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2.2不等式
《2.2.4均值不等式及其应用》教学设计
第1课时
教学目标
1．学会推导并掌握均值不等式定理．
2．能够简单应用定理求最值．
教学重难点
教学重点：1．均值不等式定理的证明和应用．
2．会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．
教学难点：注意运用定理求最大（小）值的条件
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第71~75页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
问题1：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
【尝试与发现】
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．
a 1 2
b 1 4
1 3
1
师生活动：学生完成上述问题，从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．教师总结．
2． 探究新知
知识点1 均值不等式
均值不等式 如果a，b都是正数，那么．
当且仅当a=b时，等号成立．
师生活动：学生证明，教师指点！
证明 因为a，b都是正数，所以
，
即．
而且，等号成立时，当且仅当，即a=b．
教师点评：值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如一定是正确的．
设计意图：均值不等式的证明不是太难，放手让学生自己证明，这样既能较好地复习不等式的性质和证明方法，又能帮助学生准确地理解定理中等号成立的条件．其证明方法还可能是综合法、分析法和反证法等．
综合法证明如下：因为，所以，所以．
即．又因为a>0，b>0，所以，即．显然，当且仅当，即时，等号成立．
知识点2 均值不等式的几何意义
问题2：均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
师生活动：与学生一起探讨：将均值不等式两边平方可得．
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
预设的答案：正三角形，圆
设计意图：通过类比可以发现新的问题，得到新的结论．类比思想是我们学习过程中常用的合情推理！
问题3：如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
师生活动：与学生一起探讨：在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得，又，由图可知，所以，变形为．
结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
三、初步应用
例1 （1）已知x>0，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
（2）已知x∈（－1，3），求y=（1+x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．
（3）求函数y＝x（1－x），的最大值．
师生活动：与学生一起探讨如何利用均值不等式求最值，教师书写规范解答．
预设的答案：解 ：（1）因为x>0，所以根据均值不等式有
其中等号成立当且仅当 ，即x2=1，解得x=1或x=－1（舍）．
因此x=1时，y取得最小值2．
（2） 当x∈（－1，3）时，一10，3一x>0．
由均值不等式可得．
从而（1+x）（3－x）≤4，即y≤4．
当且仅当1+x=3－x，即x=1时，等号成立．
从而x=1时，y取得最大值4．
（3）错解：由，易知1－x>0，从而．所以y的最大值为．
正解：，当时，．
设计意图：通过该例说明可利用均值不等式求一类函数最值．
方法总结：（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：
一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a=b有解． （2）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．（3）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．
例2 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
师生活动：师生一起分析：在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．教师书写规范解答．
预设的答案：解 ：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100．
因为x>0，y>0，所以
所以2（x+y）≥40．
当且仅当x=y时，等号成立，由，可知此时x=y=10．
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．
（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x+y）=36，即x+y=18．
因为x>0，y>0，所以
因此，即xy≤81．
当且仅当x=y时，等号成立，由，可知此时x=y=9．
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．
设计意图：通过该例说明如何利用均值不等式求解实际应用问题．
方法总结：求实际问题中最值的一般思路 ：（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．（4）正确地写出答案．
练习：教科书P76练习A1， 3
补充练习：（1） 已知a为大于0的常数，x>0， 求的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；
（2） 已知x <0， 求的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；
（3） 已知x>1， 求的最小值，并求y取得最小值时相应x的值；
（4） 已知x <1， 求的最大值，并求y取得最大值时相应x的值．
师生活动：学生思考后回答，教师完善．
设计意图：进一步熟悉利用均值不等式求最值．
参考答案为： （1） 当时，y有最小值为；
（2） 当x＝－1时，y有最大值为一2；
（3） 当x=2时，y有最小值为3；
（4） 当x＝0时，y有最大值为一1．
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.2.4均值不等式及其应用
1． 均值不等式
2． 均值不等式的几何意义
3． 均值不等式的应用
例1
例2
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫均值不等式？如何证明？
（2）均值不等式的几何意义是什么？
（3）如何利用均值不等式求最值？
师生活动：学生总结，老师适当补充．
作业：教科书P76练习B 1，2， 4

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