资源简介

《排列与组合》教学设计
课时1排列与排列数公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
排列与排列数公式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 排列问题、组合问题及排列与组合的综合应用 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
排列的综合应用 数学建模 数学运算
组合与组合数公式 数学抽象 逻辑推理
组合的综合应用 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
排列与组合是组合学最基本的概念,其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列,需要将它们排序;组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组,而不考虑将它们排序.
本节是在计数原理的基础上,将实际问题中抽取的对象抽象为元素,引入排列与组合的概念,然后用字母表示排列数和组合数,并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中,体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象,将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型,以及通过排列数与组合数公式便捷地求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题,是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题;在下一节中,二项式系数就是组合数;在后续学习中还可看到它们与概率紧密不可分.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.排列与排列数公式 2.排列的综合应用 3.组合与组合数公式 4.组合的综合应用 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
从学生的现有知识水平看,学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考.从能力的角度看,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,对数学中归纳、化归、由特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱.教学中要借助学生已有的能力,提供实际问题情境,引导学生进行分析,向学生提供合适的探究材料,引发学生主动探究的兴趣,借助小组讨论、合作交流,全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.排列与排列数公式
2.排列的综合应用
3.组合与组合数公式
4.组合的综合应用
【教学目标设计】
1.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到排列的定义,并能利用定义判断排列问题.
2.能将所求排列数的结果归纳为一般形式,从而得出排列数公式,并能利用公式求具体问题的排列数.
3.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到组合的定义,并能利用定义判断组合问题,知道组合问题与排列问题的区别与联系.
4.能由组合数与排列数的关系得到所求组合数,再将具体结果归纳为一般形式,从而得到组合数公式,并能利用公式求具体问题的组合数.
【教学策略设计】
1.将数学文化和数学知识、实际生活有机地融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥.
2.以问题为载体,以学生为主体,创设有效问题情境,努力营造开放、民主、和谐的学习氛围,充分调动学生的兴趣与积极性.
3.让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中,体验从生活中发现数学的奇妙.
4.通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动,在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程.
5.注重渗透“特殊与一般”“分类讨论”“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法,让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质,真正做到“授之以鱼不如授之以渔”.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.排列和排列数公式.
2.组合和组合数公式.
难点 1.推导组合数公式.
2.排列与组合的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
随着社会的发展,先进技术的不断创新,各种问题的解决方法呈现多样化、高标准、严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成.排列与组合这一节就给出了便捷的方法来解决简单的计数问题,而排列与组合的基础就是基本计数原理,用好基本计数原理是解决排列与组合问题的关键.
【设计意图】
通过分析实际生活中的一些实例,引出简单的计数问题,进而引入课题.
教学精讲
师:在上节例6的解答中我们看到,用分步乘法计数原理解决问题时,因为做了一些重复性工作而显得繁琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢 为此,先来分析三个具体问题.
问题1:从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的重庆市和四川省上色,有多少种不同的着色方案
师:问题1中要完成的“一件事情”是什么 能否利用与计数原理计算不同的选择方法
生:用三种颜色中的两种给两个区域上色;列举出各种不同的选法.
师:如果把问题1中背景去掉,把被选出的颜色作为元素,那么还可以怎样叙述问题1
生:用元素列出各种不同的排法,并求出不同的排列方法种数.
问题2:从1,2,3,4这四个数字中,每次取出3个不同的数字排成一个三位数,一共可以得到多少个不同的三位数
师:能否利用与计数原理计算不同的选择方法
生:利用树状图列出所有不同的三位数.
师:如果把问题2中背景去掉,把被取出的数字作为元素,那么还可以怎样归纳问题2
生:用元素列出问题2中各种不同的排法,并求出不同的排列方法种数.
问题3:6名同学站成一排照相,有多少种不同的排法
师:能否利用与计数原理计算不同的站队方法
生:利用列举法列出不同的排法.
师:如果把问题3中背景去掉,把被选出的同学作为元素,那么还可以怎样叙述问题3
生:用元素列出问题3中各种不同的排法,并求出不同的排列方法种数.
师:这3个问题有哪些共同特征
生:都是从若干个不同元素选出元素,选出的对象都要按一定的顺序排成一列,顺序不同,方案不同.
师:在3个问题中,我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加,这样的方法就越来越繁琐了.是否有计算排列个数的公式,从而能便捷地求出排列的个数
【学生分组计算,积极讨论,总结规律,教师指定学生回答并予以鼓励与肯定,总结归纳】
【设情境 巧激趣】
从生活中三个简单常见的计数问题出发,激发学生探究的兴趣.
【情境学习】
通过分步乘法计数原理的具体问题,既检测与本节课内容有关的计数原理的掌握情况,又引出排列问题,为抽象得到排列的概念作准备.
【要点知识】
排列与排列数的概念
从个不同元素中取出个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列,把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素,用符号表示.
师:这三个问题有无不同点
生:问题1,2的元素为部分元素排列,问题3是全部元素排列.
师:你是如何给这些排列下定义的
【学生小组讨论,自主探究,教师指定学生回答得出选排列、全排列的定义】
【以学定教】
引导学生得出排列及排列数问题,培养学生的归纳能力.
【要点知识】
选排列和全排列
选排列:从个不同元素中取出个元素的一个排列.
全排列:把个不同元素全部取出的一个排列叫做个元素的一个全排列,这时排列数公式中即有也就是说将个不同的元素全部取出的排列数等于正整数到的连乘积.
师:对于排列定义的再理解,需要注意哪些关键词
【学生小组讨论,自主探究,教师指定学生回答】
生:关键词有:(1)个不同的元素;(2)取出个元素;(3)一定的顺序.
【活动学习】
学生分组学习,分组讨论,在交流讨论中,加深了对知识的理解,完善了自己的解题思路,可以更充分地学习、掌握知识.
师:回答正确.下面我们看一道例题.
【典型例题】
排列与排列数的应用
例1 判定下面问题哪些是排列问题,如果是,排列数是多少
(1)从四个男生中,任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛;
(2)从四位男同学中,任选两位同学分别参加上、下午的活动;
(3)从这9个数字中,任选4个不同的数字作为手机的密码;
(4)从8名同学中选4人参加米接力赛;
(5)圆上10个不同点,过每2个点,画一条弦;
(6)圆上10个不同点,以其中每2个点作有向线段;
(7)这5个质数任选两个相乘;
(8)这5个质数任选两个相除;
(9)一个学生有20本不同的书,这些书以不同的方式排在一个单层的书架上;
(10)53位同学随机选8位派往8个不同的地方参加活动,每个地方派一人.
【学生阅读题目,积极思考,计算演算,合作交流,教师指定学生回答,学生争论辨析判定】
【以学论教】
通过列出具体问题是不是排列,帮助学生进一步理解排列的概念.
师:下面再看一道例题.
【典型例题】
排列的简单应用
例2 某省中学足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛
师:每组任意2支队之间进行了1场比赛,可以看作是从该组6支最终选取2支,按“主队、客队”的顺序排成一个数列.
【学生结合所学知识多角度对问题进行思考,对比分步乘法计数原理的解题方法,突显排列优化步骤的特点,并进一步跟进对引例步骤的优化】
生解:可以先从这6支队中选1支为主队,然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理,每组进行的比赛场数为.
师:结合前面的问题,这些排列数有哪些共同特征
【学生找出规律的同时,指出书写繁琐的共同点,类比小学引入乘号简化加法运算】
【教师自然引入数学符号,对比运算符号的简洁,从而体现了数学符号的简洁之美】
【情景设置】
探究排列数公式
表示什么 等于多少
【学生小组讨论,探究结果】
生:,
.
师:更为一般的表示什么 等于多少
【学生独立思考,分析解决问题,教师展示】
【猜想探究能力】通过情境设置,学生小组从特殊到一般讨论排列数公式的连乘形式,提升了学生的猜想探究能力.
【要点知识】
排列数公式1
,且.
(1)从开始依次递减连续个正整数的积;
(2)都是正整数且;
(3)符号既表示一个结果,又表示一种运算.
师:这样,一个问题若是排列问题,就可用上式求出具体的排列数.
【简化运算过程,说明特殊情况:】
师:简单记为,读作的阶乘.
师:我们继续解决下面例题.
【典型例题】
排列数公式的应用
例3 计算:(1);(2);(3);(4).
师:根据排列数公式,且.
【学生独立思考并完成】
生解:根据排列数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4).
师:同学们,在计算的过程中有何数学发现
生:.
【教师总结,多媒体展示】
【要点知识】
排列数公式2
事实上,
因此有.
【自主学习】
通过教师引导,学生独立应用排列数公式1解决例3,并由此推导出排列数公式2,提升了学生的自学能力.
师:学习了排列数的两个公式,那么我们看下面这道例题.
【典型例题】
排列数公式的应用
例4 (1)有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法
(2)用这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数
【教师引导学生思考,共同完成例4,并引导学生思考什么样的题型适合用第一个公式,什么样的题型适合用第二个公式】
生解:(1)(种).
(2)解法1 如图所示,由于三位数的百位上的数字不能是0,所以可以分两步完成:第1步,确定百位上的数字,可以从这9个数字中取出1个,有种取法;第2步,确定十位和个位上的数字,可以从剩下的9个数字中取出2个,有种取法.根据分步乘法计数原理,所求的三位数的个数为.
解法2 如图所示,符合条件的三位数可以分成三类:第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从这9个数字中取出3个,有种取法;第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有种取法;第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有种取法.
根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为.
解法3 从这10个数字中选取3个的排列数为,其中0在百位上的排列数为,它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数,即所求三位数的个数为.
【学生分组计算,讨论,教师指导,并总结展示】
【先学后教】
学生先独立思考完成,再小组讨论,教师总结整理,达到先学后教,更能使学生对知识理解深刻.
【简单问题解决能力】通过解决“选书”和“组数”的问题,学生合理选用排列数的公式解题,提升简单问题解决能力.
【分析计算能力】
从3种解题方法中探究“组数”的问题,提示学生在解决排列问题中有不止一种解题方法,寻找最简便的方法,使数学问题得以简捷解决,提升学生分析计算能力.
【归纳总结】
排列数公式的形式及选择方法
若要计算含有数字的排列数的值,常用连乘积的形式进行计算,而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般用阶乘形式.
对于例4这类计数问题,从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是0的要求,按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事;解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准,按分类加法计数原理完成这件事;解法3是一种间接法,先求出从10个数中取出3个数的排列数,然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数),就得到没有重复数字的三位数的个数.
师:下面我们进行巩固练习
【巩固练习】
排列与排列数公式的应用
1.从10个不同元素选其中2个元素,有多少种不同的选法
名同学站成一排照相,甲乙两名同学要相邻,有多少种不同的排法
3.计算:(1);(2).
4.从4种不同的蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,有多少种不同的种植方法
【整体学习】
教师布置习题启发学生思考,从而巩固所学知识,培养学生对本节学习内容的整体认识和把握,学生自主锻炼自己的学科能力,从而达到提升数学抽象、数学运算的核心素养要求.
师:好的,下面请同学们具体回忆一下本节课的重点概念和公式.
【课堂小结】
排列与排列数公式
1.概念:(1)排列的概念
(2)排列数的概念
2.公式:(1),且
(2)
3.思想和方法:(1)分类讨论思想;(2)等价转化思想;(3)数形转化思想.
【设计意图】
课堂小结,教师引导学生自主总结当堂课重点内容,培养学生对学习内容自主整理复习的意识和习惯.
教学评价
学完本节课,我们应该理解排列与组合的概念,能判断一个具体的计数问题是否是排列问题或者组合问题.掌握排列数公式与组合数公式,并能解决简单的计数问题.本节的数学思想方法主要包括分类讨论思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
应用所学知识,完成下面各题.
1.从1~9的九个数字中取3个偶数,4个奇数,问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个
思路:组数问题是一类典型的排列组合问题,往往涉及排列特殊数,如奇数,被5整除的数等.需要注意以下几个问题:
(1)最高位数字不为0;
(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;
(3)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;
(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.
解析:(1)分步完成:
第一步:在4个偶数中取3个,可有种情况;
第二步:在5个奇数中取4个,可有种情况;
第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况.
故符合题意的七位数共有(个).
(2)上述七位数中,将3个偶数排在一起有种情况;
故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有(个).
2.有4张分别标有数字的红色卡片和4张分别标有数字的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种
思路:解答排列、组合综合问题的思路及注意点:
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
解析:取出4张卡片数字之和为10的共有1,2,3,4;1,1,4,4;2,2,3,3三类,按照先选再排的方法求解.分三类:
第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有种;
第二类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种;
第三类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种.
故满足题意的所有不同的排法种数为(种).
【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会排列与组合知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生用相应的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
【简单问题解决能力】
通过教学评价,考查学生本节课对排列组合综合问题解决的掌握情况,在解题过程中提升了学生的简单问题解决能力.
教学反思
本节课内容较多,分为4课时,依次重点学习的内容是:排列与排列数公式、排列的综合应用、组合与组合数公式、组合的综合应用.在本节课的总体教学设计中,教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,采用多种方式:如和前边学过的排列的相关知识进行类比,从特殊到一般抽象出组合的概念;运用多媒体课件,利用生活中的具体实例帮助学生理解排列与组合的含义、排列数公式与组合数公式的推导;利用生活中的实例,突出排列与组合问题在统计中的重要位置,落实了数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力、猜想探究能力以及综合问题解决能力.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,学习组合时类比排列,培养了学生的自主学习能力.
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