不同量之间的变化关系获得问题的答案.
在问题解决中，选择恰当的参数可以将空间问题平面化，通过量与量之间的关系的处理找到解决问题的关键所在，针对不同的情形，能作出具体分析并找到其差异.也就是说，通过设定倾斜角这一参数，表达出倾斜过程中水体变化涉及到的量，根据容器的长宽高数据对问题进行分类讨论.
建模过程需要进行模型检验.对于给出的解答，要通过适当的模型检验以调整我们的模型，借助技术调整出满足设定的条件可以检验我们的结果.只有经过实践检验和理论证明的模型才是可靠的模型.
四．教学重难点分析
教学重点：
1.用规范的立体几何的语言表达出容器倾斜过程中的所有问题.
2.选定恰当的参数，表达出截面图形面积等问题中的所有数学对象.
3.抓住问题的关键，对水面所在四边形的面积的变化进行分类讨论.
教学难点：
分类讨论获得水面所在四边形的面积的变化情况
五.教学方式
主要方式为：学生动手探究，合作讨论.教师通过层层递进的设问引导思考.信息技术辅助展示.
六．教学过程
（一）明确问题，说明来源
（PPT展示以下问题）
如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
有水的部分始终呈棱柱形；
没有水的部分始终呈棱柱形；
水面所在四边形的面积一直在增大；
棱始终与水面所在平面平行；
当容器倾斜如图③所示时，是定值.
其中所有正确命题的序号是______________，为什么？
图 ① 图② 图③
教师：上述问题改编自人民教育出版社普通高中教科书《数学》必修第二册第145页
设置意图：说明问题的来源，方便学生明确问题的大致知识环境，对原来题目进行改编主要是为了让问题更实际，更具有层次感.选择长方体容器内的水面这一问题，主要的考虑是，这一问题来源于生活，容器与容器内的水面可抽象成几何体，容器内的水面在倾斜时是变化的，具有研究的价值.
（二）分析问题，抽象转化
教师：为了解决上述问题，同学们可以自己用准备好的容器，或者老师提供的Geogebra软件操作模拟的容器，思考如下问题三个问题.
（PPT展示如下三个问题）
问题1：按照题意，将长方体进行倾斜的过程中，与容器内的水相关的量有哪些特点？
问题2：按照题意，将长方体进行倾斜的过程中，将容器内有水的部分和无水的部分抽象成几何体后，分别是什么几何体？为什么？
问题3：棱始终与水面所在平面平行吗？为什么？
学生：本环节讨论主要由学生讨论完成，教师可引导思考的角度，对学生的回答进行鼓励性评价，重点关注表达的准确性、规范性.
问题1：按照题意，将长方体进行倾斜的过程中，与容器内水的相关的量有哪些特点？
由水这一液体的物理特性知道，在长方体容器倾斜中，水的体积保持不变，水面总是保持水平，且充满水面以下的所有容器空间.
根据题目的意思和研究的需要，水的体积 和容器的容积之间的关系为.
问题2：按照题意，将长方体进行倾斜的过程中，将容器内有水的部分和无水的部分抽象成几何体后，分别是什么几何体？为什么？
将容器抽象成长方体后，由1的结论知道，水面所在平面总是与水平面保持平行，而棱总在水平地面上，所以与平面平行，由长方体的性质的知道与棱中保持平行且相等.由线面平行的性质定理可以知道与棱平行且相等.
有水的部分在面 和面上的截面始终保持平行，根据水体积的多少和倾斜程度的不同，这两个截面可能是三角形，也可能是四边形.
根据上述条件，除了这两个截面外，其余各面均为四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.结合棱柱的定义，可以说有水的部分和无水的部分均为棱柱，可能为三棱柱也可能是四棱柱.
再加上长方体中棱和面的垂直关系，可知有水的部分和无水的部分均为直棱柱，这样我们就可以认为命题1和2是真命题.
问题3：棱始终与水面所在平面平行吗？为什么？
由问题1的讨论可知，水不充满整个容器，棱总在没有水的部分，由问题2知道
与平面平行，由长方体的性质的知道与棱平行，根据直线与平面位置关系的判断可知棱始终与水面所在平面平行.因此，命题4也是真命题.
设置意图：建模的一个重要的基础就是把实际问题转化成数学问题.把所研究的实际对象抽象成几何对象以后，在倾斜这一动态变化过程中，抓住变化的量与不变的量，对于变化的量，找到其变化规律.
（三）设置参数，深入思考
教师：经过前一环节的讨论，我们已经大致将问题数学化，也知道了倾斜过程中的变与不变.请大家结合模型或实物继续探究问题4.
（PPT展示问题4）
问题4: 在倾斜过程中，有水部分与平面相交部分的形状经历什么变化，它们的面积是定值吗？
为了叙述的方便，不妨将长方体中的棱长记为, 棱长记为, 棱长记为,初始水面高度记为 .倾斜过程中，倾斜角度记为，水面的高度记为，有水部分与平面相交图形的面积记为，长方体的体积也就是容器的容积.
在问题3中的探讨中，有水部分为直棱柱，可以以四边形为底面，棱的长为高.而水的体积不变，由体积公式，可知有水部分与平面相交部分面积为定值.
问题变成：把一个长为，宽为的四边形，沿着其左下角定点旋转，且保持面积相等，顶部水平，问该图形的变化问题.
通过实际操作或借助信息技术展示，可得有如下的结果：
1)当水量不足容器容积一半时，经历矩形、梯形、三角形、梯形、矩形，如图所示
2)当水量恰好为容器容积一半时，经历矩形、梯形、三角形、梯形、矩形，如图所示
3）当水量超过容器容积一半时，经历矩形、梯形矩形，如图所示.
教师：结合上述分析，当截面图形为三角形时，它的变化比较特殊，特别的我们来研究问题5
（PPT展示问题5）
问题5：当容器倾斜如图③所示时，是否为定值？如果为定值，是多少？
由问题4的讨论知道，此时所对应的是问题4中情况1）的第4幅图.此时，有水部分与平面相交部分为三角形,由问题4的讨论知道变化中图形的面积与倾斜前对应的面积相等，所以为定值.三角形的面积,所以为定值，所以命题5是真命题.
设置意图：设置参数，是为了将问题中的相关量公式化，利用方程、函数等数学工具解决问题.设置参数也是数学建模过程中必要的一环.
（四）条分缕析，解决问题，模型验证，获得结论.
教师：对于命题3，你能提出与之等价的，或更具有操作性的问题吗？提出问题后，请结合实物或模型进行研究.
（PPT演示命题3，在学生提出等价命题后展示问题6）
问题6:在倾斜过程中，水面所在四边形的面积是否为定值，如果是定值,求出这个值；如果不是定值，它是怎么变化的？
在问题3中的探讨中，有水部分为直棱柱，其水面为其侧面，所以为四边形为矩形，其中边与长固定，均为.因此水面所在四边形的面积变化取决于边长的变化，那么边的长怎么变化呢？
因水的体积保持不变，有水部分与平面相交图形的面积不变，为.
情形一：不妨先讨论当水量恰好为容器容积一半时的情况.在倾斜过程中，会出现图2的情况，记此时的倾斜角度为，满足.
在倾斜角介于0和之间时，图形如图1，则∠，,所以，,所以在此段倾斜过程中逐渐变长.
图1 图2 图3
在倾斜角介于和之间时，图形如图3，∠.所以，,因此在此段倾斜过程中逐渐变短.
综合上面的讨论知道，当水量恰好为容器容积一半时，水面所在四边形的面积随倾斜角的变化而变化，倾斜角在0和之间时变大，在和时变小.
情形二：现在讨论水量不足容器容积一半时的情况，此时.
图4 图5 图6 图7 图8
记图5中对应的倾斜角度为，满足.根据问题5的讨论,即,所以.
记图7中对应的倾斜角度为，满足. 根据问题5的讨论,即, 所以.
类比情形一的讨论，不难得到在倾斜角度在0和之间时变大，在和时变小.
现在重点讨论倾斜角度在和之间的情况.此时，,
根据，，得到.又,所以.当,即时，单增，单减，也就单减；同理当,也就单增.
在倾斜过程中，逐渐减小，，且,
若，则有（此处应引导学生通过操作模型来观察容器的形状，如图9）,所以也就单增；若时，（此处应引导学生通过操作模型来观察容器的形状，如图10），也就单减.若且时，，此时，以为界，先减后增.
图9 图10
综上讨论，在水量不足容器容积一半，的情况下
若，当时，水面所在四边形的面积增大；当时，减小.
若，当时，水面所在四边形的面积增大；当时，减小.
若且，当时；水面所在四边形的面积增大，当时，减小；当时，增大；当时，减小.
情形三：类比情形二，我们来讨论水量超过容器容积一半的情况，此时.
因矩形的面积和均不变，所以三角形的面积为定值，故有
图11 图12 图13 图14
记图11中的倾斜角度为，满足,而,故有，所以.
记图13中的倾斜角为,满足,而，故有得到.
类比前述讨论，在倾斜角度在0和之间时变大，在和时变小.
接下来讨论倾斜角度在和之间的情况.此时，,,随着的增大，逐渐增大，逐渐减小.
由，，得到.所求，所以，当,即时，单增，单减，也就单减；同理当,也就单增.
若， （此处应引导学生通过操作模型来观察容器的形状，如图15）, 所以单增, 若时，（此处应引导学生通过操作模型来观察容器的形状，如图16），单减.若且时，，此时，以为界，先减后增.
图15 图16
综上讨论，在水量超过容器容积一半，的情况下
若，当时，水面所在四边形的面积增大；当时，减小.
若，当时，水面所在四边形的面积增大；当时，减小.
若且，当时；水面所在四边形的面积增大，当时，减小；当时，增大；当时，减小.
所以命题3是假命题.
设置意图：这一问题的讨论比较复杂.学生应先通过观察实物或者模型得到直观感受，然后根据设定的参数表示所求对象的关键量，根据不同情况具有不同的表达结果而进行分类讨论.对于分类讨论的结果，应该进行模型验证，如果有出入要进行模型调整，如此反复，直到符合实际情况.
（五）课堂小结，交流体验、反思评价、启发思考
教师：通过建模，我们解决了问题.请大家探讨在建模解决问题的过程中，你有什么样的收获和体会.
学生：……（鼓励学生发言，只要能说出一些收获，体现建模的主要过程和关键步骤，教师都应给予积极评价）
教师：如果我们更改问题中的某些条件，结论又应该是怎样的呢？比如，将长方体空容器倾斜至某一角度时，开始向容器内注水，水面图形的形状和面积大小又是怎么变化的呢？
又比如，将含有水的容器绕某一定点旋转时，水面的形状和面积是怎么变化的？
教师：通过建模可以解决很多实际问题，也是培养数学建模素养的重要途径，望大家能用数学的眼光发现问题，用数学语言表达问题，用数学思维思考问题，用数学方法解决问题.
设置意图：反思总结和评价是成长的关键点，鼓励性评价是促进学生德育发展的重要方法.启发性思考是拓展思路，发展思维的重要手段.
五．教学反思
数学学科源于生活，用于生活.新课程改革中对培养学生数学建模素养提出了完备的指导意见.但在实际教学中如何体现，仍需要深入的实践、论证、改进再实践的不断循环.
本课例借助生活中随处可见的水在容器中的变化，使学生经历了建模的全过程，特别是设定参数，数学运算，解决问题的过程.根据这一过程，学生可以在遇到实际问题时，自觉运用数学的表达、思维等方式来解决问题.
在本问题中，因容器的长宽高是可变的，在实际中很难制作能够符合要求的容器.同时水量可变，在现场添加或减少水量也不是很现实，此时需要教师提供借助信息技术建立的模型.

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