资源简介

《简单几何体的表面积与体积》教学设计
课时1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 逻辑推理 数学运算 直观想象 【考查内容】 主要是利用柱、锥、台、球的体积公式和表面积公式进行计算.应用较多的是棱锥的体积公式以及球的体积和表面积公式 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.棱柱、棱锥、棱台的体积 逻辑推理 数学运算 直观想象
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 逻辑推理 数学运算 直观想象
4.圆柱、圆锥、圆台的体积 逻辑推理 数学运算 直观想象
5.球的表面积与体积 逻辑推理 数学运算 直观想象
一、本节内容分析
本节从学生熟悉的正方体和长方体的平面展开图入手,分析展开图与其表面积的关系,目的首先是复习表面积的概念,即表面积是各个面的面积的和:其次是介绍求几何体表面积的方法(把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法求表面积).
本节根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积,教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征,在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形,圆锥的侧面可以展开成为扇形,随后圆台表面积也可以按照这样的思路进行教学.柱体和锥体的体积计算,是经常要解决的问题,虽然有关公式学生已有所了解,但进步了解这些公式的推导,有助于学生理解和掌握这些公式,为此,要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系,教学中,可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.对于球则直接给出了球的表面积并且引导学生推导了球的体积公式,并用例题说明其应用.
本节课在教学过程中应使学生了解简单几何体的表面积和体积公式,并能够利用这些公式解决简单的实际问题,同时感受转化、类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法,提高逻辑推理、直观想象等核心素养和空间想象等能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 4.圆柱、圆锥、圆台的体积 5.球的表面积与体积 逻辑推理 数学运算 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
有初中所学的求三角形、圆等几何图形的面积的基础,本节课学起来相对容易一些,教师需要注意在学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后,可以引导学生用运动、变化的观点来分析它们之间的关系,由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台,圆锥可看成上底面半径为零的圆台,因此圆柱、圆锥可以看成圆台的特例,这样,圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下,体积公式也可以做出类似的推理.
初中学习了圆的面积公式后,再来学习球的表面积和体积公式,应该顺理成章,容易接受一些,本节课的重难点知识是球的体积公式的应用不是公式的推导,教师应该把学生的注意力引导到公式的具体应用上来,为后续的课程的学习打下良好的基础.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
4.圆柱、圆锥、圆台的体积
5.球的表面积与体积
【教学目标设计】
1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式.
2.了解圆柱、圆锥、圆台侧面积公式的推导过程.
3.了解柱体、锥体、台体体积公式的联系.
4.会用以上公式解决相应的面积与体积问题.
【教学策略设计】
1.多面体的表面积的计算可放手交给学生自己独立完成,教师做好引导即可.教学的重点是多面体的体积公式及计算,借助计算机辅助软件可直观展示出棱柱与棱锥的体积公式间的关系,然后再通过例题展示体积公式的使用,帮助学生掌握求简单组合体的体积.
2.引导学生回顾圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征,得出圆柱、圆锥的侧面展开图,进行表面积的探究过程.
3.得出柱体、锥体、台体的体积公式后,要引导学生思考这些公式之间的关系,建立它们的联系.
4.教学时除了利用极限思想得出球的体积公式外,还可以利用祖暅原理推导出球的体积公式.
【教学方法建议】
情境教学法、尝试教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积计算方法,能计算简单组合体的表面积和体积.
2.了解球的体积和表面积公式,并能够应用它们解决几何体的计算问题.
难点
1.用联系、类比、运动、变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积公式.
2.推导球的体积公式.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示,本节进一步认识简单几何体的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体所占空间的大小.
【设计意图】
通过引入表面积和体积的定义,承上启下,点明本课题
教学精讲
探究1 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
师:在过去的学习当中,我们已经接触了一些几何体的表面积和体积的计算方法,哪些几何体可以求出表面积和体积.
生:长方体、正方体、圆柱、圆锥等.
师:表面积的定义是什么
【师生活动】教师拿出实物模型,展开平面引导学生交流沟通,归纳出表面积定义生:表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小.
师:在初中我们学习了长方体的表面积,以及它的平面展开图,你知道长方体的平面展开图与其表面积之间的关系吗
【设情境 巧激趣】
通过设问,激发学生的好奇和学习热情,充分调动学生的学习积极性,使学生立刻进入学习和思考状态.
【情境设置】
长方体的平面展开图与其表面积
你知道长方体的平面展开图与其表面积之间的关系吗
生:长方体是由六个矩形围成的多面体,它的表面积就是六个矩形的面积的和.
师:通过对长方体的研究我们可知,要研究几何体的表面积需要研究什么
生:研究几何体的表面积,我们需要研究几何体的平面展开图.
师:通过长方体表面积的探究,你知道几何体表面积的探究方法吗
【师生活动】学生思考、交流,师生共同归纳,教师出示多媒体课件.
【方法策略】
探究几何体表面积的步骤
【概括理解能力】
以教师发问,学生回答共同探讨的手段得出概念,培养学生的理解概括能力,提升学生的直观想象和逻辑推理核心素养
师:棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体,它们的侧面展开图是什么
如何计算它们的表面积
【师生活动】引导学生类比、积极思考、互相交流、自由发言,教师归纳整理得到:
棱柱的侧面展开图是平行四边形,其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.
师:根据上面分别对棱柱、棱锥、棱台的表面积的归纳整理,你能总结出多面体的表面积如何计算吗
生:多面体的表面积等于底面积和侧面积之和,也就是围成多面体的各个面的面积的和.
师:对于一个几何体,不同的展开方式其平面展开图是不同的,但其表面积是唯一确定的.
【教师总结】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积和底面面积之和.
师:我们看下面的一道例题.
【师生活动】教师展示例题,学生阅读分析题目,整理思路并进行解答,教师给予指正,最后教师出示规范答案.
【典型例题】
几何体表面积的计算
例1 例1如图,四面体的各棱长为,求它的表面积.
解析:因为四面体的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表靣积等于其中任何一个面的面积的4位.
解:因为是正三角形,其边长为,所以.因此,四面它的表面积为=4=.
探究2 棱柱、棱锥、棱台的体积
师:体积的定义是什么
【师生活动】同学积极发言.
生:体积是几何体所占空间的大小.
师:同学们思考一个问题,当改变摆放书的形式时,这摞书的总体积是否改变 由此能得到有关体积的什么结论
【情景设置】
书的摆放形式对总体积的影响
改变摆放书的形式时,这摞书的总体积是否改变
生:书的高度没变,纸张没变,所以总体积也没变.
师:我国古代对几何体的研究取得了很大的成就,并建立了完善的理论体系,就是祖晅原理.
【师生活动】师生相互交流引出祖晅原理,教师出示多媒体课件.
【观察记忆能力】
以教师发问,学生观察图形,思考回答问题,并得出结论,培养学生的观察记忆能力
【情境学习】
此处引出祖晅原理,为后面应用祖晅原理由长方体体积公式来推导棱柱体积公式作准备,增加学生的学习理解能力
【要点知识】
祖暅原理
祖暅原理:幂势既同,则积不容异.
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
师:我们以前学过长方体的体积,知道长方体的体积等于底面积乘高,那么我们是如何求得棱柱的体积呢
【师生活动】教师引导学生利用祖暅原理推导棱柱的体积公式,学生思考后回答问题,教师总结.
师:根据祖暅原理,夹在两平行平面间的棱柱和长方体,只要底面积相等,就能得到棱柱的体积等于长方体的体积,也等于底面积乘高,即.
师:我们推导出了棱柱的体积公式,那么棱锥的体积公式该如何得到
【师生活动】师生互动,教师引导学生完成棱锥体积的探究和推导,教师出示多媒体课件.
【深度学习】
通过祖暅原理引导学生深度探究棱柱体积的推导公式,提升逻辑推理核心素养
【归纳总结】
三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系
结果:①棱锥1和2底面积相等,高(点到平面的距离)也相等,所以棱锥1和2的体积相等;
②棱锥2和3底面积相等,高(点到平面的距离)也相等,所以棱锥2和3的体积相等;
③推导出棱锥的体积等于同底等高的棱柱的体积的,即.
师:上面我们推导出了棱柱和棱锥的体积公式,棱台的体积公式该如何推导呢
【师生活动】师生互动,教师引导学生完成棱台体积的探究和推导.
结果:①棱台可以看成从大棱锥中截去一个小棱锥所得到,所以棱台的体积可以通过计算棱锥的体积之差得到;
②推导出棱台体积公式
分别为上、下底面面积,h为高).
【推测解释能力】
通过在等底等高的条件下推导三棱锥的体积公式,培养推测解释能力
【归纳总结】
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
师:请同学们观察一下棱柱、棱锥、棱台的体积公式,它们之间有什么关系
【师生活动】师生合作探究,教师归纳.
【归纳总结】
棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系
【师生活动】教师投影例题,学生阅读分析题目,整理思路,回答问题,教师板书,最后出示规范解题多媒体.
【猜想探究能力】
通过师生合作,探究棱柱、棱锥、棱台体积公式的关系.培养探索意识,加深对棱柱、棱锥、棱台体积公式之间关系的理解
【典型例题】
几何体体积的计算
例2 如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米 (精确到0.01m3)
分析:漏斗由两个多面体组成,其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知，
所以这个漏斗的容积为.
【分析计算能力】
通过例题,学生应用几何的体积公式解决问题,提升分析计算能力
师:本节课你学到了什么
【课堂小结】
棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
计算它们的表面积就是计算它们各个侧面面积和底面面积之和,求它们的侧面面积关键是要弄清楚侧面展开图的形状及各几何量的大小.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
(1)(为底面积,为高);
(2)为底面积,为高;
(3)分别为上、下底面面积,为高).
3.求体积的常用方法
(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算;
(2)等积法:转化几何体的底面和高,使得计算简单;
(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.
【设计意图】
通过学习,学生掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,并会实际应用,培养了观察记忆、概括理解、推测解释、分析计算、猜想探究能力,提升直观想象、数学运算核心素养
【课后作业】教材P119~120习题8.3第1~3题,第6~7题(选做)
教学评价
通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的推导过程,学生体验到侧面展开,化曲面为平面的解题方法:通过柱体、锥体、台体体积公式的探究,学生体会到几何体体积的联系;通过球的表面积公式和体积公式的推导过程,提高分析问题和解决问题的能力应用所学知识,完成下面各题.
应用所学知识,完成下题:
1.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:先作出该正三棱柱的直观图,得到该直观图是底面等边三角形的高为,高为2的正三棱柱,由此可计算出底面边长为4,然后计算出正三棱柱各个面的面积再相加,得.
答案:C
【分析计算能力】
通过分析正三棱柱的视图,计算正三棱柱的表面积,提升学生的分析计算能力和直观想象核心素养
2.正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:画出球的轴截面,设正方体的棱长为,则其对角线为,所以球的半径为.由球的体积公式可得,解得.
答案:D
【观察记忆能力】
通过已知正方体的外接球的体积,求解正方体的棱长,需要正确绘制并观察球截面的特点,进行计算培养了学生的观察记忆、分析计算的能力,提升了直观想象、数学运算核心素养
3.两个平行于圆锥底面的平面将圆雉的高分成相等的三段,那么圆锥被分成三部分的体积的比是( )
A.1:2:3
B.1:7:19
C.3:4:5
D.
解析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为,于是自上而下三个圆雉的体积之比为,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为
答案:B
【概括理解能力】
通过练习使学生掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,培养了学生的概括理解、分析计算的能力,提升了直观想象、数学运算核心素养
【以学定教】
根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的体积、表面积计算公式,依据生活实例和模型,采取情境教学法、尝试教学法等,让学生逐步掌握简单几何体的表面积与体积
教学反思
本节案例紧扣教材内容,在教学过程中通过多面体表面积计算的探讨,让学生体验到面积累加的思想方法:通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的推导过程,让学生体验到侧面展开,化曲面为平面的解题方法:通过柱体、锥体、台体体积公式的探究,使学生体会到几何体体积的联系:在利用球的表面积公式推导体积公式过程中,充分调动学生的积极性,提高学生分析问题和解决问题的能力.同时感受转化、类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法,提高数学运算、直观想象等核心素养.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果充分调动学生的积极性,感受转化类比等数学思想方法,提升数学能力和核心素养
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