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3.3.1 抛物线及其标准方程
本节内容包含的核心思想方法是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图像为什么是抛物线的研究用到了划归与转化思想；等等.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：抛物线的概念和标准方程的建立.
教学目标：
（1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.
（2）能类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
教学重点：抛物线的定义及其标准方程.
教学难点：抛物线标准方程的推导过程
教学过程：
引导语：通过椭圆和双曲线的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为，当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线.当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题.
（一）抛物线概念的形成
问题1：动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离相等时，同学们猜想下动点的轨迹是什么形状？
探究：利用几何画板作图，是定点，是不经过点的定直线.是直线上任意一点，过点作线段的垂直平分线交于点拖动点点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
师生活动：拖动点，点也随之运动，始终有，即点到定点的距离等于它到定直线 的距离，可以发现，点的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，猜想它是抛物线.
思考：当直线经过点时，线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系？
当直线经过点时，动点到定点的距离就是动点到定直线的距离，所以，此时动点的轨迹是过点且与直线垂直的直线.所以要求直线不经过定点.
定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.
设计意图：通过对问题1的探究，引导学生利用已知条件和图形认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象核心素养.
（二）建立抛物线的标准方程
问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？
建系，设点，列式，化简，检验
思考1：回顾一下，推导椭圆和双曲线的标准方程时是如何建系的？
是以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴，使焦点落在坐标轴上，并且焦点的坐标关于原点对称.
思考2：观察抛物线的几何特征，如何建立抛物线的平面直角坐标系？
抛物线只有一条对称轴，并且焦点在对称轴上，所以我们以对称轴所在直线为轴.
轴如何建立？
师生活动：根据抛物线的定义，与抛物线有关的重要几何元素有三个：抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线。所以可以考虑三种情况：
第一种，以抛物线的焦点为原点建立坐标系，如下左图所示；
第二种，过抛物线的焦点向准线作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为轴建立坐标系，如下中图所示；
第三种，以抛物线的准线为轴建立坐标系，如下右图所示.
为了使抛物线的方程形式简单，选择第二种建立坐标系的方法.另两种同学们可以进行尝试，然后比较一下哪个方程形式更简单？
思考3：如何求抛物线的方程？
如图，设焦点到准线的距离，那么焦点的坐标为，准线 的方程为.
根据定义中的动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，把这句话用数学语言进行翻译:
设是抛物线上任意一点，根据两点间距离公式可得
设动点到定直线的距离为，由图可得.
所以.
将这个式子两边平方去根号，得.
展开上式中的平方式，得
整理，得.
从上面的推导过程可以知道，抛物线上任意一点的坐标都是方程的解，反之，以方程的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上. 我们把这个方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线.
设计意图：通过问题2的思考，为学生展示抛物线标准方程的推导过程，提升学生的数学运算核心素养.
问题3：椭圆、双曲线都有焦点分别在x轴、y轴上的情形，所以椭圆及双曲线都有两种形式的标准方程，那么抛物线是否也有其他形式的标准方程？
师生活动：类比开口向右的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程，填写开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
抛物线四种标准方程的等号左边都是系数为1的二次项，右边是一次项. 开口向左、向右的抛物线，一次项是，的系数为正时，焦点在轴正半轴，开口向右；的系数为负时，焦点在轴负半轴，开口向左.抛物线开口向上、向下的情况，同样符合这个规律，可以总结为：一次项定轴，系数正负定方向.
注意到，四种抛物线焦点坐标和准线方程都与的值有关，它是焦点与准线的距离,准线与对称轴垂直相交的垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都是标准方程一次项系数绝对值的.
设计意图：类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，结合开口向右的抛物线的标准方程，获得开口向左、向上和向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
问题4：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
师生活动：将二次函数的解析式变形成抛物线的标准方程的形式，从而说明二次函数的图象是抛物线，并利用标准方程求出焦点坐标和准线方程..
设计意图：利用高中所学的抛物线的标准方程说明初中所学的二次函数的图象的确是抛物线，严谨、科学，建立了初高中知识的联系.
（三）应用知识解决问题
例（1）已知抛物线的标准方程是求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是求它的标准方程．
分析：抛物线的焦点坐标和准线方程由什么决定？
先确定焦点的位置，再由p的值来定量.归纳为：先定位，再定量.
解：（1）因为，抛物线焦点在轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
（2）因为焦点在轴的负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是.
小结：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，的值都非常关键，它是抛物线的唯一特征量.
设计意图：通过本例题，向学生展示抛物线中最关键的三个要素：标准方程、焦点坐标和准线方程的求法。体会：由标准方程可以确定焦点坐标和准线方程；反之，由焦点坐标或准线方程也可以确定抛物线的标准方程.
例2 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1）.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和交点坐标.
设计意图：让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.
（四）本课小结
（1）抛物线的几何特征是什么？
抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离.
如何求抛物线的标准方程？
建系，设点，列式，化简，检验.
（3）抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
不同的开口方向，对应四种不同的抛物线方程、交点坐标和准线方程.
（五）课后作业
1 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是 （2）准线方程是 （3）焦点到准线的距离是
2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） ； （2）.

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