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2.3.3 点到直线距离公式教学设计
（一） 教学内容及分析．
点到直线的距离公式推导及应用
点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一,它是解决点线、线线距离的基础,也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线作准备.教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程,深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法,逐步学会利用数形结合、算法、转化、向量等数学思想方法来解决数学问题;能让学生充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣.
（二） 教学目标
经历点到直线距离公式的推导。 从提出方案过程演化体会数学知识间的联系，由形到数，深刻体会坐标法。
（三）教学重点
1.重点
点到直线距离公式及其应用
2.难点
点到直线距离公式的推导.选择解决问题的策略，化繁为简的计算方法;“设而不求”的解析几何运算策略，方程组的演化。联系立体几何中，求点到面距离的办法引导出学生借助向量解决距离问题的策略。
（四）教学过程
１.问题情境
如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？
设计意图：通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2．
２．点到直线的距离公式的推导过程
首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点P作直线l的垂线，垂足为Q点，线段PQ的长度叫做点P到直线l的距离．
设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础,根据认识发展理论，学生认知结构的发展是在其认识的过程中伴随同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，达到以旧悟新的目的。
接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．
问题1 多媒体，出示材料练习： “尝试性题组”A到l的距离为d
1）A(2，0)，l：x = 3， d=_____
2）A(2，0)，l：y = 3，d=_____
3）A(2，0)，l：x – y = 0，d=____
对于（3）题，由于点和直线的位置非常特殊，学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．让学生来说解题方法。
方法① 利用定义方法；② 利用直角三角形的面积公式方法；③ 利用三角函数。
（设计意图：尝试性题组告诉学生下手不难，还负责特例检验，从而增强学生参与的信心。说解题思路，一是让学生清晰有条理的表达自己的思考过程，二是其求解过程提示了证明的途径）
对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点P和直线l的位置，引出补充问题2．
问题2 如何求点A(2，4)，到直线l：x – y =2的距离？
组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．
（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．
问题3 如何求点P到直线l: (）的距离？
（设计意图：使学生的认知由特殊向一般转化，发现可能的方法，让学生体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的生机和乐趣。）
思路(1) 定义法,其步骤为：①求l 的垂线PQ的方程；② 解方程组；③得交点Q的坐标；④求|P Q|的长
同学们通过预习，现在小组讨论得出Q点坐标。看出计算两点间距离繁琐的计算量。想想看有没更好的策略。
引导设而不求的计算推理。
问题4：:如果不解Q点坐，将它设成Q（x,y）那么｜PQ｜=＿＿
同学答：
指出Q点坐标满足的方程组
;
引导学生构造
两边平方相加，同学们得：
师生一起进行比较，两种解法的特点，指出要有优化解发的思想。
（设计意图：“师生共作”体现新型师生观）
由学生推证点到直线的距离公式
（设计意图：培养学生严谨，周密的逻辑推理能力，得到一般性结论，形成完整的数学模型，感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成科学的态度。在推证的过程中，通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼意志，增强信心。）
问题5.回忆立机中点到面的距离求解方法。
同学们可投影展示其思路和步骤。
点到平面的距离
已知平面α的法向量为, A是平面α内的定点, P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.
设计意图:通过类比，联系的观点，用旧方法解决新问题。通过点到距离图形的探索观察，方法总结，再进行小组讨论。得现在的点到线距离向量策略。
同学们争先讨论，具体实施步骤:
1 .取直线上仼一点M，连接PM,
2，如何求垂直于l的方向向量？引导学生利用直线的方向向量（1，k）。
3.形成思路学生们自己动手算，老师巡视，提示，学生互对互讲。最后学生展示。
4.也有同学可能提出，为什么不类比点到线距离办法。解释：空间中直线的垂线不唯一，而面的法向量唯一。平面直角坐标系中直线的垂线方向唯一，可直找投影。
设点M是直线上任意一点得 M
求与l垂直的向量:
设的夹角为得:
得到点P到l的距离
（设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象．为帮助学生理清思路，在教学中强调了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读．）
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当A=0,B=0时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．
在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点。
为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3．
3．课堂练习
（1）.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. (　　)
答案:×
（2）.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
答案:C
（3）.你能说出代数式的几何意义吗
设计意图:通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养
4.小结
1.我们尝试了三种研究点到直线距离的方法。第一，直接找进垂足求2点间距离，优点是思路自然，缺点是计算量大。 第二，优化解法，通过设而不求，从方程组中演化出两点间距离公式， 体会到数学运算的巧妙。 第三，通过复习上一章点到平面距离向量方法，同学们形成了用向量解决点到直线的距离，方法自然，计算量也小。 是同学们体会数学方法的灵活性和多角度。体会数学知识间的联系。
2.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.
3.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.
4.同行这节课辛苦又快乐，像在数学中探险一般，最后我们熟记这个公式，大家发现它有什么特点？ 请同学们口述: 归纳为分子是将点p的坐标带入直线方程，分母是x，y系数平方和的开方。
设计意图:通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
六 .目标检测
达标检测
1）.点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　)
A. B. C.3 D.2
解析:d==2,故选D.
答案:D
2）.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
A. B.-
C.-或- D.-
解析:由点到直线的距离公式可得,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.故选C.
答案:C
3）.已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
4).已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
得,解得k=0或k=1.
(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,
∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
七．课后作业
课后习题：6，14；自主探索平行线间距离

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