资源简介

《复数的概念》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.复数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 【考查内容】 复数的几何意义、两个复数相等、共轭复数. 【考查题型】 选择题、填空题
2.两个复数相等的充要条件 逻辑推理
3.复数的几何意义 数学运算 直观想象
4.复数的模与共轭复数 数学运算
一、本节内容分析
本节的主要内容是复数的概念、复数相等的充要条件及复数的几何意义、复数的模、共轭复数等知识.通过解决负实数不能开平方以及平面内点和向量与复数的对应关系问题,感受引入复数的必要性,引出复数的几何意义,体现几何与代数知识相结合的思想.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.复数的概念 2.两个复数相等的充要条件 3.复数的几何意义 4.复数的模与共轭复数 数学抽象 逻辑推理 直观想象 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中已学面直角坐标系、绝对值及实系数的一元二次方程的求解,对实数范围内没有解的方程的求解问题,应属于探讨的新情境;本册的第六章学面向量的概念及表示,学生对于数与形也有了认识,所以本节知识难度不是很大;但是学生会对虚数单位理解不透,对新引入的数系不习惯,也会在复数几何意义的理解上有困难.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.复数的概念
2.两个复数相等的充要条件
3.复数的几何意义
4.复数的模与共轭复数
【教学目标设计】
1.在问题情境中了解实数系的扩充过程,掌握复数的基本概念、代数形式及实数、虚数、纯虚数之间的关系.
2.掌握复数相等的充要条件并能解决相应的数学问题.
3.理解复数与坐标平面里的点及向量的对应关系,能利用平面向量解决复数的运算、性质以及应用问题.
4.理解复数的模、共轭复数概念,能利用数形结合的思想解决复数模的问题.
【教学策略设计】
1.设计情境教学,引入未知问题.
2.师生共同探究,归纳总结概念知识.
3.利用直观教学,渗透解决问题中的数形结合思想.
4.利用典例教学,师生共同探讨解决问题的思路.
【教学方法建议】
情境教学法、直观教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.复数概念的理解及复数的代数表示.
2.复数的两种几何意义.
难点 1.复数引入的数系扩充过程及与平面向量的对应.
2.复数相等的充要条件的理解和虚数、纯虚数的判断.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,我们知道数系扩充的脉络是:自然数系→有理数系→实数系.
【情景设置】
探究复数范围内的一元二次方程的解
方程在实数范围内是否有解？如何解决这个方程没有实数解的矛盾？一元二次方程的判别式小于零该如何解？
师:请学生独立思考,这个方程在实数范围内是否有解？
【设计意图】
应用情境教学策略,提出疑问,激发学生兴趣,体会数系扩充的必要性
教学精讲
探究1 复数的概念
师:遇到新的数学问题,实数系已不能满足解决问题的要求,数系需要扩充.需要引入什么样的数才能实现数系的扩充呢？同学们,带着疑问,请阅读教材P67~68,感受一下数系扩充的必要性.
【先学后教】
学生带着疑问阅读教材、自主学习,教师再展示多媒体,讲解复数的概念.
【情景设置】
探究复数的概念
我们称为虚数单位,;因而方程的根为;
思考:1.方程的根如何表示
2.解方程:(1);(2).
探究:
是数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)最早引入的,它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头..
【学生思考,合作交流,教师总结虚数单位的性质】
师:为了解决的一元二次方程的求解问题,需要将实数系进行扩充;依据数系的扩充原则,我们将i加入到实数系中,得到新数集.在新数集中,我们希望i和实数之间仍可以进行加法和乘法的运算,并满足相应的运算律.
师:数系扩充时,一般要遵循哪些原则？
【学生思考,小组讨论,总结,回答问题,教师补全】
师:（1）增加新元素,新旧元素在一起构成新数集;（2）在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原来的一些主要性质（如运算定律）依然适用;（3）旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变;（4）新的数集能够解决旧的数集不能解决的问题.
【要点知识】
数系的扩充原则
依照以上设想,把实数与相乘,结果记作;把实数与相加,结果记作.注意到所有实数以及都可以写成的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中.式子中,当时,可表示实数;当,当时,表示形如的数;当时,表示形如的数.
【概括理解能力】
明确数系扩充的必要性,总结数系扩充原则,为学习理解复数的概念等知识做铺垫,提升概括理解能力
【教师引导学生利用数学抽象概括思想完成从数系扩充原则到复数概念的概括】
【要点知识】
复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位.全体复数构成的集合叫做复数集.
师：下面是复数的代数形式
【要点知识】
复数的代数形式
复数通常用小写字母表示,即,这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数,以后不作特殊说明,都有,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部.
注意:(1);(2)虚部不含有.
【概括理解能力】
以教师设疑发问,学生回答的形式,师生共同探讨得出复数的概念,培养学生的概括理解能力和逻辑推理核心素养
师:请同学们讨论:（1）当时;（2）当时;（3）当时;（4）当时的复数的代数形式.
【学生独立思考,教师总结虚数、纯虚数概念,学生举出虚数、纯虚数的例子】
师:处于复数.
当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.
师:请同学思考,实数集与复数集的包含关系？
【学生思考、交流、讨论,教师给予肯定或补充】
【深度学习】
学生通过自主学习、交流讨论、教师引导总结等环节学习数集扩充知识,加深对复数概念及表示形式的理解
【要点知识】
数集间的关系
实数集是复数集的真子集,即.
复数可以分类如下:
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.
师:下面我们看一道例题.
【典型例题】
例1 当实数取什么值时,复数是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【深度学习】
例1是一道复习巩固复数概念的题目,首先学生要在变化中认识复数代数形式的结构,正确判断复数的实部、虛部,然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件,列方程（或不等式）求出相应的的取值.
【教师分析解题思路,学生独立解题】
师:因为所以都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的取值.
生解:当即时,复数是实数.
(2)当即时,复数是虚数.
(3)当且即时,复数是纯虚数.
探究2 两个复数相等的充要条件
师:请同学们思考下面的问题.
【情景设置】
探究两个复数相等的充要条件
两个实数可以比较大小,复数集中不全是实数的两个数能否比较大小
问题:i和0是否可以比较大小
探讨:若,则,即,不成立.
若,则,即,不成立.
即i和0不能比较大小.
【师生探讨后总结:虚数不能比较大小,只有相等和不相等之分】
【设情境 巧激趣】
提问设疑,探讨旧数系中元素和新数系中新增元素的关系,激发学生探讨两个复数相等的充要条件的兴趣.
【要点知识】
两个复数相等的充要条件
在复数集中任取两个数,我们规定:相等的充要条件是且,即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时,两个复数才相等.
特别地:.
【师生共同讨论:应用复数相等的充要条件时需要注意什么
共同总结:先将复数化为的形式,即分离实部和虚部】
师:下面做一道练习题.
【巩固练习】
复数相等的应用
若,求实数,的值.
【学生独立思考,自主完成,教师总结】
师:复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径,化虚为实是解决复数问题的一条主线.
【分析计算能力】
依据两个复数相等的等价条件,列出含有待定系数的方程组,培养学生分析计算的能力
探究3 复数的几何意义
1.几何意义（一）（用复平面内的点表示复数）
师:实数与数轴上的点有什么关系？
生:一一对应关系.
师:数系扩充到复数,复数可以与点有对应关系吗？请同学们阅读教材P70~71,回答问题.
生:复数的实部和虚部构成有序实数对,对应着复平面内的一点.
【猜想探索能力】
引导学生自己探索“化虚为实”的解决问题途径,提升猜想探究能力
【归纳总结】
复数与复平面内点的关系
1.复数与实数之间的对应关系
复数点
2.复平面及结构
规定:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,复平面内轴叫做实轴,轴叫做虚轴.(如图所示)
3.复数与复平面内的点的关系
复数.
【教师强调:（1）复数的实质是有序实数对;（2）虚轴上的单位长度是1,而不是i.师生共同交流讨论总结:在复平面内,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示纯虚数】
【整体设计 分步落实】类比实数与数轴上的点的对应关系,探究复数与实数之间的对应关系,再通过学生自主学习和交流探讨掌握复数的两种几何意义的统一性
2.几何意义（二）（用平面向量表示复数）
师:由平面向量的知识,我们知道,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数又是一一对应的,所以复数与平面向量也应有对应的关系.
【要点知识】
用平面向量表示复数
如图,设复平面内的点表示复数.连接,则向量由点唯一确定;反过来,点（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定,即复数.为了方便,常把复数说成点或向量,并且规定:相等的向量表示同一个复数.
【推测解释能力】引导学生以平面向量的知识为载体,推测复数与平面向量的对应关系,提升推测解释能力
【引导学生思考总结:复数的两种几何意义使我们在讨论复数的运算、性质和应用时,可以在复平面内综合使用坐标法和向量方法,体现了解决数学问题的数形结合思想】
师:复数与复平面内的点及平面向量构成一一对应的闭环.
探究4 复数的模与共轭复数
师:依据复数的几何意义及平面向量模的概念,我们可以定义复数的模.复数模的几何意义是什么？
【学生阅读教材P1,自学复数的模的定义,举出复数实例并画图,对应找出几何意义】
【要点知识】
复数模的几何意义
1.向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或.如果,那么是一个实数,它的模等于(就是的绝对值).由模的定义可知,.
2.复数模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.特别地,当且仅当时,.
【设情境 巧激趣】
让学生举出复数实例,如:,找出对应点及对应平面向量,并求解向量的模长
师:学习了复数模的相关概念,我们解决下面的例题吧.
【典型例题】
复数的模
例2 设复数.
(1)在复平面内画出复数对应的点和向量;
(2)求复数的模,并比较它们的模的大小.
【师生互动,教师板书,并进行总结】
师解:(1)复数,对应的点分别为,,对应的向量分别为.
(2),
.
师:通过观察图象,点和有怎样的关系
生:点和关于轴对称.
师（强调）:（1）计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用复数模的公式进行计算.
（2）两个虚数不能比较大小,它们的模可以比较大小.
【观察记忆能力】
通过例2,既复习巩固了复数的两种几何意义以及模的计算和大小比较,同时也为引入共轭复数进行铺垫,提供具体实例的支撑,锻炼了学生的观察记忆能力,提升了直观想象、逻辑推理核心素养
【教师引导学生对比复数的模和实数绝对值的概念,师生共同总结:复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充,因此有,并且实数的绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模】
【情景设置】
数学转化思想
.
【深度学习】
引导学生根据对称性推测、分析虚部互为相反数的两个复数的模长的关系.
【学生交流讨论复数和实部、虚部的特点,所对应的两点的几何特征,教师多媒体展示共轭复数】
【要点知识】
共轭复数
1.概念:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
2.表示:复数的共轭复数可用来表示,即复数的共轭复数是.
3.几何意义:互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地,实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上.
4.性质:;
且为纯虚数.
【让学生举出复数实例,找其共轭复数、几何意义,验证共轭复数的性质】
【意义学习】
引导学生根据复数的几何意义自主学习复数的模和共轭复数,同时培养学生的概括总结、分析计算能力
师:下面我们再看一道例题,进一步巩固复数的模.
【典型例题】
求复数的模
例3 设,在复平面内对应的点为,那么满足下列条件的点的集合是什么图形
(1);(2).
【学生思考、讨论,教师讲解】
【典例解析】
求复数的模
解:(1)由得,向量的模等于1,所以满足条件的点的集合是以原点为圆心,以1为半径的圆.
(2)不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合,不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集,就是上述不等式组的解集,也就是满足条件的点的集合.容易看出,所求的集合是以原点为圆心,以1及2为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图.
【以学定教】
通过例3的讲解,学生进一步复习巩固了模的概念,又通过直观想象明确复数可以用来描述一些常见的几何图形如:圆形区域和环形区域等,拓展了学生对复数的认识和解题思路
师:通过这节课的学习,你学到了哪些新知识？
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结本节知识点】
【课堂小结】
复数的概念
1.复数的概念
形如的数叫做复数,复数通常用字母表示.全体复数构成的集合叫做复数集,一般用大写字母表示.其中,分别叫做复数的实部与虚部.
2.复数相等的充要条件
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.
如果,那么且.
特别地,.
3.复数的几何意义
复数.
复数.
4.复数的模
向量的模叫做复数的模(或绝对值),记作或.由模的定义可知
.
当时,复数表示实数,此时.
5.共轭复数
当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数.
复数的共轭复数用表示,即如果,那么.
在复平面内,如果用点表示,用点表示,则,点和点关于实轴对称.
【设计意图】
通过梳理本节的知识,形成知识架构,使学生进一步理解,同时强化推测解释能力、在理解的过程中进行分析计算和解决问题,提升逻辑推理、数学运算核心素养
【课后作业】教材P73习题7.1第2~5题
教学评价
两个复数相等的充要条件、复数的几何意义是本节重点内容,也是高考考点,需加强解题能力训练及测评力度,通过本节课培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
【设计意图】
引导学生整理所探究的各个知识点并通过习题培养学生数学抽象、直观想象和数学运算的素养
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知,且,求的值.
解析:根据两个复数相等的充要条件进行分析计算,即可求出的值.因为两个复数的实、虚部分别相等,由复数实、虚部概念列出方程组.
解:即再利用同角三角函数的关系及三角变换,得,即,所以.
2.已知复数,它们在复平面内对应的点分别为,,,若,则的值是___________.
解析:复数与复平面内的点是一一对应的,也与以坐标原点为起点,对应的点为终点的平面向量是一一对应的,故由已知条件得,,根据,得,列出方程组:解得
答案:1
【分析计算能力】通过应用所学知识完成复数概念的相关题型,在解题过程中提升学生分析计算能力
【以学定教】
复数的概念学习内容难度不大,依据学生的学习基础,可适当进行自主学习,学生充分交流讨论,主动地去感知所学内容
教学反思
本案例的特点是紧密结合教材,采用师生探究、归纳,总结的方式,然后进行例题教学,使概念能够很快让学生掌握.教学过程中要多举例子,还可以进一步激发学生的求知欲望,在处理当堂巩固训练的习题时,还可以增加以学习小组为单位,一部分学生写出一些复数,而让另一部分学生进行辨认与分类的练习关于共轭复数的性质可以适当补充,引导学生探究,但要把握“度”,有些性质还是要在学习了复数的四则运算之后再研究为好.
【以学论教】
教师要积极引导,充分发挥学生的主观能动性,教学难点处教师要释疑准确到位.此节课可采用情境教学法、直观教学法等教学方法
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