资源简介

8.6.3《平面与平面垂直》教案
基本信息 课题 平面与平面垂直
授课人 课时 1课时
教材 人教版高中数学必修第二册（A版）
教材分析 平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、前的位置关系最后一节内容。在空间平面与平面之间的位置关系中。垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点。学好本节课，能提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，并逐渐学会多角度分析，思考问题，增加创新精神。
学情分析 在本节内容之前，学生已经系统的学行相关判定与性质定理，通过类比，能较好的掌握垂直部分的主线，有宏观认识，但通过预习，学生对二面角及其平面角的概念理解不到位，虽然理解面面垂直的判定定理，但在具体问题中，不会熟练运用。
教学目标 1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力。 2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力。 3.引导学生总结求二面角的方法，培养学生归纳问题的能力。
教学重难点 重点：平面与平面垂直的判定 难点：平面与平面垂直的判定和二面角的度量
教法学法 分析 根据新课标的理念，本节课采用启发，探究式教学，以问题引导学生的思想活动，让学生通过动手操作、讨论交流自主构建二面角的概念，并借助多媒体和模型的直观演示，帮助学生进行理解。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
设置问题， 新课导入 复习：两个平面的位置关系：若α∩β= ，则α‖β；若α∩β=AB,则α与β相交 问题一：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题二：在立体几何中，两个平面的位置关系是什么？ 学生回答:一共有两个，想交和平行。相交是如果两个平面有一天公共直线，则这两个平面相交；平行是如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行。 以层层深入的问题为导向，引导学生回忆角的定义、两个平面的位置关系，促使学生思考面面角的表示方法。
创设情境， 探求新知 （1）二面角的概念 教师展示一张长方形卡纸，对折后展开，沿着折痕把其中一个半平面折起，使两个半平面成一个角度。 问题1:折痕把平面分成几个部分？（两部分）我们把它们叫做什么？（半平面） 问题2:从平面一点出发的两条射线组成的图形是角，那么这个图形是什么？(角) 教师巡视，注意观察学生对哪些知识理解透彻、存在哪些问题，以便在后面的授课中对易错、易混点着重讲解。 （2）二面角的度量 问题1:回忆“异面直线所成的角”，“直线与平面所成的角”的定义，这两种空间角的大小都是用什么来度量的？ 问题2:我们平常说的“把门开大一些”，指的就是二面角大一些，二面角也是一种空间角，也应该可以用一个平面角来度量它的大小，怎么找到这个平面角呢？ （3）定义面面垂直 教师给出面面垂直的图形表示，同时指出定义是判定面面垂直的方法之一 图形语言： 面面垂直的定义：一般的，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 （4）探究判定定理 实例：在建筑工地上，工人师傅在砌墙的时候，往往吊一个铅锤，然后抢紧贴着铅锤来砌，砌完以后这个墙和地面是保证垂直的。 教师提问：这个实例给我们什么启示呢？ 教师活动：教师巡视，对于分工明确、团结一致的小组予以表扬。针对不懂得如何合作探究的小组给予及时的指导。 平面平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号语言：AB丄α，AB β，则α⊥β 学生按照老师的步骤折纸片并阅读课本，类比角的概念写成二面角的相关概念，包括图形、定义、构成、表示。 角 定义:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形 构成:射线-点-射线 表示:∠AOB 二面角 定义:从空间内一直线出发的两个半平面所组成的图形 构成:半平面-棱-半平面 表示:二面角α-l-β 学生带着问题阅读课本，回答问题1(角），观察前面所折卡纸，然后慢慢打开、闭合纸片，和其他学生共同探讨研究，回答问题2（在棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一条射线，射线只有垂直于棱画出的角才唯一） 由学生来完善面面垂直的文字定义。 学生自主分组，拿出模拟的墙面与铅锤线动手实验，自己动手总结面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 通过实践操作能够帮助学生更形象直观的理解二面角的定义，再通过与平面角的对比，进一步加深学生对二面角的认知，能够培养学生的类推理能力和自学能力。 引导学生根据已有的两种空间角的度量经验，联系到用“平面角”来度量“二面角”。 二面角定理反映了两个平面相交的位置关系，但是如何度量二面角的大小是本节课的教学难点，“打开的门”是一个非常好的生活实例，有利于加深学生对二面角概念的直观感受。 通过分析生活实例，类比归纳面面垂直判定判定的过程，帮助学生直观感知、操作确认的方式概括出面面垂直判定定理，在这个过程中，体验知识来源于生活，并能服务于生活，体会到数学是有用的，树立学好数学的信心。
应用举例， 深化认识 例一：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同与A、B的任意一点，求证：平面PAC丄平面PBC 分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直。在本题中，由题可知BC丄AC，BC丄PA，PA∩AC=A，从而BC丄平面PAC，进而平面PAC丄平面PBC 例二：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD丄平面ACC'A' 分析：要证明平面A'BD丄平面ACC'A'，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可，这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线， 证明：∵PA丄平面ABC，BC 平面ABC ∴PA丄BC ∵C是圆周上不同与A、B的任意一点，AB是圆O的直径 ∴BC丄AC 又PA∩AC=A，PA 平面PAC，AC 平面PAC ∴BC丄平面PAC 又BC 平面PBC ∴平面PAC丄平面PBC 证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体 ∴AA'丄平面ABCD ∵AA'丄BD 又BD丄AC ∴BD丄平面ACC'A' ∴平面A'BD丄平面ACC'A'
归纳总结， 巩固升华 1.知识方面：二面角、二面角的平面角、面面垂直的定义、面面垂直的判定定理。 2.思想方面：类比、转化的数学思想。 3.空间中的垂直关系:线线垂直到线面垂直到面面垂直 4.布置作业：(1）课后习题：课本P158页习题3、4 （2）课后思考题：在表示二面角的平面角时，为什么要求“OA丄l”，“OB丄l”？为什么角AOB的大小与点O在l的位置无关？ 因为学生已经学习了完整的空间平行关系之间的转化，而且面面垂直也是最后一种空间垂直关系。所以在带领学生从知识，思想两个方面对本节评进行归纳后，给出到空间垂垂关系的关系图，希望学生根据已有的经验对下一节要学习的内容作出判断。 作业的设计满足了不同层次学生不同的学数学需求，其中习题进一步巩固了本节课的知识，帮助学生体会空间垂直关系的相互转化，思考题供学有余力的学生做，旨在为他们提供更为广阔的探求空间。
板书设计 8.6.3平面与平面垂直的判定 复习：两个平面的位置关系： 若α∩β= ，则α‖β； 若α∩β=AB,则α与β相交 角 二面角 定义:从平面内一点出发的 定义:从空间内一直线出发 两条射线所组成的图形 的两个半平面所组成的图形 构成:射线-点-射线 构成:半平面-棱-半平面 表示:∠AOB 表示:二面角α-l-β 注意：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA丄l”，“OB丄l” （2）∠AOB的大小与点O在l的位置无关 （3）平面角是直角的二面角叫直二面角 平面平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。 符号语言：AB丄α，AB β，则α⊥β 例一：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同与A、B的任意一点，求证：平面PAC丄平面PBC 证明：∵PA丄平面ABC，BC 平面ABC ∴PA丄BC ∵C是圆周上不同与A、B的任意一点，AB是圆O的直径 ∴BC丄AC 又PA∩AC=A，PA 平面PAC，AC 平面PAC ∴BC丄平面PAC 又BC 平面PBC ∴平面PAC丄平面PBC 方法:定义法和判定定理 作业：（1）课后习题：课本P158页习题3、4 （2）课后思考题：在表示二面角的平面角时，为什么要求“OA丄l”，“OB丄l”？为什么角AOB的大小与点O在l的位置无关？

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