资源简介

第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1.了解双曲线的定义，几何图形及其标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
二、教学重难点
1、教学重点
双曲线及其标准方程.
2、教学难点
双曲线的标准方程及其应用.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节课我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
（二）探索新知
探究一：双曲线的定义
提问:与两定点的距离之和为一定长的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离之差为一定长的点的轨迹又是什么图形呢？
学生：思考.
双曲线的定义：一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
教师：类比椭圆，你认为怎样建立坐标系可能使所得的双曲线方程形式简单？
学生：思考讨论.
探究二：双曲线的标准方程
1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程
双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设（a为大于0的常数）.
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
，.
因为，，
所以.①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得，
两边同除以，得.
由双曲线的定义知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，得.②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是，的双曲线，这里.
提问：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是，a，b的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
总结：
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
a,b,c的关系
探究三：双曲线的标准方程的求法
例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由，，得，
又，因此.
所以双曲线的标准方程为.
总结：双曲线的标准方程的求法
1.定义法：根据双曲线的定义得到应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
2.待定系数法：先设出双曲线的标准方程或，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为，
则，即，.
又，所以，，.
因为，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此.
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为.
（三）课堂练习
1.已知定点,在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：当时，，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线.故选A.
2.已知方程表示双曲线，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意得，所以，所以.故选A.
3.若，则这个曲线是( )
A.双曲线，焦点在x轴上 B.双曲线，焦点在y轴上
C.椭圆，焦点在x轴上 D.椭圆，焦点在y轴上
答案：B
解析：原方程可化为，因为，所以，所以方程表示的曲线是双曲线，且焦点在y轴上.故选B.
4.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：依题意双曲线的焦点在x轴上，且其中一个焦点在直线上，故该焦点为，即，因此，故双曲线方程为.故选A.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.双曲线的定义；
2.双曲线的标准方程；
3.双曲线的标准方程的求法.
四、板书设计
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义；
2.双曲线的标准方程；
3.双曲线的标准方程的求法.
2

展开更多......

收起↑