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高中数学（人教A 2019）选择性必修第一册
1.2　空间向量的基本定理
一、教学内容
1.了解空间向量基本定理及其意义；2.用空间向量的基本定理解决立体几何中的有关问题。
二、教学目标
1、了解空间向量基本定理及其意义.
2、会用基底表示空间向量
3、掌握空间向量的正交分解．
4、掌握用基向量解决立体几何中简单问题的通法
三、教学重点与难点
教学重点：掌握空间向量基本定理
教学难点：用空间向量基本定理解决有关问题.
四、教学过程设计
（一）知识回顾
我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a,b来表示（平面向量基本定理）
其中，（x,y）为唯一的实数对，{a,b}为平面内的一个基底
（二）新课讲授
1.探究空间向量的基本定理
类似的，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。
如图1.2-1，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O。对于任意一个空间向量,设为所确定的平面上的投影向量，则
，又向量，，因此存在唯一的实数使得=z,从而z.
定理 如果三个向量,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组
）,使得
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对（）使得 = .
从而 =
思考：
探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量,b,c代替两两垂直的向量，你
能得出类似的结论吗？
提示：能。如图，平移向量,b,c，p使它们共起点，在向量,b,c方向上作平行六面体，
以p为体对角线，通过空间向量的线性运算可得
探究基底、基向量、正交基底概念
探究2 你能证明有序数唯一性吗？
提示：假设除外，还存在另一组实数（），
使得，则有
，
由平面向量基本定理知，向量,,共面，这与已知矛盾，故）是唯一的．
间向量基本定理： 如果三个向量,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一
的有序实数组（x,y,z）,使得
（1）如果三个向量,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量,b,c生成的，我们把{,b,c}叫做空间的一个基底(base)，,b,c都叫做基向量(base vectors)．空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{}表示．
探究3 空间中怎样的向量能构成基底？
提示：空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以零
探究6 空间的基底唯一吗？
提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底，因此空间
探究7 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究8 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{}表示．且由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可分解为三个向量 使得 像这样，把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量正交分解。
向量基本定理的应用
例1 如图1.2-2，是四面体OABC的棱BC的中点，点在线段OM上，点在线段上，且，用向量 表示.
分析： 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{ }，可以用基底{ }表示出来。
解：
本题小结：结合向量的线性运算法则，空间中任意向量可以被同一个基底所表示！
小 结
1.由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个向量表示出来。进一步地，所有空间向量的运算都可以转化为基向量间的运算。
2.由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个向量表示出来。进一步地，所有空间向量的运算都可以转化为基向量间的运算。
例2 如图1.2-3，在平行六面体中，，
，分别为,的中点。
求证.
分析：要证由已知，{ } 可构成空间的
一个基底，把和分别用基底表示，然后计算即可。
证明：设=,这三个向量不共面，{,b,c}构成空间的一个基底，我们用它们表示则= +=
所以=（）
=
=
=0
所以 .
题小结：用基向量解决立体几何垂直问题：
1.定基底
2.用基底表示所给的向量
3.用·＝0 ⊥
例3 如图1.2-4，正方体的棱长为为的中点。
（1）求证：;
(2)求CE与AG所成角的余弦值。
分析：（1） 要证，只需证与共线。设=,则{}空间的一个单位正交基底，把分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可。（2）要求CE与AG所成角的余弦值，只需求与所成角的余弦值即可。
（1）证明：设=,则{}构成空间的一个单位正交基底，所以
===
所以
小结：用基向量解决立体几何平行问题：
1.定基底
2.用基底表示所给的向量
3.用＝λ ，
（2）解 ：因为 ==+,
所以
所以CE与AG所成角的余弦值为
本题小结：用基向量解决立体几何夹角问题
1.定基底
2.用基底表示所给的向量
3.用向量夹角公式求值（角度）
（四）课堂小结：（通过思维导图归纳小结）
五、课后作业
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若为空间一个基底，则也可构成空间一个基底． (　　)
(2)若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面． (　　)
(3)若是两个不共线的向量，且构成空间的一个基底． (　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
解　(1)√　为空间一个基底，则不共面，也不共面，故也构成空间一个基底．
(2)√　由共面定理知(2)正确．
(3)×　由共面，不能构成基底．
2.已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
解：连接DN，如图所示，
四面体ABCD中，＝，＝，＝，
点M在棱DA上，且＝3，∴，
又N为BC中点，∴；
∴
．故选C.
3.如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
，，，.故选A.
4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴
，
又，，
∴
．故选B．
如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
解：（1）解：设，，，
根据题意得，且，∴，.
∴，∴，即.
（2）解：∵，∴，，
∵，∴.
∴异面直线与所成角的余弦值为.

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