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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、教学目标
1、知识目标：知道球、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
2、能力目标：在数学建模中，培养学生数形结合能力.
3、素养目标：提升数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养.
二、教学重点、难点
重点：了解记忆圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式.
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式解决简单的实际问题.
三、教学过程
（一）创设情景，提出问题
问题1：复习回顾弧长公式、扇形面积公式.
问题2：复习回顾多面体的表面积与体积，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？
（二）新知探究
1、圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题3：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何求它们的底面积、侧面积、表面积？
问题4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
做一做：
(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 表面积 .
(2)圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的侧面积为 .
(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于 .
2、圆柱、圆锥、圆台的体积
问题5：在以前已经学习圆柱、圆锥体积公式，你能回忆起来吗？
问题6：由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台的体积公式根据圆台的特征，如何求圆台的体积？
问题7：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？
做一做：
下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形;上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为 .
3、球的表面积、体积
设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.
事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 .
问题8：小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式？
例题解析
例1：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)
例2：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。
（三）当堂检测
1．将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为_____.
2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
3．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的底面周长为2π，若圆锥的侧面展开图为一个半圆其面积为，则球O的表面积等于________．
4．表面积为的正四面体外接球的体积为__________．
（四）小结归纳
旋转体 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
侧面积
表面积
体积
（五）布置作业
1、课本P119练习1-4题.
2、阅读121-123探究与发现，思考如何利用祖暅原理推导球的体积.
（六）板书设计
表面积公式： 体积公式： 例1 例2
（七）课后反思
课后达标练习
一、单选题
1．如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆
半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为2，高为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个圆柱的底面直径与高都等于球O的半径，则该圆柱的表面积与球O的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．球的体积是圆锥体积的两倍
8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
9．将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D．过圆锥顶点的截面面积的最大值为
三、填空题
10．圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________．
11．已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_______．

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