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4.3.1 对数的概念
一、教材分析
本节课是人教A版《普通高中教科书》中第4章第3节，共2课时，本节为第一课时.主要内容是对数的概念以及指数式与对数式的相互转化.它是在学习了“指数幂ax的意义及运算性质”、“指数函数的性质”基础上进行的，同时本节也为学习对数的运算和对数函数奠定了基础.
对数既可以看作是一个算式，又可以看作是一个数值，与指数幂具有共同的本质——指数（对数）与幂（真数）之间的对应关系. 对数作为重要而简便的计算技术，被恩格斯誉为17世纪三大重要数学成就之一，在数学和其他许多知识领域都有广泛的应用.
通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.可以提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀.
二、学情分析
1.学生已有的认知基础
从知识方面看，学生已学习了指数、幂的运算性质、指数函数的图象及性质，这为学生发现对数的存在，理解对数的概念奠定了理论基础.
从能力方面看，学生能根据具体问题由特殊到一般抽象归纳出对数的含义.有一定的应用能力.
从心理方面看，学生有丰富的想象力，乐于探索.同时，高中学生心理还不够成熟，探究新知，不能过急，需“随风潜入夜，润物细无声”加以引导.
2.问题诊断
对数的概念对于学生来说，是全新的.从形式上进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：
（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；
（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.
基于以上分析，本节的教学难点是：对数概念的构建.
为了突破难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.
通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.
三、教学目标
1.经历对数的发现过程，理解引入对数的必要性，领悟对数超强的简化运算的功能.
2.通过对数概念的构建过程，理解对数的概念以及指数式与对数式的转化关系.感悟函数与方程思想和化归思想，培养学生数学抽象、逻辑思维能力.
四、教学重点、难点
重点：（1）对数概念的理解；（2）对数式与指数式的相互联系与转化.
难点：对数概念的构建．
五、教法与学法分析
1.教法分析
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动自主构建对数的概念的过程，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思考，经历对数发现的历史背景，了解对数产生的必要性和合理性，加深对对数概念的理解.倡导合作学习与独立思考相结合，有效地调动学生思维.
2.学法指导
启发学生通过类比、联想等思维活动来发现对数的存在；运用函数的观点分析问题中的变量及变量间的对应关系，从而得到对数的确定性.培养学生用数学抽象，由特殊到一般得出对数的概念，并通过反思，总结完善概念.通过问题解决，理解对数概念的本质特征.
六、课型课时、教学准备
1.课型：新授课；
2.课时：1课时
3.教学准备：多媒体、实物投影、展台等.
(
设计问题，创设情境
（引入对数的必要性）
9
学生探索，尝试解决
（对数存在的合理性）
信息交流，揭示规律
（对数的概念）
运用规律，解决问题
（对数概念的应用）
9
变练演编，深化提高
（例题、变式、编题）
9
反思小结，观点提炼
（课堂小结）
9
5
分钟
9
分钟
9
分钟
8
分钟
9
分钟
5
分钟
)七、教学流程图
八、教学内容及过程
（一）设计问题，创设情境
十六世纪末到十七世纪初，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此花费了若干年甚至毕生的宝贵时间.
例如：299 792.468×31 536 000=？
教师：299 792.468是光在真空中的速度（km/s),31 536 000是一年的总秒数，所得的结果正是天文学中的一光年.这个天文学中的基本单位的运算尚且如此复杂，要探索整个宇宙，任务何其艰巨！古人没有计算器，常常陷于繁难的大数计算而深感苦恼，他们为了计算出一个行星的位置，往往要耗费几个月甚至几年的时间，庞大的天文数字计算严重地束缚着人类探索宇宙的进程.与此同时，数学家们也感慨：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍计算者的了.这不仅浪费时间，而且容易出错.”
问题1：如何解决这里大数的乘法问题呢？
请大家观察下列各式，你能不用乘法运算吗？
（1）
（2）
（3）
师生活动：
（教师备案：学生如果不能顺利求解，教师可以利用“”运算法则启发引导.）
学生：；.
问题2：上面的问题中（1）、（2）的解决是运用什么策略完成的？（3）要类似求解，需要我们做哪些工作？
学生：需要将因数5和123456789转化为同底数幂的形式，即.
设计意图：通过对数产生的历史背景，体现引入对数的必要性，激发学生的求知欲.通过具体问题的求解，让学生明确将乘法运算转化为加法运算的策略，就是将因数转化为指数幂的形式，然后利用同底数幂的乘法运算法则运算.渗透转化与化归思想，培养学生数学建模的核心素养.
（二）学生探索，尝试解决
问题3：方程是否有解？有几个解？
师生活动：
学生：观察方程，我们可以得出方程的左边可以看作指数函数.根据指数函数的值域为所以方程一定有解.又指数函数都是是单调函数，所以方程只有一解.
教师：很好.这位同学运用了指数函数的图象及性质解答了上述方程解的存在性和唯一性问题，这体现了什么样的数学思想呢？
学生：函数思想.
问题4：你能借助指数函数的图象探究一下方程2m=5的解的范围吗？如何描述出这个解？
师生活动：
学生：因为，所以.
设计意图：通过学生探究，让学生切实感受到m存在的合理性、唯一性，体会对数就是实数.
教师：满足的实数确实存在，它是以2为底的幂5所对应的指数.
记作：，读作“以2为底5的对数”.
教师：为了体现这种对应关系，英国数学家约翰 纳皮尔创造了“Logarithm（对数）”一词，直至1624年，开普勒将其简化为“Log”，经过多次演编现在用“”来表示这种对应关系.
练习1：写出满足下列各式的实数，
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）.
设计意图：通过对数发展史的简介和对数符号的引入，激发学生探索精神，培养创新意识.通过练习，让学生进一步加深对对数的认识，理解对数存在的条件，为后面得出对数的概念打好坚实基础.
（三）师生交流，揭示规律
问题5：设M>0,N>0,通过上面的探究，如何将乘法运算M×N转化为加法运算呢？M与N的除法、乘方、开方呢？
学生：需要将M和N转化为底数相同的幂的形式，这样就可以将幂的乘法转化为指数的加法，幂的除法、乘法、开方转化为指数的减法、乘法、除法.
设计意图：回扣前面的问题，弄清简化运算的依据是同底数幂的运算性质，同时由特殊到一般，培养学生数学抽象能力.
问题6：当底数a确定时，方程ax=N(a>0,且a≠1)的解x由“谁”来确定呢？为什么？又怎样表示呢？
学生：由幂的值决定.因为指数函数是单调函数.可表示为.
教师：实数我们就用符号来表示，读作“以为底的对数”.
设计意图：通过前面的探究，对数的概念呼之欲出，问题6从一般性角度再次让学生明确指数式中幂指数x与幂N的函数关系，培养学生在问题解决中的函数意识，渗透函数与方程思想.
问题7：你能给出“对数”的定义吗？
师生共同抽象出对数的定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的x次幂等于N，就是ax＝N，那么数x叫作以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
教师：x＝logaN，这是它的书写格式，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
练习2：请你写出一个对数，并说出它的含义.
设计意图：通过练习2使学生对对数有一个主动内化的过程，加深对对数的认识和理解，并自主发现对数式与指数式的关系.
师生活动：
学生：是一个实数，它的含义是“2的这个数次方等于7”.用式子描述为：
若，则，即.
教师：对数与指数有以下对应关系：
ax＝N叫做指数式，叫做对数式，指数式与对数式的互化
.
（四）运用规律、解决问题
教师：通过学习指数式和对数式的互化，同学们能否解决如下问题：
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）（e=2.71828…）
教师：请同学展示一下
两个重要对数：
教师：在日常生活和科学技术中经常会用到以下两个重要的对数
教师板书：
（1）常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：
（2）自然对数：以 为底的对数叫自然对数，记作：
教师：请同学们熟悉一下这两个重要对数.
请同学们以两个重要对数为背景来完成下列练习：
练习3：
（1）将对数式__________ 转化为指数式________
（2）将指数式__________ 转化为对数式________
教师巡视，请两位编好的同学投影展示，由教师点评改错.
设计意图：通过练习，在巩固对数概念的同时，又创设出新的问题情境，培养学生发现问题、提出问题的意识.这样的设计，使得整个教学环环相扣，既使得学生的思维得到不间断的螺旋式上升，又提高了课堂效率.既体现了数学的转化思想，同时也培养了学生辩证唯物主义世界观.
（五）变练演编、深化提高
例2.（1）当时，有意义吗？
（2） ；
（3） ；
（4） .
学生：（1）没有.因为当且时，.
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）设，则，即.
设计意图：将对数的重要性质以具体问题的形式呈现，既便于学生入手探究，又有利于学生对对数概念认识的提高.同时，在问题的驱动下，有利于培养学生的抽象思维能力.
例3.求下列各式中的值：
师生活动：学生黑板板演，学生批改、教师点评.
设计意图：通过例3学生的解答，以及板演，进一步体现对数式与指数式的转化，使得学生对对数的本质的认识进一步深化.同时，也揭示了数学中“概念”的重要性和应用性.提升学生的数学素养，培养学生从数学的视角思考问题、分析问题和解决问题的能力.
（六）反思小结，观点提炼
（多媒体动态展示问题，并结合多媒体形成知识网络）
问题9：（1）这节课我们主要学习了哪些知识？
（2）在学习的过程中，体现了哪些数学思想方法？
（3）通过这节课的学习你有哪些感悟？还存在哪些问题？
设计意图：以知识为载体，通过反思小结，凸显知识之间的联系，形成思维导图，突出学习过程中运用的数学思想方法，使学生收获的不仅仅是“鱼”，更重要的是主动获取“鱼”的方法——“渔”.对于数学建模过程的小结，更体现了“教”是为了“不教”.
【布置作业】
（1）习题2.2 A组1、2、3、4；
（2）阅读课本68-69页，了解对数的发展史.
九、板书设计
(
2.2.1
对数的概念
对数产生的背景及必要性
对数概念的应用
对数产生的合理性
变式、编题
对数的概念
课堂小结
)
十、教后反思
高中数学课程标准明确指出“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发生、发展过程和本质.” 有些教师对对数概念的形成过程重视程度不够，认为概念就是一种规定，没有必要追究它的合理性，只要将概念给学生交代清楚，并通过举例辨析明确概念的外延，就算对概念认识到位了.但这种教学理念导致的教学效果是短期内学生会做题，时间稍长，留在学生脑子了的“东西”是少之又少，有时候还得重新将“对数”概念“交代”一番，长此以往，教学效果差，严重制约学生思维能力的发展.结合教学前的准备和实际教学效果，作出以下反思.
3.1 明确概念的“来龙去脉”，准确把握适合学生的概念“生长点”
虽然在数学历史的发展中，对数和指数是相伴而生的，但由于学生已经学习了指数与指数函数，因此，以指数函数为背景设计问题，通过学生的自主探究，使学生体会到引入“对数”概念的必要性和合理性，就是找准了对数概念的“生长点”，就是对数概念的“来龙”.在教学中，通过问题驱动，引领学生深刻体会幂的底数、幂的值与幂的指数之间的对应关系，为后面学习对数的运算、对数函数的图象与性质奠定坚实的基础，就是对数概念的“去脉”.所以，本节课的重点放在对数概念的产生的必要性和合理性上，并通过对数函数符号“log”的引入，让学生明确了概念的内涵.
3.2 换位思考，厘清学生对概念理解的障碍
由于学生之前对“对数”的概念一无所知，因此在教学设计上，突出“对数”出现的合理性和必然性的同时，通过特例、指数函数图象性质、数函数符号“log”的含义多角度，全方位让学生“明白并接受”对数，让学生感受到“对数原来就在我们身边，对数并不是刚刚创造的数”，同时也解决了在学生心里存在已久的“无理数都有哪些？”的困惑.
3.3 以数学思想为设计主线，彰显数学本色
《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解.由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.”而对数并不是孤立存在的，它依赖于“幂的底数和幂的值”，因此在教学中充分利用这种对应关系，以函数思想为主线，逐步揭示对数的本质特征.因此，本节课教学设计的“明线”是指数方程的解与对数的概念.“暗线”就是以函数思想为骨架，设计合理问题，驱动学生思维，培养学生能力. 明线暗线交替出现.明线是一节课的躯体，而暗线是一节课的灵魂.主线不清晰，容颜就不会漂亮，没有暗线，外表再漂亮也没用，没用灵气.
对数的历史
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面
这个例子：
n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……
2n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点.所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。

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