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2023高考备考专题-圆锥曲线二级结论应用（解析版）
圆锥曲线二级结论应用（压轴题目）
总概括 高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但做到迅速、准确地解题，还要掌握一些方法与技巧，圆锥曲线中的一些二级结论为我们提供了方法与技巧，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
焦点三角形 1在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan ，其中θ＝∠F1PF2. 2.在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2. 例.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则等于？ 解析　由＝＝＝.
切线问题 1.过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2. 2.过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1. 3.已知点M(x0，y0)，抛物线C：y2＝2px(p≠0)和直线l：y0y＝p(x＋x0). ①当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线. ②当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线，即直线l为切点弦所在的直线.
周角定理 已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点， 则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，且满足kPA·kPB＝，则双曲线C的离心率为？ 由双曲线的周角定理可得kPA·kPB＝＝， 即＝，则e＝＝.
垂径定理 已知直线l与椭圆＋＝1相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOM·kAB＝－. 同样地，双曲线－＝1(a>0，b>0)中有kOM·kAB＝. 椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，
焦点弦与焦半径 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 (1).过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 ； 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；② 结论：椭圆过焦点弦长公式： 在抛物线中：|AB|＝＝ 焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点， 则＋＝， 同理，双曲线中，＋＝.
抛物线相关 设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2.②＋＝. ③|AB|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)． ④以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． (3)抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过(2p,0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也成立．
真题整理
1．（2021·全国（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．A
【分析】
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【解析】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
2．（2020·北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
2．B
【分析】
依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【解析】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
3．（2020·全国（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
3．B
【分析】
由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【解析】
由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
4．（2020·全国（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．A
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【解析】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
5．（2020·全国（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．B
【分析】
根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【解析】
因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
6．（2020·全国（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．B
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【解析】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
7．（2020·全国（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．B
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
8．（2018·全国（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
8．D
【解析】
分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.
解析：在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选D.
9．（2018·全国（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
9．D
【解析】
分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
解析：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
小结：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
10．（2018·全国（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
10．2
【分析】
利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【解析】
解析：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
11．（2021·全国（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
11．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】
（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【解析】
（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
12．（2020·海南）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
12．（1）；（2）18.
【分析】
(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【解析】
(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
挑战练习
1．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，设，由题设可得，，所以.因为，所以，则，所以,故选C.
2．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线方程是
C．直线的方程是 D．的面积是
【答案】AD
【解析】设，，根据抛物线的定义可知，又的中点到轴的距离为6，∴，
∴，∴．
∴所求抛物线的方程为．故A项正确；
抛物线的准线方程是，故B项错误；
设直线的方程是，联立，消去得，则，所以，解得，
故直线的方程是或．故C项错误；
．
故D项正确．故选AD．
3.　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，椭圆C的离心率为e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1解　(1)由题意知，b＝1，＝，
故＝，解得a2＝4.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)方法一　连接OA，OB，如图所示．
设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1所以R＝，即m2＝R2(1＋k2)，①
因为l与椭圆C：＋y2＝1相切于点B，
由得x2＋4(kx＋m)2＝4，
即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0有两个相等的实数解，
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＝0，
即4k2－m2＋1＝0，②
由①②可得
设B(x1，y1)，由求根公式得x1＝－＝－＝－，
所以y1＝kx1＋m＝k＋m＝＝，
所以|OB|2＝x＋y＝＝5－，
所以在Rt△OAB中，
|AB|2＝|OB|2－|OA|2＝5－－R2＝5－，
因为＋R2≥4，当且仅当R＝∈(1,2)时取等号，
所以|AB|2≤5－4＝1，
即当R＝∈(1,2)时，|AB|取得最大值，最大值为1.
方法二　设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝1，即x0x＋4y0y－4＝0，
又R2＝|OA|2＝，R为圆半径，R∈(1,2)，
|AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－，
又＋y＝1，所以x＝4－4y，
所以|AB|2＝4－3y－＝5－(3y＋1)－≤5－2＝1，
当且仅当3y＋1＝，即y＝，x＝时，等号成立，
所以|AB|max＝1，此时R2＝＝2，
即R＝∈(1,2)，
故当R＝时，|AB|max＝1.
4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为(　　)
A．± B．±2
C．± D．±
答案　B
解析　由抛物线的焦点弦的性质知＋＝＝1，
又|MF|＝2|NF|，
解得|NF|＝，|MF|＝3，∴|MN|＝，
设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，
又|MN|＝，∴＝，
∴sin2θ＝，∴cos2θ＝，
∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±2，故k＝±2.
5．已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积的最小值为________．
答案　16
解析　如图，∵OA⊥OB，
∴直线AB过定点(2p，0)，
即点C坐标为(4,0)，
设直线AB：x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立 y2－4ty－16＝0，Δ＝16t2＋64>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
∴S△AOB＝|OC||y1－y2|＝2|y1－y2|＝2，
∴当t＝0时，Smin＝16.
6. 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
解析　设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan 45°＝，即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝＝＝.
答案　D
7．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设椭圆方程为＋＝1(a1>b1>0)，
双曲线方程为－＝1(a2>0，b2>0)，
焦距为2c(c>0)，
根据焦点三角形的面积公式可得
btan ＝，
即b＝3b，
又∴a－c2＝3(c2－a)，
∴a＋3a＝4c2，
∴＋＝4，
即＋＝4，
∵4≥2，
得e1e2≥，当且仅当＝，即e2＝e1时取“＝”，
综上，e1e2的最小值为.
8.已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
解　联立方程得消去y，整理得x2－4x＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l与抛物线C相离.
由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2(y＋y0)，即y＝x0x－y0.
9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A.4 B. C.5 D.6
解析　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，
∴sin2θ＝.
又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
答案　B
10.　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，椭圆C的离心率为e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1解　(1)由题意知，b＝1，＝，
故＝，解得a2＝4.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)方法一　连接OA，OB，如图所示．
设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1所以R＝，即m2＝R2(1＋k2)，①
因为l与椭圆C：＋y2＝1相切于点B，
由得x2＋4(kx＋m)2＝4，
即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0有两个相等的实数解，
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＝0，
即4k2－m2＋1＝0，②
由①②可得
设B(x1，y1)，由求根公式得x1＝－＝－＝－，
所以y1＝kx1＋m＝k＋m＝＝，
所以|OB|2＝x＋y＝＝5－，
所以在Rt△OAB中，
|AB|2＝|OB|2－|OA|2＝5－－R2＝5－，
因为＋R2≥4，当且仅当R＝∈(1,2)时取等号，
所以|AB|2≤5－4＝1，
即当R＝∈(1,2)时，|AB|取得最大值，最大值为1.
方法二　设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝1，即x0x＋4y0y－4＝0，
又R2＝|OA|2＝，R为圆半径，R∈(1,2)，
|AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－，
又＋y＝1，所以x＝4－4y，
所以|AB|2＝4－3y－＝5－(3y＋1)－≤5－2＝1，
当且仅当3y＋1＝，即y＝，x＝时，等号成立，
所以|AB|max＝1，此时R2＝＝2，
即R＝∈(1,2)，
故当R＝时，|AB|max＝1.
11．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设椭圆方程为＋＝1(a1>b1>0)，
双曲线方程为－＝1(a2>0，b2>0)，
焦距为2c(c>0)，
根据焦点三角形的面积公式可得
btan ＝，
即b＝3b，
又∴a－c2＝3(c2－a)，
∴a＋3a＝4c2，
∴＋＝4，
即＋＝4，
∵4≥2，
得e1e2≥，当且仅当＝，即e2＝e1时取“＝”，
综上，e1e2的最小值为.2023高考备考专题-圆锥曲线二级结论应用（解析版）
圆锥曲线二级结论应用（中档难度）
总概括 高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但做到迅速、准确地解题，还要掌握一些方法与技巧，圆锥曲线中的一些二级结论为我们提供了方法与技巧，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
焦点三角形 1在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan ，其中θ＝∠F1PF2. 2.在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2. 例.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则等于？ 解析　由＝＝＝.
切线问题 1.过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2. 2.过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1. 3.已知点M(x0，y0)，抛物线C：y2＝2px(p≠0)和直线l：y0y＝p(x＋x0). ①当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线. ②当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线，即直线l为切点弦所在的直线.
周角定理 已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点， 则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，且满足kPA·kPB＝，则双曲线C的离心率为？ 由双曲线的周角定理可得kPA·kPB＝＝， 即＝，则e＝＝.
垂径定理 已知直线l与椭圆＋＝1相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOM·kAB＝－. 同样地，双曲线－＝1(a>0，b>0)中有kOM·kAB＝. 椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，
焦点弦与焦半径 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 (1).过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 ； 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；② 结论：椭圆过焦点弦长公式： 在抛物线中：|AB|＝＝ 焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点， 则＋＝， 同理，双曲线中，＋＝.
抛物线相关 设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2.②＋＝. ③|AB|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)． ④以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． (3)抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过(2p,0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也成立．
真题整理
1．（2021·全国（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
3．（2020·全国（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
4．（2020·全国（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2020·全国（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（2018·全国（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
9．（2018·全国（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
10．（2018·全国（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
11．（2021·全国（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
12．（2020·海南）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
挑战练习
1．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线方程是
C．直线的方程是 D．的面积是
3.　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，椭圆C的离心率为e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(14．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为(　　)
A．± B．±2
C．± D．±
5．已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积的最小值为________．
6. 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
7．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
8.已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A.4 B. C.5 D.6
10.　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，椭圆C的离心率为e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(111．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.

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