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第五章　一元函数的导数及其应用
《5. 2.3简单复合函数的导数》教学设计
(
教学目标
)
1.了解复合函数的概念．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
(
教学重难点
)
教学重点：复合函数的概念及求导法则
教学难点：简单复合函数的导数
(
课前准备
)
PPT课件．
(
教学过程
)
【新课导入】
问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习简单复合函数的导数；（2）本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：导数的四则运算法则是什么？
师生活动：学生回顾并回答．
预设的答案： ；；
；.
特别地.
设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．
问题3：如何求函数y＝ln（2x -1）的导数呢？
设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
【探究新知】
知识点1：复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)) ．
【说一说】（1）函数y＝ln（2x-1）是由哪些函数复合而成的？
（2）函数y＝sin2x是由哪些函数复合而成的？
师生活动：学生回答．
预设的答案：（1）函数y＝ln（2x-1）是由y＝ln u和u＝2x-1复合而成．
（2）函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成．
问题5：如何求函数y＝sin2x的导数呢？
师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．
预设的答案：
追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以表示y对x的导数，表示y对u的导数，表示u对x的导数，那么与及有什么关系呢？
师生活动：学生先求出和然后找关系．教师完善、讲解．
预设的答案：，，又，所以．
知识点2：复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f (u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为．
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．
【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　)
(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝． (　　)
(3)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x． (　　)
师生活动：学生独立完成，教师完善．
预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×
【巩固练习】
例1 求下列函数的导数
（1）y=（3x+5）3；
（2）y=e -0.05x+1；
(3) y=ln(2x-1) ．
师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．
预设的答案：（1）函数y=（3x+5）3 可以看作函数y=u3 和u =3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则，有；
（2）函数y=e -0.05x+1 可以看作函数y=eu 和u=-0.05x+1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有；
（3）函数y=ln(2x-1)可以看成是由y=lnu和u=2x-1的复合函数，根据复合函数求导法则，有．
设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．
方法总结：1．复合函数求导的步骤
2．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
例2 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数在t=3s时的导数，并解释它的实际意义．
师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．
预设的答案：函数可以看作函数y=18sinu和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
，
当t=3时， ．
它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s．
设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．
方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．
（2）三角函数型函数的求导要求：
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.
（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.
练习：教科书P81 练习1、2
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
板书设计：
5. 2.3简单复合函数的导数
新知探究 巩固练习
知识点1：复合函数的概念 例1
知识点2：复合函数的求导法则 例2
2．总结概括：
简单复合函数的求导法则
师生活动：学生总结，老师适当补充．
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P81 习题5.2 2、5 教科书P81 练习3
【目标检测设计】
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1　 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
设计意图：进一步巩固复合函数的概念．
2．函数y＝x2 sin 2x的导数为(　　)
A．y′＝2x sin 2x－x2 cos 2x
B．y′＝2x sin 2x－2x2 cos 2x
C．y′＝x2 sin 2x－2x cos 2x
D．y′＝2x sin 2x＋2x2 cos 2x
设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．
3．已知f (x)＝ln(3x－2021)，则f ′(1)＝________.
设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．
4．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．
设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义．
参考答案：
1．A
2．D　y′＝(x2)′sin 2x＋x2(sin 2x)′
＝2x sin 2x＋x2(cos 2x) (2x)′
＝2x sin 2x+2x2cos 2x.
3．　∵，∴.
4． ∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴.
根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝.

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