资源简介

高中数学单元整体教学设计
基本信息
姓 名 学校（全称） 京师杜甫高级中学 联系电话
学段年级 高一 展示单元名称 指数函数与对数函数
单元教学设计
单元主题 人教社版必修课高一数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数
1.单元内容 指数函数和对数函数是两类重要的基本初等函数。在第三章“函数的概念和性质”中研究函数的一般方法的指引下，本章让学生借助研究幂函数的经验，学习这两类新的重要的基本初等可数--指数函数和对数函数，认识它们的变化规律，进一步理解函数的概念，并利用这两类函数建立数学模型解决实际问题 数及其运算的产生和发展是推动数学发展的重要源泉和动力。数、式、方程、函数等内容的基础是数及其运算，函数是数及其运算的延伸和发展。对于指数函数，本章首先引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的拓展过程，建立实数指数幂的概念，并研究其运算，为指数函数(a>0，且a≠1)的学习奠定基础;然后，教科书通过典型丰富的实际问题，抽象概括出指数函数概念;最后，重点研究指数函数的图象、性质和应用。同样，在建立对数的概念、研究其运算，以及研究指数函数的基础上，研究对数函数的概念、图象、性质及其应用。
2.单元学情: 在初中阶段学生已经掌握了正整数指数幂的定义及其运算性质,随着新知识学习的新要求，正整数指数幂已经不能满足学习的需要了。本章将正整数指数幂的概念与运算推广到了实数范围，在对幂概念进一步理解的基础上引人幂函数、指数函数、对数手数,学习其相关性质与应用。通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数示数广泛的实际应用。掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的景响。
单元目标: l.了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义； 2.理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像, 探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型； 3.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数 , 了解对数的简化运算的作用； 4.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型; 5.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);
4.评价任务: 课内：例题及对应的目标检测 课外：作业检测
5.单元实施： 编号单元名称单元主要内容课时1对数函数对数函数1对数函数的图像和性质1
【学习资源】 背景性资源： 1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650年)开始用符号表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用代表aaa，用代表aaaa．分数指数幂在十七世纪初也开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)．十七世纪末，华里斯开始使用表示分数指数及负数指数幂．十八世纪初，英国数学家牛顿(Newton，1642—1727年)开始使用表示任意实数指数幂．这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。 【学法建议】 学习流程：指数→指数函数→对数→对数函数→函数的应用（二）. 重点难点：本章的教学重点为实数指数幂及其运算，对数及其运算，指数函数和对数函数的概念、图像、性质及其应用.本章的教学难点是抽象、概括指数函数和对数函数的概念和性质. 新旧联系：在教学过程中，以研究函数概念与性质的一般方法为指导，借鉴研究幂函数的过程与方法，学习指数函数与对数函数，理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法，探索用二分法求方程的近似解；创设尽可能多的情境和机会，逐步培养和提升学生的观察、分析、探究、概括能力，通过建立指数函数模型、对数函数模型解决实际问题，体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用，从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
课时教学设计
课题 第1课时 对数函数
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 本节主要内容是对数的概念，对数与指数之间的转化关系,以及一些常用的对数，这是后续学习对数的运算及对数函数的基础。 本节内容属于对数知识里的基础内容，是为了后面能够更好地理解对数函数而设计的,所以单独考查本节知识的情况不是很多.
学情分析 对于学生而言，前面已经学习了指数概念，而对数与指数是可以互相转化的，从这个角度切入，学生的兴趣比较高。但是对数这种形式的数学生之前没有接触过，在书写和使用上存在着一定的困难，需要一段时间来适应。
学习目标 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数. 掌握指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化. （3）根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式 ；
教学重、难点 重点：对数函数的概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。 难点：从不同的问题情境中归纳对数函数的定义域，并掌握对数函数的定义域。
教学评活动过程 教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图问题1在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？教师提出问题，通过分析上述问题其实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ，… 中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数。 开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。 教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是________________. 2．常用对数与自然对数 3．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 思考：为什么零和负数没有对数？ 1．思考辨析 (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 根据预习的情况，给出指数对数式互化公式，并强调底数a的取值范围 两个对数的引入，直接给出即可 通过指数对数式的互化给出对数的基本性质，强化指对互化的重要性。 由学生抢答，学生纠错，自主完成 通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养 在处理两个小问题过程中，检测学生对概念和性质的理解程度 教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图（三）典例解析 例1　将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式： (1) 54＝625; (2)2－7＝； (3) ( )m＝5.73 (4)log32＝－5；(5)lg 1 000＝3； (6)ln 10＝2.303 [解]　(1) 由54＝625，可得log5625＝4. (2)由2－7＝，可得log2＝－7. (3) 由( )m＝5.73 ，可得log 5.73＝m， (4)由log 32＝－5，可得－5＝32. (5)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (6)由ln 10＝2.303，可得e2.303＝10. [规律方法]　指数式与对数式互化的方法 将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； 将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式； 例2　求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－； (2)logx 8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. [解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝. (2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23) ＝2＝. (3)10x＝100＝102，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2， 所以x＝－2. 规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。 [探究问题] 1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？ 提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N. 2．如何解方程log4(log3x)＝0 提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3. 例3　设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　) A．10 B．13 C．100 D．±100 (2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________. 思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解； (2)利用logaa＝1，loga1＝0求解． (1)B　(2)10　[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B. (2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.] 归纳总结:1.利用对数性质求解的2类问题的解法 （1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求logalogbc的值，先求logbc的值， 再求logalogbc的值. （2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 2.性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 （1）alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a,为底的指数形式. logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数 例1，例2学生抢答 例3学生独立思考并板书，教师修正并完善，归纳总结。 通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。 通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；教学环节：课堂练习三、当堂达标 1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　) A．R　　　　　　B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 【答案】D　[由m－1>0得m>1，故选D.] 2．若log2(logx9)＝1，则x＝________. 【答案】3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．] 3． log33＋3log32＝________. 【答案】3　[log33＋3log32＝1＋2＝3.] 4．求下列各式中的x值： (1)logx27＝；　　(2)log2 x＝－； (3)x＝log27； (4)x＝log16. 【答案】(1)由logx27＝，可得x＝27， ∴x＝27＝(33)＝32＝9. (2)由log2x＝－，可得x＝2，∴x＝＝＝. (3)由x＝log27，可得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－. (4)由x＝log16，可得x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4. 通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 教学环节：小结思考 四、小结 1、对数的概念，指数式与对数式的转化； 2、对数的性质及运用； 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点。
板书设计 对 数 指对互化 4、典例分析 5、总结 例1、 例2、 两个对数 6、作业 对数的基本性质
作业与拓展学习设计 完成教材：第131页 练习1,2,3. 预习下节课内容.
教学反思与改进 在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化。注意知识前后的衔接及联系，形成知识框架，其次要了解学生认知规律，知识水平，以便因材施教，再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
课时设计：第2课时 对数函数的图像和性质
一、教材内容分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第四节《对数函数》（第二课时）。是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
二、学情分析
学生已经学了对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。
三、学习目标
掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题培养学生实际应用函数的能力.
经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。
在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯，培养学生数学抽象、数学建模的核心素养．
四、教学重难点
重点：对数函数的图象和性质。
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．
五、教学活动流程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
【想一想】我们能用研究指数函数的方法研究对数函数的图象和性质吗？
提示：研究指数函数和对数函数的方法是相同的.
探索交流，解决问题
【问题1】 在同一坐标系内用描点法画出函数和的图象。列表
描点并连线：
【思考1】通过上述过程，说出这两个函数图象从左到右的变化趋势？
【提示】 这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.
【思考2】（1）在所画函数和图象的基础上,再画出函数和的图象，观察新画出的这两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征。
（2）通过上述过程，你发现了什么？
函数 和的图象从左到右是下降的.
函数和的图象关于x轴对称,同样,函数和的图象也关于x轴对称.
（2）这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域为R,都过定点(1,0)
【设计意图】由问题引发学生思考：类比指数函数的研究方法，做出对数的图象，得出性质，培养学生数学抽象的核心素养。
（二）对数函数的图象及性质
1.对数函数的图象及性质
a的范围 0＜a＜1 a＞1
图　象
a的范围 0＜a＜1 a＞1
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
2.点睛之笔：
对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行;底数若是大于1, 图象从下往上增;底数0到1之间, 图象从上往下减;无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
【做一做】
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　B. C.e D.
2．y＝log2x的图象与的图象关于________对称．
3．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点________．
4．log23.4与log28.5的大小关系为________．
[解析:]
1．AC 函数图象是单调递增的，所以底数大于1.
2．x轴 两个对数函数的底数互为倒数，所以关于x轴对称。
3．(1,1) 4．log23.4＜log28.5 函数log2x是单调递增函数。
【设计意图】通过具体的例子，让学生加深对对数函数图象及性质的理解。
（三）当堂达标检测
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)
2.（多选题）（2021·辽宁丹东市高一期末）已知点在对数函数的图象上，则（　　）
A． B．
C．若，则 D．函数的单调递增区间为
【解析】 1. A f(－x)＝ln((－x)2＋1)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称．
又x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，且过点(0,0)，所以A图符合．
2.BD 设对数函数，因为点在对数函数的图象上，所以，解得，所以，
对于A：，故A不正确；
对于B：，所以，故B正确；
对于C：在上是增函数，所以，而，所以，故C不正确；
对于D：令，解得或，且在上单调递增，又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为，故D正确。
【设计意图】通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。
（四）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。
六、板书设计
对数函数的图像和性质
（一）新知导入 例题
（二）对数函数的图象及性质 例题
（三）对数函数图象及性质的应用 例题
七、作业与拓展学习设计
完成教材：第135页 练习1,2,3
第140页 习题4.4 题1,2,4,7,12,13.
八、教学反思与改进
本教学设计从特殊到一般，运用类比的思想，类比指数函数的研究方法及模式，通过画出对数函数的图像，从中直观地归纳出其性质。从课堂具体实施情况来看，让学生自己动手，亲身体验方面做得比较欠缺，比如对数函数图像的画法，考虑到时间问题，没有让学生自己动手体验，而是老师代替了。其次学生之间的交流、讨论，师生之间的互动还需加强，课堂气氛还不够活跃。

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