资源简介

2.3.2两点间的距离公式
（一）教学内容与分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两点间的距离公式 。
本课内容是在直角坐标系下，利用代数方法解决平面几何问题初步基础，是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础，两点间的距离是解析法巨大作用的初步体现。培养学生数形结合思想和方程思想。
（二）教学目标
课程目标 学科素养
A. 掌握平面上两点间的距离公式. B.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. C.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与数形结合思想 1.数学抽象：平面上两点间的距离公式. 2.逻辑推理：平面上两点间的距离公式.的推导 3.数学运算：平面上两点间的距离公式的应用 4.直观想象：平面上两点间的距离及其公式
（三）教学重点与难点
重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用
难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题
（四）教学过程设计
引导语：我们知道，在各种几何量中，线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.
自主探究两点间的距离
如图2.3-2，已知平面内两点 ，如何求，间的距离？
问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？
师生活动：学生思考、讨论交流.
设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.
问题2：当直线平行于轴时，怎么表示？当直线平行于轴时，怎么表示？
师生活动：学生思考、讨论交流.
设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.
问题3：你能利用构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？
师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.
设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.
例题解析
例3.已知点，，在轴上求一点,使，并求的值.
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..
课堂练习3.已知点，在轴上的点与点的距离等于10，求点的坐标．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：利用与例3完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.
例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍
教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：
1：证明过程的第一步是什么？
2：建系后的步骤是什么？
3：写出点的坐标后，应继续做什么？
4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？
5：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？
师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.
设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；逐步引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.
问题4：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？
其实，在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中，我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题，即建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面儿何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系。
用坐标法解决这个问题的基本步骤与向量法完全类似，即建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行代数运算；把代数运算的结果“翻译”成儿何结论
教学中，可以引导学生建立不同的坐标系，如根据平行四边形的对角线互相平分，以对角线的交点为原点，一条对角线所在直线为 r 轴建立坐标系，并进行比较，让学生体验“适当的坐标系”的含义．
课堂练习4.已知点，判断的形状．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.
归纳总结
教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：
（1）两点间的距离公式；
（2）用坐标法解决平面几何问题.
设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.
布置作业：
教科书第74页，练习1,2,3.

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