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高中数学（人教A 2019）选择性必修第一册
1.3.1空间直角坐标系教学设计
一、教学内容
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系；2.会用空间直角坐标系刻画点的坐标；3.会用坐标表示空间向量.
二、教学目标
1.了解空间直角坐标系
2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量的坐标表示
3.体会类比和归纳的数学思想
三、教学重难点
重点：空间直角坐标系的建立
难点：空间向量的坐标表示
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.空间向量基本定理：如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得． 我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．
2. 在必修二的平面向量中，我们以平面直角坐标系中的与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，
类似地，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.
（二）空间直角坐标系
1.空间直角坐标系的定义
在空间选定一点和一个单位正交基底, , . 以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.
【设计意图】利用单位正交基底的概念，类比平面直角坐标系，自然而然地生成空间直角坐标系的定义。
2.空间直角坐标系的画法
与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与轴、轴都垂直的轴而已，可以借鉴在必修二的立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz时，让x轴与y轴所成的角为135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，画z轴和y轴垂直，即∠yOz=90°
【设计意图】（1）通过回忆斜二测画法掌握直角坐标系的画法；（2）直观感受直角坐标系的图像与立体感。
3.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
判断：下面两个坐标系是右手直角坐标系的为（ ）
A B
解：答案A. 根据右手直角坐标系的定义，即可判断.22—
【设计意图】加强对右手直角坐标系的理解.
【注意】在右手直角坐标系中，从x轴的正方向逆时针旋转90°得到y轴正方向.
（三）空间中点和向量的坐标表示
探究一 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
1.空间中点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中（如图), i, j, k为坐标向量，对空间任意一点A, 对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z), 使
=xi+yj+zk.
在单位正交基底｛i, j, k｝下与向量对应的有序实数组(x, y, z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记做A(x, y, z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
2.空间中向量的坐标
因为空间向量是可以进行平移的，我们在空间直角坐标系Oxyz中可以作=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使
a=xi+yj+zk,
有序实数组(x, y, z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为
a=(x, y, z)
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。
【注意】符号有序实数组(x, y, z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，同学们在表述时要注意区分。例如在a=(x, y, z)或=(x, y, z)中，有序实数组(x, y, z)表示向量a或的坐标；在A(x, y, z)中，有序实数组(x, y, z)表示点A的坐标. 简而言之：向量与坐标之间有“=”连接，点与坐标间不用。
探究二
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它的坐标(x, y, z)吗？
【分析】如图，过点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点B, C和D. 可以证明在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，由向量加法的意义可知，. 设点B, C和D在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z，那么=xi+yj+zk，即点或者向量的坐标就是(x, y, z).
【设计意图】根据几何直观确定在各坐标轴上的投影向量，得到空间内任意点和向量的坐标表示.
试一试
在空间坐标系Oxyz中， (, j, k 分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)，则的坐标为 ，点A的坐标 ，点B的坐标
解：=（1，-2，-3）；因为向量是可以平移的，所以题中仅有的坐标这一个条件，无法确定此向量起点A的位置；对于确定的向量，因为起点A不确定，所以终点B也不确定.
【小结】只有当向量的起点是原点时，向量的坐标才与其终点的坐标相等.
（四）典例分析
例1：如图，在长方体中，，
，，以，，为单
位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）写出向量，，，的坐标.
解：
（1）因为点在轴上，且，根据空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是,,；
同理，点在y轴上，且，所以点的坐标是,,.
由图可知，点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是，，，所以点的坐标是，，；
点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是，，，所以点的坐标是，，.
【规律方法】
1.我们先来观察这几个结果
点的位置 点的坐标
点在z轴上 (0,0,2)
点在y轴上 (0,4,0)
点在平面上 (3,0,2)
可以得到坐标轴和坐标平面上的点的坐标的一般形式：
x轴上的点的坐标为（x，0,0），其纵坐标和竖坐标均为0；
y轴上的点的坐标为（0，y,0）；
z轴上的点的坐标为（0，0,z）；
平面上的点的坐标为（x，y,0）；
平面上的点的坐标为（0，y,z）；
平面上的点的坐标为（x，0,z）；
简记为：若点A不是坐标原点，则A在哪个坐标轴或坐标平面上，哪个坐标就不为0.
2．求空间点或向量的坐标我们有两种基本方法:
1）根据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底进行分解，从而求出坐标，即
如果=xi+yj+zk.，则点A(x, y, z);
如果a=xi+yj+zk， 则a=(x, y, z)；
2）根据几何直观得到空间点在轴、轴、轴上的射影，且三个射影在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z，那么点或者的坐标就是(x, y, z).
例1解：（2）由相等向量的概念，在长方体中易知所求，，
=，，
-，，
由向量加法运算，和可以写成以原点为起点的向量的和，从而得到向量的坐标，
【规律方法】
1 空间直角坐标系中，向量平行于哪个坐标轴或坐标平面，哪个坐标就不为0.
2.与坐标轴、坐标平面都不平行的向量，可以利用空间向量基本定理把所求向量分解成特殊向量的线性表示.
【设计意图】通过具体实例研究给定点和向量的坐标的求解过程，掌握求点和向量的坐标的一般方法；总结特殊的点和向量的坐标特点，为快速写出或判断满足相应条件的点和向量的坐标打基础．
练习（教材第18页练习3改）：在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.写出点P的坐标.
解：
点D’坐标为（0, 0, 3）， 点的坐标为（3, 4, 3）；
由与相较于点P, 可知点P为线段的中点，
所以
则点P的坐标为（, 2, 3）；
【设计意图】通过练习加深对于空间直角坐标系和点、向量坐标表示的理解，巩固强化。
【小结】类比平面中两点的中点坐标公式，可得空间中两点的中点坐标公式：若空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为
例2（教材第18页练习2改编）：在空间直角坐标系中，
（1）哪个坐标平面与轴垂直？
（2）点在平面内的射影的坐标是什么？
（3）点在三个坐标轴上的射影的坐标分别是什么？
（4）点关于轴、轴、轴对称的点的坐标分别是什么？
（5）点关于平面、平面、平面对称的点的坐标分别是什么？
（6）点关于坐标原点对称的点的坐标是什么？
解：
（1）与x轴垂直的坐标平面是平面；
（2）由PB平面，且点B在此平面内，可得点在平面内的射影的坐标为B(1,3,0)；
（3）由PA轴，交轴于点A，得到点在轴上的射影的坐标为A(1,0,0)；同理点P在轴上的射影的坐标为C(0,3,0)；在轴上的射影的坐标为 (0,0,2).
（4）由图可知：点关于轴对称的点的坐标为P1(1,-3,-2)；关于轴对称的点的坐标为P2(-1,3,-2)；关于轴对称的点的坐标为P3(-1,-3,2).
（5）点关于平面对称的点的坐标为P4(1,3,-2)；关于平面对称的点的坐标为P5(-1,3,2)；关于平面对称的点的坐标为P6(1,-3,2).
（6）点关于坐标原点对称的点的坐标为P7(-1,-3,-2).
【规律方法】
（1）求点在哪个坐标平面上的射影，则该面上对应的两个坐标不变，另一个坐标为0；
（2）求点在哪个坐标轴上的射影，则该轴上对应的坐标不变，另两个坐标为0；
（3）两个点关于哪条坐标轴对称，则该轴上对应的坐标不变，另两个坐标互为相反数；
（4）两个点关于哪个坐标平面对称，则该面上对应的两个坐标不变，另一个坐标变为相反数;
（5）关于坐标原点对称的两个点，对应坐标全都互为相反数.
简单记为：关于谁对称，谁不变.
【设计意图】巩固学生对空间直角坐标系的理解和掌握程度，并总结点在坐标平面内、坐标轴上的射影的坐标，点关于坐标轴、坐标平面、坐标原点的对称点的坐标的一般形式，锻炼学生的数学思维.
例3.在空间直角坐标系中标出下列各点:
A(0,2,4), B(1,0,5), C(0,2,0), D(1,3,4)
解：A(0,2,4)横坐标为0，所以点A在平面上，又纵坐标为2，竖坐标为4，得到点A如图所示；
同理，点B(1,0,5)在平面上, 得到点B如图所示；
点C(0,2,0)在y轴上，得到点C如图所示；
对于点D(1,3,4)，先找到D在Oxy平面上的射影D’(1,3,0),再把点D’向上平移4个单位长度，即得到点D.
【小结】根据坐标找空间直角坐标系中点P(x,y,z)的方法为：
1）如果点P的坐标中有两个0，则点在坐标轴上；
2）如果点P的坐标中有一个0，则点在坐标平面上；
3）如果点P的坐标中没有0，先找到点P在Oxy平面上的射影P’(x,y,0),再把点P’向上（或下）平移|z|单位长度（z0时上移，z0时下移)，即得到点P.
例4. 如图，长方体ABCD-A’B’C’D’, AB=2, BC=3, CC’=4, 试建立适当的空间直角坐标系（右手直角坐标系），并写出对应的点A、B’、C’ 的坐标.
解：方法一：以D为坐标原点，以DA, DC, DD’所在直线为x, y, z轴，如图(1)所示，建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0)、B’ (2,3,4)、C’ (0,3,4).
方法二：以B为坐标原点，以AB, BC, BB’所在直线为x, y, z轴，如图(2)所示，建立空间直角坐标系, 则A(-2,0,0)、B’ (0,0,4)、C’ (0,3,4)，
【设计意图】体会什么是建立适当的空间直角坐标系.
【小结】要根据题目中几何体的特点以及涉及的点来建立适当的空间直角坐标系.
（四）课堂小结
1.类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系，注意教材中所给的都是右手直角坐标系；
2.利用空间向量的基本定理或几何直观求空间直角坐标系中的点和向量的坐标；
3.空间直角坐标系中具有特殊位置的点和向量的坐标的特点（坐标原点是三个0，坐标轴上的点有两个0，坐标平面上的点有一个0）;
4.空间中两点的中点坐标公式：已知点，则AB的中点C的坐标为;
5.空间直角坐标系中点对称的规律是：关于谁对称，谁不变;
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