资源简介

等差数列的概念第一课时
1.课时教学内容
等差数列的概念
2.课时学习目标
能说出等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；
会用等差数列的通项公式解决简单问题；
3.教学重点与难点
重点∶等差数列的定义，等差数列的通项公式。
难点∶等差数列的通项公式。
4.教学过程设计
环节一 情景引入
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。
1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②
3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③
问题1：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？
答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…
换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…
如果用表示数列①，则有：
…
对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。
同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。
数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。
【设计意图】通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而得到等差数列的定义。
环节二 学习新知：
问题2：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
对定义的理解：
等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
问题3：你能判断下列数列是否为等差数列吗？
（1）5，9，13，17，21； 是
（2）9，7，5，3，1，-1； 是
（3）6，6，6，6，6，6； 是
（4）0，1，0，1，0，1； 不是
【设计意图】熟悉等差数列的定义。
问题4：如果在数与中间插入一个数，使，，成等差数列，那么应满足什么条件？
答：由等差数列定义，有,所以，即。
此时，我们把叫做和的等差中项。
和的等差中项是它们的算术平均数。
问题5：你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列的首项为，公差为，则由定义可得：
。
追问1：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
答：由
则有：，，，…。
于是：
……
归纳可得：。
当时，上式为。
首项为为，公差为的等差数列的通项公式为：。
追问2：还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？
……
一共有n-1个等式，将它们进行累加，有即
追问3：你能写出以下数列的通项公式吗？
（1）5，9，13，17，21；
（2）9，7，5，3，1，-1；
（3）6，6，6，6，6，6；
答：
（1）；
（2）；
（3）。
追问4：由等差数列的通项公式可以看出，要求，需要哪几个条件？
答：只要求出等差数列的首项和公差，代入公式即可。
问题6：观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？
答：因为，
所以当时，是常数函数；
当时，是一次函数当时的函数值，即。
追问1：等差数列的图像与一次函数的图像有什么关系？
答：数列的图像是落在一次函数图像上的一系列点。
追问2：由一次函数得到的数列一定是等差数列吗？
答：任给，则，
，
。
所以数列是以为首项，为公差的等差数列。
数列是公差不为0的等差数列数列的通项公式是关于的一次函数。
追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
答：
时，等差数列单调递增；
时，等差数列单调递减；
时，等差数列为常数列。
环节三 例题解析：
例1：已知等差数列的通项公式为，，求等差数列的首项和公差。
分析：有了通项公式，只要将代入，就能求得，由通项公式写出的表达式，由可求得公差。
解：把代入通项公式，得，当时，，于是，所以数列的首项为3，公差为-2。
追问1：还有其他方法求公差吗？
分析：由于一直数列为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差，由于已求出首项为3，只需再求出，即为公差。
解法2：
于是。
所以数列的首项为3，公差为-2。
追问2：你能直接从通项公式看出公差的值吗？
答：由于等差数列的通项公式是关于的一次函数，即。一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值。
解法3：
因为，所以公差为-2，所以数列的首项为3，公差为-2。
研究数列时,运用函数观点,将数列的通项公式或前n项和公式,看成关于n的函数,用函数方法得到数列的相关性质,是研究数列时的常用方法。
例2：求等差数列8，5，2，...的通项公式和第20项，并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？
分析∶只要知道数列的首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得。
求得通项公式以后，它是一个关于n的方程，判断一289是否是数列中的项，只需要看一289是否能使得该方程有正整数解即可。
解：由已知条件，得，把代入，得，所以，令，得，所以-289是该数列中的第100项。
等差数列的首项和公差d是等差数列的"基本量",由这两个基本量,可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项。
根据已知条件,列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组,求得未知变量是解决等差数列相关问题的常用方法。
环节四 课堂小结：
问题7：本节课学习了那些知识？
1.等差数列的概念
等差数列及等差中项的定义；
等差数列的通项公式；递推公式、归纳和累加法。
通项公式的应用。函数与方程.
2.通项公式的应用
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数。
环节五 课后作业：
1.求下列各组数的等差中项.
(1)647和895；
(2)。
解：（1）771，（2）
2.已知在等差数列中，，求。
解：
【巩固练习】
1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案　D
2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)
A.15 B.22 C.7 D.29
答案　A
3.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1)
C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1)
答案　A
4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(　　)
A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤
答案　B
5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　)
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
答案　B
6.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝________.
答案　
7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.
答案　13
8.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
答案　
9.在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解　(1)因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)设{an}的公差为d，则解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
10.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由.
(2)求an.
解　(1)数列是等差数列.理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差d＝ 的等差数列.
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，所以an＝.

展开更多......

收起↑