资源简介

《指数》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.根式及其性质 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 理解有理数指数幂的含义、了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算 【考查题型】 选择题、填空题
2.分数指数幂 逻辑推理数学运算
3.有理数指数幂及其运算性质 逻辑推理数学运算
4.无理数指数幂及其运算性质 逻辑推理数学运算
一、本节内容分析
本节主要内容是n次方根的定义、根式的概念、根式与整数指数幂及分数指数幂的关系、有理数指数幂的运算性质及无理数指数幂及其运算性质,它们是后续学习指数函数的基础,属于基本概念的范畴,是解决复杂问题的“工具”.通常,综合本节内容与其他知识进行考查,以凸显本节内容的基础性地位.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.根式及其性质 2.分数指数幂 3.有理数指数幂及其运算性质 4.无理数指数幂及其运算性质 数学运算 逻辑推理 数学抽象 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中阶段学方根、立方根的概念,在此基础上由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念,进而引出根式的概念,学生还是比较容易接受的,通过“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂的过程是本节的难点,学生理解起来比较困难,教师要做好重点教学的准备.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.n次方根与分数指数幂
2.无理数指数幂及其运算性质
【教学目标设计】
1.通过平方根、立方根的意义理解方根和根式的概念,掌握根式的性质,会进行简单的求n次方根的运算.
2.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识,了解指数幂的拓展过程,熟练掌握根式与分数指数幂之间的相互转化.
3.理解有理数指数幂的意义及其运算性质.
4.了解无理数指数幂的概念,掌握无理数指数幂可以用实数指数幂来逼近的思想方法.
【教学策略设计】
1.根式的概念是教学的一个难点,教学中,可以以具体的例子为载体,类比平方根、立方根的定义,给出n次方根的定义.要让学生充分体会“当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数”这一点.
2.分数指数幂的教学要解决三个重难点:分数指数幂的意义;根式与分数指数幂之间的相互转化;分数指数幂的运算性质.
【教学方法建议】
情境教学法,还有____________________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.根式、分数指数幂概念的理解及运算.
2.用过剩近似值及不足近似值的方法探究无理数指数幂的意义.
难点:
1.根式概念的理解.
2.无理数指数幂的意义的理解.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:初中已经学过整数指数幂.在学习幂函数时,我们把正方形场地的边长关于面积的函数记作.像这样以分数为指数的幂,其意义是什么呢 这节我们就来研究一下.
【设计意图】
回顾函数,激发学生兴趣.
教学精讲
探究1 次方根与分数指数幂
师:我们知道:如果,那么叫做的平方根.例如,就是4的平方根.如果,那么叫做的立方根.例如,2就是8的立方根.你还能举例吗
【学生自由回答,教师给与肯定或补充】
师:根据这些例子的共同特性,得出次方根的定义.
【要点知识】
次方根的定义
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
【观察记忆能力】
类比平方根、立方根的概念,概括n次方根的定义,培养学生的观察记忆、归纳总结能力.
师:怎样理解次方根的定义呢
【学生思考、小组讨论、教师总结】
师:(1)在次方根的概念中,关键是数的次方根满足,因此求的次方根就是求一个数的次方等于.
(2)次方根,实际上就是平方根与立方根的推广.
(3)次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
【要点知识】
次方根的性质
1.当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.记作:.
2.当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.记作:.
3.负数没有偶次方根.
的任何次方根都是0,记作.
【概括理解能力】
通过发现n次方根的特征,得出n次方根的性质,培养学生的概括理解、归纳总结能力.
师:为什么负数没有偶次方根
生:因为任意实数的偶次方是非负数.
【要点知识】
根式的定义
式子叫做根式(radical),这里叫做根指数,叫做被开方数.
师:根据次方根的意义,可得.
【情境设置】
探究根式的性质
表示的次方根,一定成立吗 如果不一定成立,那么等于什么
【学生根据次方根的性质分析,回答问题,教师总结】
生:当为奇数时,;当为偶数时,.
师:一般读作“次根号”.
【少教精教】
学生探究根式的性质,教师给予肯定,加深理解重点知识,少教精教,同时培养学习数学的积极性.
【要点知识】
根式的性质
1.当为奇数时,.
2.当为偶数时,
3.负数没有偶次方根.
的任何次方根都是0,记作.
【典型例题】
根式的性质的应用
例1 求下列各式的值:
(1);(2);(3);(4).
【学生回答问题,教师点评】
生:;
(2);
(3);
(4).
【自主学习】
根据所学的性质解决问题,一方面巩固新学知识,一方面考查学生的理解程度,培养学生的自主学习解决问题的能力.
【巩固练习】
运用根式的性质求值
1.;
2.
【学生独立完成,教师点评,并强调:开方后先带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值符号】
师:根据次方根的定义和数的运算,我们知道,.这就是说,当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
【情境设置】
探究分数指数幂的意义
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数幂的形式
【学生阅读教材,小组讨论,回答问题,教师总结】
【先学后教】
学生阅读教材,独立完成,教师总结,培养学生自主学习的能力和习惯.用所学的性质解决问题,一方面巩固新学知识,一方面考查学生的理解程度,培养学生的分析计算能力.
【要点知识】
正数的正分数指数幂的意义
.
【教师强调:不可以理解为个相乘,分数指数幂是根式的一种表示形式,分数指数不能随意约分,约分后可能改变根式有意义的条件】
师:我们规定,的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
师:请同学们看下面的例题.
【典型例题】
分数指数幂的应用
例2 求值:(1).
【学生试着求值,教师巡视,总结方法:先将幂的底数化成最简底数的幂的形式,再利用幂的乘方运算性质求值】
【典型例题】
分数指数幂的应用
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中):
(1).
【学生独立完成,教师提示:当根式为多重根式时,要清楚哪个是被开方数,一般由内向外用分数指数幂依次写出】
【典型例题】
分数指数幂的应用
例4 计算下列各式(式中字母均是正数):
(1).
【学生独立完成,教师提示:(1)仿照单项式乘除法进行运算,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注意符号;(2)先按积的乘方计算,再按幂的乘方计算;(3)先将根式化为分数指数幂,运算后再代回根式】
【概括理解能力】
通过分析,概括正数分数指数幂的性质,培养学生的概括理解、总结归纳能力.
【分析计算能力】
根据所学的性质解决分数指数幂的应用问题,进一步理解分数指数幂的概念和性质,培养学生的分析计算能力.
师:整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,即对于任意有理数,均有下面的运算性质.
【要点知识】
有理数指数幂的运算性质
1.;
2.;
3..
探究2 无理数指数幂及其运算性质
师:前面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么,当指数是无理数时,的意义是什么 它是一个确定的数吗 如果是,那么它有什么运算性质
师:在初中的学习中,我们通过有理数认识了一些无理数.类似地,也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
【情境学习】
通过实例,引导学生经历并体会无理数指数幂形成的过程,培养学生的数学抽象素养.
【情境设置】
探究无理数指数幂的概念
根据的不足近似值和过剩近似值(下表),利用计算工具计算相应的,的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你有什么发现
【学生计算、填表、发现规律,教师总结】
生:可以发现,当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时,和都趋向于同一个数,这个数就是.
师:是一串逐渐增大的有理数指数和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果,它是一个确定的实数.这个过程可以用下图表示.
师:参照以上过程,你能再给出一个无理数指数幂,如,说明它也是一个确定的实数吗
【猜想探究能力】
经历计算、填表、发现规律的过程,得出结论,培养学生发现问题的猜想探究能力.
【意义学习】
用数轴表示有理数指数幂的大小关系更直观,渗透数形结合思想.
【推测解释能力】
教师提出问题,学生进行推理、回答,培养学生的推测解释、总结概括能力.
【学生思考,回答问题,教师点评并总结】
生:当的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于方向逼近.
当的不足近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于方向逼近.
师:故是一个确定的实数.所以说,无理数可以作为指数,无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到.
【要点知识】
无理数指数幂的概念
一般地,无理数指数幂(为无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.
师:指数幂的拓展顺序:
【以学定教】
类比有理数指数幂的概念和性质,师生总结无理数指数幂的概念和运算性质体现了教师根据学情灵活教学.
【要点知识】
无理数指数幂的运算性质
对于任意实数,均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3).
师:下面请看例5.
【典型例题】
无理数指数幂的运算性质的应用
例5 计算下列各式:
(1);
(2).
生解:(1)原式;
(2)原式.
师:有理数指数幂的运算法则适用于无理数指数幂.
【巩固练习】
无理数指数幂的运算性质的应用
利用计算工具,完成表格,探究下列实数指数幂的变化规律:
(1)取负实数,使得的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的的值,观察变化趋势;
(2)取正实数,使得的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的R)的值,观察变化趋势.
【学生计算、填表,教师巡视】
生:(1)
可以看出,取负实数,使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时,的值趋向于0;
生:(2)
可以看出,取正实数,使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时,的值趋向于0.
【深度学习】
巩固无理数指数幂的运算性质,使学生深度学习,强化运算性质的利用能力.
【简单问题解决能力】
运用所学知识解决问题,一方面帮助学生巩固新知识,一方面培养学生分析计算、解决问题的能力.
【分析计算能力】
通过此类问题的演练,学生掌握运用无理数指数幂运算性质解题,发展学生的分析计算能力,提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
师:记住常用数据,如:
.
师:这节你学到了什么
【课堂小结】
指数
1.次方根与根式的概念
2.根式的性质
(1)当为任意正整数时,.
(2)当n为奇数时,;当n为偶数时,
3.分数指数幂
4.有理数指数幂及其运算性质
5.无理数指数幂及其运算性质
【设计意图】
回忆、总结本节知识,引导学生构建本节知识体系,同时培养学生的学习习惯.培养概括理解、分析计算、推测解释、简单问题解决、猜想探究能力,提升数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
本节课学习了次方根、根式的定义,以及分数指数幂、有理数、无理数的运算性质.
应用所学知识,完成下题:
将下列根式化为分数指数幂的形式.
(1);(2).
解析:熟练运用根式与分数指数幂的转化是解题关键.将含有多重根号的根式化为分数指数幂时,要先弄清楚哪个是被开方数,一般按照由内向外的顺序化简.具体解题过程如下:
(1)原式.
(2)原式.
【设计意图】
引导学生进一步理解分数指数幂的性质,强调本节重点,提升学生逻辑推理、数学运算素养.
教学反思
本教学案例紧贴教材,完整呈现本节课的知识要点,教师通过提问幂函数的意义引入本节课题,以问题串的形式引导学生理解指数的相关概念,自主练题掌握求简单的n次方根的运算、根式与分数指数幂之间的相互转化,利用实数指数幂的运算法则解决问题.在教学实际过程当中,教师应根据实际学情,因材施教,增加学生练习的次数.
【以学定教】
综合n次方根的概念,深层理解根式与指数幂的形式转化,从而解决问题.
【以学论教】
由于n次方根、根式的概念和指数幂是教学中的重难点,教师根据学生在课堂的学习效果,采用情境式等教学方法和策略,达到教学目标要求.对于存在的不足和改进之处,需要教师根据实际情况进行补充.
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