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平面向量专题
——极化恒等式及其拓展（向量中的范围、模长问题）
一、知识点
1.极化恒等式的证明
（1）
（2）
（1）（2）两式相减，可以得到： ＝
2.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
3.两个模型
平行四边形模式：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.即：
三角形模式：在三角形ABD中为的中点,
4.注意点：两个向量要同起点
二、要点分析
1.求数量积的值
【典例精析】（浙2012理15）在中，是的中点，,则=________.
变式训练1：若的外接圆是半径为1的圆，且，则=_______________.
变式训练2：在平行四边形中，已知,,则______________.
变式训练3：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，,，则的值是________．
变式训练4：（2020七彩阳光高一期中联考15）如图，,是半径为的圆的两条直径，为的中点,则等于__________.
2.求数量积的取值范围
【典例精析】在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
变式训练1：（2019全国2理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式训练2：已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为 _.
变式训练3：已知点为坐标原点，为圆的内接正三角形，则最小值为______________.
变式训练4：在中，若，，在线段上运动，的最小值为
变式训练5：（2019江苏金陵中学高考模拟）已知菱形中，对角线,,是边上的动点（包括端点），则的取值范围为_______．
3.解决与不等式相结合的数量积问题
【典例精析】（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则( )
A. B.
C. D.
变式训练1：在面积为2的平行四边形中，点为直线上的动点,则的最小值为______________.
4.其他综合类型的数量积问题
【典例精析】已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练1：如图，已知在中，,,是的中点，若向量，且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是________．
变式训练2：如图，在直角梯形中，,,,，,点为线段(含端点)上的一个动点，若有且只有个不同的位置，使得成立，则实数的取值范围是________．
课后习题
1．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为
2.若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是 .
3.在，，已知点是内一点，则的最小
值是 .
4.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.在锐角中，已知，，则的取值范围是 ．
6.矩形中，,点分别为边上的动点，且，则的最小值是________．
7.如图，在四边形中，已知， ，则________．
本专题例题/习题错题题序：

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