资源简介

第二课时 直线的两点式方程
（一）教学内容：
直线的两点式方程、截距式方程.
（二）教学目标
1.经历用两点坐标计算直线斜率，并套用直线点斜式方程得到直线的两点式方程的过程，知道直线的两点式方程是点斜式方程的变式，发展学生的直观想象及逻辑推理核心素养.
2. 能准确的写出直线的两点式方程，能通过对两点的特殊化，得到直线的截距式方程，能完成直线两点式方程与截距式方程的相互转化，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
3.对两点式及截距式的适用条件有清晰的认识，能够从直线方程的代数特征解读出直线的几何特(定点、截距等)，进一步体会坐标法.
（三）教学重点及难点
1.重点
直线的两点式方程.
2.难点
（1）两点式、截距式的适用范围；
（2）截距与轴上的截距、截距与距离的区别与联系.
（四）教学过程
问题1：如图，求过两点，的直线的方程？
师生活动：
（1）学生自主按以下两步完成解答.当然，只讨论的情形，另当别论.
①已知两点的坐标，，（），求出直线的斜率；
②将点及斜率代入直线的点斜式方程，得.
综上，就是过两点，（）的直线的方程.
（2）教师追问：能不能和要不要将方程结果变形为？
（3）学生讨论后给出回答.应该会有以下两种主流意见.
①不能.因为变形为，除了不能表示的情形，连也不能表示了.适用范围更小了.
②能，而且一定要变形为，才能被称为直线的两点式方程.教材上就是这样做的.
（4）教师指导学生继续讨论.明确指出：我们选择放弃对时的直线的刻画，选择将直线方程就变形为，并称为直线的两点式方程，简称两点式.
也就是说，两点式方程仅适用于直线的斜率存在且不为0的情形.
（5）教师引导学生思考上面的叙述有没有什么不妥之处？我们是不是还没有证明，以方程的解为坐标的点都在过两点，，（其中，且）的直线上？
现在的问题是：要不要证？如果要证，如何证？
经学生们的讨论，应该得出的结论是“不用证”.因为，我们的两点式，本质上来自于点斜式的同解变形（事先排除分母为零的情形）.
（6）师生共同讨论：或时怎么办？
时，直线与轴平行（或重合），它的倾斜角为，这样的直线没有两点式方程，但是，是它的方程；
时，直线与轴平行（或重合），它的倾斜角为，这样的直线没有两点式方程，但是，是它的方程.
（7）师生共成完成以下例题.
【例1】 已知△的三个顶点，，，求边以及边上的中线所在的直线的方程.
【解】如图，过，的两点式方程为，可整理得，这就是边所在的直线的方程.
边上的中线是顶点与边中点所连线段，由中点坐标公式，可得点的坐标为，即.
过，的直线的两点式方程为，整理得，这就是边上的中线所在的直线的方程.
设计意图：我们知道，已知直线上的一点和直线的方向，或者已知直线上的两个点，都可以确定一条直线.而且，我们在上一课时，探究了第一种情形，知道了可以用点斜式及其特殊斜截式刻画“已知直线上的一点和直线的方向”的直线.现在的问题是，“已知直线上的两个点”怎么办？
虽然直线的两点式完全可以在直线的点斜式的基础推导出来，但是在目前的情形下，教师在提出问题的同时，列示一个图形是有必要的。在这里，我们“不失一般性”的给出一个方向为左上方的直线，是有助于学生们谈到直线，习惯上“不失一般性”以方向为右上的直线为例的缺陷.
让学生经历由直线点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程的过程.一方面是对直线的点斜式方程的复习，另一方面也有助于理解直线的两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式”表达.
由于直线方程的两点式，事实上来自直线的点斜式的同解变形（斜率为0的情形事先排除后），所以，并不需要另行证明所求方程的解为坐坐标的点都在直线上.然而，这个结论是需要思考后认定的结果，而不该成为学生们忽略的过程.这里的差别正好是逻辑推理核心素养所要面对的问题，教师在教学中应该给予足够的重视.所以，反复引导学生关注“直线上任意一点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线上”这两点，对落实学生对概念的理解，培养其思维的严谨性,发展学生逻辑推理核心素养是很有必要的．
至于两点式明明应该化为可以涵盖全部情形（含斜率不存在）的整式：.这个式子不仅漂亮，而且可以用直线的方向向量、法向量做出解释.为什么要放弃对时的直线的刻画，而选择这样一个比式？这个问题，各种文本并没有定论.一个可能的原因就是这种“比式”策应了平面几何（欧氏几何）里普遍使用的“相似”（如图）所呈现的“对应成比例”（需注意正负号）.
另外，令，直线的参数方程也就呼之欲出了.当然，直线的两点式方程也在具有结构上的对称美.这些话题，在必要的情况下，结合学生的表现，选择在课堂或课后给学生做一个说明.这样的数学课堂会不会更加的有血有肉呢？
例题1是教材中原有的例题.这个问题选自教材的例题.检测学生对直线的两点式的应用能力.要求学生能够在已知条件中找出或算出两点式所要求的两点，继而写出两点.
一个没有铺垫但显而易见的事情是，我们将所求的直线方程的两点式整理为斜截式，它明显比直线的两点式更易于接受，而教材更是直接整理为一般式，应该也是很自然的.
问题2：过两点，，其中，且的两点式方程为.那么是不是这个两点式呢？呢？
师生活动：
（1）视学生情况不同，如果学生的基础较好的话，可引导学生完成以下证明：
因为，所以，
整理得，即.
所以也是这条直线的两点式.
（2）如果学生的基础不是太好的话，向学生说明是选择点写点斜式的结果，而是选择点写点斜式的结果即可（如图）.
但是，并不是直线的两点式.具体表现的不是“以这个方程的解为坐标的点不在过两点的直线上”，而是表现为“过两点的直线上有一个点的坐标不是这个方程的解”.
设计意图：这个问题细小而重要，直观想象及逻辑推理核心素养水平不同的学生，可以选择从不同的角度完成自己的解释.而试图从多个角度理解这个问题，不仅仅帮助学生完成对两点式方程的细节的识记与记忆，更是发展学生们直观想象或逻辑推理核心素养的机会.事实上，同一条直线的两点式还可以有其他无数种形式.这也从另一个角度向学生们解释了例1为什么将结果转化为斜截式是件很自然的事情——简洁是一个方面，另一个方面是结果是唯一的.
问题3：在点斜式方程的探究中，我们从一般到特殊，对条件的特殊情形作了研究，得到了直线的斜截式方程.类似地，对于直线的两点式方程，我们也可用特殊的两点建立两点式方程.那么，这两个点应该如何选取呢？这样的两个点又会建立起什么样的方程呢？
师生活动：
（1）有上一课时的铺垫，学生们应该会想到在两个坐标轴上找这两个特殊点.
这样的话，接下来要解决的问题就成了：如果已知直线上的两点分别落在轴、轴上，即已知点,，其中，如何表示这条直线？
（2）特殊的两点，也是两个点.结合直线的两点式方程，学生自主探究，应该会有若干不同的结论（可以邀请一些学生板演过程，或用智慧课堂设备收集学生的探究结果），教师引导学生们形成统一的结果：将，，，代入直线的两点式方程，得到：，，也就是.
（3）教师引导学生总结：该式中的分别为直线与轴交点的横坐标和直线与轴交点的纵坐标；b叫做直线在轴上的截距；a叫做直线在轴上的截距；我们将称为直线的截距式方程，简称截距式.需要强调的事情是并不是截距式，将它整理为是才被称为截距式，它（避免用“它对应的直线”的说法）的截距分别是2和，同样的、也不是截距式.
直线的截距式方程是特殊的两点式方程.但与同一直线的两点式可以有无数种的表现形式不同，同一直线的截距式只有一种形式.
（4）教师强调截距式两个要点.
①格式的要求.等式左侧为直线上任意点的横纵坐标与直线分别在轴，轴上截距的比值的和，右侧是常数1.
②适用范围.截距式方程作为特殊的两点式方程，除了不能表示平行于轴和轴的直线外，当a，b都不为0时，直线还不能过原点.
设计意图：教师直接引导学生回顾直线的斜截式的探究过程，为学生们的类比活动提供了明确的思维方向，降低了类比的难度，提高的类比成功的可能，有利于保障学生们成就感的获得.有利于让学生们完整的经历了自主提出问题，并探究解决问题的过程，有利于提升发现问题、提出问题的意识与能力.同时，加强学生对数学研究问题基本思想与方法（类比思想、特殊化思想）的认识.至于，学生们能不能将自己认定的最后的结果整理成的形式，不仅仅是对数学运算核心素养的一个检测，也是学生们对数学的对称美的一个追求.
问题4：学生们在面对不同问题时，能准确的选取合适的直线方程的不同形式解题么？这些形式可不可以通用？
师生活动：
（1）学生在教师的指导下完成以下例题：
【例2】根据下列条件，求直线的方程：
（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为；
（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为.
【解】（1）（1），即；
（2）或即或.
（2）学生自主完成以下课堂练习：
【课堂练习1】已知直线过点，与轴、轴的正半轴分别交于两点，求的面积的最小值，并写出此时直线的方程.
【解法一】由题意易知，设直线在轴、轴的正半轴的截距为，且，
则，且.
又由，得，当且仅当时等号成立.
所以的面积为时，当且仅当时的面积取最小值.此时即.
【解法二】由题意易知，直线的斜率显然存在且小于0，设其为，
则，
如图，时，；时，.
所以的面积为，当且仅当时的面积取最小值.此时即.
【解法三】如图，设直线在轴、轴的正半轴的截距为，且，由三角形相似可得：
，即得，
（下同解法一）.
设计意图：例题2取自教材中的练习.期待并引导学生们直接从及中直接解读出在纵坐标及横坐标上的截距，然后直接套用直线的截距式公式解题.
如果课堂需要（比如学生较为自信，想到这种解法，坚持要表达用这种解法的全过程时），也可以展示如课堂练习1解法二那样的解法.
课堂练习1则让学生自主完成，可以是板书或利用智慧课堂设备抓取学生们不同的解法.
不同的解法，一方面是值得肯定与鼓励的，就问题的解决来说，不要也不能给出好与不好的评判.特别是解法三，事实上，还涉及到数学建模素养的发展；另一方面教师们也要意识到，采用解法二，尤其是解法三，表明学生们在学习新知识时，出现了明显的“前摄抑制”现象，在可能的情况，要注意避免.
在这两个题中，对直线的方程，都很自然的采用了斜截式或一般式呈现.
（五）小结
（1）直线的两点式是直线的点斜式的“变式”，直线的截距式是两点式的特殊形式.
（2）直线的两点式不能用于斜率不存在及斜率等0的情形，而直线的截距式除上述两种情况外，还不能用于过原点的情形.
（3）截距式所涉截距一方面与斜截式所涉截距一样，可正可负可为0；另一方面，这里有两个截距，一是和斜截式一样的在轴上的截距，又称纵截距，一个是在轴上的截距，又称横截距.
（4）不同的问题情境下，要善于选择不同形式的直线方程，也要善于在不同形式的直线方程间进行转换.
（六）目标检测：
1.求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
2.课后作业布置：教材第67页习题2.2第1题（4）、（5）、（6）、第4题及第6题.
【解】1.①当截距为0时，则直线过原点，方程为；
②当截距不为0时，设直线为，则，解之得，直线为.
综上可知，所以直线方程为或.
2.略.
设计意图：第1题选自教材第67页习题2.2第7题.主要用于凸显截距与距离的区别，突破本课时一项教学难点.有条件的情况下，可以用智慧课堂系统收集并记录学生的检测结果.

展开更多......

收起↑