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1.1.4等腰三角形教学设计
课题 1.1.4等腰三角形 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。
核心素养分析 经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． 通过实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。培养学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
学习 目标 1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用. 2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题. 3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
重点 ①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明
难点 含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 等边三角形有哪些性质？ (1)等边三角形的三边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等． 学生思考回答问题。 通过回忆让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的区别与联系.
讲授新课 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明自己的结论，并与同伴交流. 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 三条边相等的三角形是等边三角形（定义） 从角的角度怎样判断一个三角形是等边三角形？ 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形. 条件：三个角都相等的三角形 已知：如图，在△ABC 中， ∠A =∠B=∠C 结论：等边三角形 求证： AB=AC=BC. 证明：∵ ∠A= ∠B,∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC. 归纳总结： 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形。 数学符号语言如下： ∵ ∠A =∠B =∠C （已知） ∴AB = AC=BC 思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 想一想怎样证明这个猜想？ 证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）. 求证： △ABC是等边三角形 . 证明：在△ABC 中， AB=AC，∴ ∠B= ∠C. 又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ， ∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B. ∴ BC=AC ，∴ AB=BC=AC ， ∴ △ABC是等边三角形 . 当∠A=60°时： 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.（等边对等角） ∴∠A= ∠ B=∠C.（等量代换） ∴AB=AC=BC.（等角对等边） 归纳总结： 判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 符号语言： ∵在△ABC 中，BC =AC，∠A =60°， ∴△ABC 是等边三角形． 总结： 证明一个三角形是等边三角形的方法： (1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定； (2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定； (3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定． 【做一做】 用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？ 能拼出一个等边三角形吗？ 由此你能发现什么结论？ 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 你能证明你的结论吗？ 已知：如图 ， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30° 求证： BC＝AB. 证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. ∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°. ∴∠ACD＝90°，∠B＝60°. ∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD. ∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形） ∴ BC＝ BD＝AB. 归纳总结： 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) 典例精析 例3、 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD =AB. 证明：在△ABC 中， ∵AB = AC，∠B = 15°， ∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）. ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.（三角形的外角） ∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°. ∴CD =AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） ∴CD=AB.（等量代换） 利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有两个要素： 一是含30°的角； 二是直角三角形． 根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系． 学生思考. 引导学生从边与角的角度探索等边三角形的判定. 学生相互交流探究证法，教师参与讨论.集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间. 学生在教师的引导下总结等边三角形的判定方法。 观察图形，分析数量关系 学生思考并作答，教师注意学生书写的证明过程是否规范。 学生总结归纳。 学生根据所学知识做例题。 培养学生的探究精神. 进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。 通过猜想、证明的过程培养学生的几何推理能力和表达能力. 培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性. 引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键。 学生相互交流探究证法，教师参与讨论。集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间。 通过对等腰三角形特殊性质的拓展，引导学生在图形的观察和证明的过程中揭示等腰三角形对称性的本质. 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果。增强学生灵活运用知识的能力，语言表达能力和对图形的分析，转化能力。
课堂练习 1. 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　　) A．①②③ 　　　 B．①②④ C．①③ 　　 　D．①②③④ 3.如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC 交BC 的延长线于点D，则AD 的长为 。 4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D 为EC 的中点． (1)求∠CAE 的度数； (2)求证：△ADE 是等边三角形． 6.如图,在△ABC中,∠B=60°,D是BC延长线上一点,过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。 求证：△ABC是等边三角形 学生定时训练，自主解答，老师订正 通过练习调动学生学习的积极性，使学生思维处于积极状态，达到了培养学生思维的灵活性和创造性，解决问题的目的。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。 训练学生总结归纳能 力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。
板书 课题：1.1.4 等边三角形的判定 一、等边三角形的判定方法 二、特殊的直角三角形的性质
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