资源简介

《鸽巢原理》教案设计
教学目标
知识与技能
了解“鸽巢原理”的两种形式，能用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
过程与方法
经历“鸽巢原理”的探究过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合思想。
情感、态度与价值观
1．通过动手操作活动，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，形成比较抽象的数学思维。
2．通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。
重点难点
重点：理解“鸽巢原理”，掌握先“平均分”，再调整的方法。
难点：运用“总有”“至少”来表述结论，理解“至少数＝商＋1”，根据实际问题与“鸽巢原理”模型间的联系解决问题。
课前准备
教师准备　PPT课件　一副扑克牌
学生准备　4支铅笔　3个纸杯
教学过程
板块一　课前游戏，引入新课
1．组织学生玩“抽扑克牌”游戏。
(1)准备一副扑克牌，取出大王、小王。
(2)选出5名同学，请他们任意抽取一张扑克牌并记在心里，把牌收好。
(3)教师猜测“在这5张扑克牌里，至少有2张是同一花色的”。
(4)学生把扑克牌拿出来验证教师的猜测。
2．引入新课。(板书课题：鸽巢原理)
这节课我们就来学习鸽巢原理。
操作指导 在玩“抽扑克牌”游戏时，一定要激发学生的好奇心，使学生初步体会“从一副4种花色的扑克牌中任意抽取5张扑克牌，不管怎么抽，都至少有2张是同一花色的”，为新知的探究做好情感上的铺垫。
板块二　自主操作，探究新知
活动1　鸽巢原理(一)
1．课件出示教材67页例1。
把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。你知道这是为什么吗？
用纸杯代替笔筒，事先分好组并准备学具。
2．合作学习提纲。
先独立思考：(1)可以怎么放？(2)共有几种不同的放法？再在小组内交流，全班总结。
3．小组汇报。
预设
小组1：(用纸杯代替笔筒，实际放一放)
第1种放法是在一个笔筒中放4支铅笔，剩余2个笔筒中不放；第2种放法是在一个笔筒中放3支铅笔，剩下1支铅笔放进任意一个笔筒中，剩余一个笔筒中不放；第3种放法是在2个笔筒中各放2支铅笔，剩余一个笔筒中不放；第4种放法是在一个笔筒中放2支铅笔，剩余2个笔筒中各放1支。这样共有4种不同的放法。
小组2：(动手画一画)
通过画图的方法逐一画出来。
小组3：(借助数的分解)
把4分解成3个数，想一想哪3个数相加等于4。4＋0＋0＝4，3＋1＋0＝4，2＋2＋0＝4，2＋1＋1＝4。这样就可以分别记作(4，0，0)，(3，1，0)，(2，2，0)，(2，1，1)。
小组4：我们发现不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。
4．小结：用纸杯代替笔筒实际放一放、动手画一画、借助数的分解这几种方法都一一列举出了所有的可能，这些方法在数学里统称为枚举法。
5．理解“总有”“至少”。
提问：你们能结合例子来理解“总有”“至少”是什么意思吗？
生：第1种放法笔筒里最多有4支铅笔，第2种放法笔筒里最多有3支铅笔，第3种和第4种放法笔筒里最多有2支铅笔。在每种放法中，都一定有1个笔筒里最少有2支铅笔，所以我认为“总有”就是“一定有”，“至少”就是“最少”的意思。
6．操作交流(假设法)。
除了像这样把所有的情况都一一列举出来，还有没有别的方法可以证明这句话是正确的？
(1)假设：笔筒里不放进2支或2支以上的铅笔，能办到吗？
(2)思考：动手操作演示，并说说过程。
先在每个笔筒中放1支铅笔，还剩下1支，然后无论怎么放，总有1个笔筒里有2支铅笔。
(3)思考：我们能不能用数学的方式表达刚才的这段话呢？
预设
生1：4÷3＝1(支)……1(支)
生2：无论怎么放，总有1个笔筒里至少有1＋1＝2(支)铅笔。
7．优化方法并小结。
(1)思考：把5支铅笔放进4个笔筒中，总有1个笔筒里至少有多少支铅笔，为什么？把6支铅笔放进5个笔筒中呢？……
(2)追问：你还打算用枚举法得出结论吗？为什么？
生：枚举法比较慢、比较麻烦，我打算用假设法列除法算式来解答。
(3)你有什么发现？
生：笔数比笔筒数多1时，至少数是2。
8．总结“鸽巢原理”(一)。
像这样的数学问题，我们叫作“鸽巢问题”或“抽屉问题”，它们蕴涵的这种数学原理，我们就叫作“鸽巢原理”或“抽屉原理”。把m个物体任意分放进n个鸽巢中(m和n是非0自然数，且m＞n)，那么一定有1个鸽巢里至少放进了2个物体。
活动2　鸽巢原理(二)
1．下面各题的结论是什么？你是用什么方法证明的？(课件出示思考题目)
(1)把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进几本书？
(2)把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进几本书？
(3)把10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进几本书？
(学生讨论交流，教师巡视了解各种情况)
2．学生汇报。
预设
生1：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。
生2：把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。
生3：把10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
3．引导学生说出各自的证明方法，在枚举法、借助数的分解、假设法几种方法中进行对比优化，引导学生用假设法解题。
预设
生1：7÷3＝2(本)……1(本)，总有1个抽屉里至少放进2＋1＝3(本)书。
生2：8÷3＝2(本)……2(本)，总有1个抽屉里至少放进2＋1＝3(本)书。
生3：10÷3＝3(本)……1(本)，总有1个抽屉里至少放进3＋1＝4(本)书。
4．思考交流：我们来看生2的回答“8÷3＝2(本)……2(本)，总有1个抽屉里至少放进2＋1＝3(本)书。”为什么不是2＋2＝4(本)书呢？
生：余下的2本还应平均分到2个抽屉里，这样总有1个抽屉里至少放进了2＋1＝3(本)书。是“商＋1”而不是“商＋余数”。
5．总结“鸽巢原理”(二)。
解决这类“鸽巢问题”的一般解题方法是什么呢？你能总结一个公式出来吗？
生：把待分的物体个数用a表示，抽屉数用n表示，用b表示每个抽屉分到的物体个数，用c表示还剩的物体个数，解决抽屉问题的一般方法是a÷n＝b……c，总有1个抽屉至少放进了(b＋1)个物体。
师总结：把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中(k和n是非0自然数)，那么一定有1个鸽巢里至少放进了(k＋1)个物体。
操作指导 在教学例1时，比较“枚举法”与“假设法”的局限性和优越性之后，优化选择假设法。体会平均分，学会用数学语言表达找至少数的过程，进一步体会“商和余数都是1，至少数是2”的鸽巢问题。之后在学习例2深化建模时，引导学生经历将具体问题“数学化”的过程，从而突破余数不是1的难点，初步感受模型思想，发展抽象能力、推理能力和应用能力。
板块三　练习巩固，内化提升
1．完成教材67页“做一做”1、2题。
1．随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
2．5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
先独立思考，然后全班交流、集体评价。第2题重点让学生说清楚什么相当于物体数，什么相当于鸽巢数，分别是多少。
2．完成教材68页“做一做”1、2题。
1．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
2．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
板块四　全课总结，布置作业
1．全课总结。
通过本节课的学习，你有什么收获？
预设
生1：我会用枚举法解决鸽巢问题。
生2：我会用假设法解决鸽巢问题。
生3：我知道这节课所学的就是“鸽巢问题”，铅笔、书、鸽子等的数量相当于物体数，笔筒、抽屉、鸽笼等的数量相当于鸽巢数，物体数÷鸽巢数＝商……余数，至少数＝商＋1。
2．布置作业。
教材70页1、2题。
板书设计
鸽巢原理
物体数÷鸽巢数＝商……余数　至少数＝商＋1
教学反思
课后反思本节课的教学过程，我觉得有以下几方面可以与大家共勉。
1．以“探”为主的教学过程。
作为六年级的学生，理解“鸽巢问题”确实有一定的难度，在教学例题“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”时，我让学生亲自动手操作放一放，通过这种亲自动手实验，不仅为学生学习抽象的问题提供了直观化的过程，还可以渗透数形结合思想。
教师既是学生的合作者，又是学生的引导者。在活动设计中，我注重让学生经历知识的产生和形成过程。把4支铅笔放进3个笔筒中的结果早就可想而知，但让学生通过放一放、想一想、议一议的过程，把抽象的说理用具体的实物演示出来，化抽象为具体，发现并描述最简单的“鸽巢问题”。通过活动和板书引导学生归纳出求至少数的方法，从而追求课堂的“高效”。
2．把“学以致用”作为教学宗旨。
学生学习了“鸽巢问题”有什么用？能解决生活中的什么问题？这就要求在教学中要注重联系学生的生活实际。采用枚举法，让学生把4支铅笔放进3个笔筒中的所有情况都列举出来，运用直观的方式，发现并描述，理解了最简单的“鸽巢问题”，即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
在例2的教学中，让学生借助直观操作发现，把书尽量多的“平均分”到各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本，引导学生总结出可以用有余数的除法这一数学规律来表示。
大量列举之后，再引导学生归纳总结这一类“鸽巢问题”的一般规律，让学生借助直观操作、观察、表达等方式从不同的角度认识“鸽巢问题”。由于我提供的数据比较小，为学生自主探究和自主发现“鸽巢问题”提供了很大的空间。特别是通过学生归纳总结的规律：到底是“商＋余数”还是“商＋1”？引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。在“做一做”环节里，我设计了一组简单、真实的生活情境，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效地将学生的自主探究学习延伸到课外，体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。
教学永远是一门遗憾的艺术。回顾整节课，我觉得学生对简单而有趣的“鸽巢问题”的本质理解得很透彻，每名学生都能够用简洁的语言和算式表达自己的想法。但总觉得有些“意犹未尽”，课堂上是不是教师牵着学生走的过多？如果没有教师提示性的语言，学生能用“总有……至少……”这样的关联词语得出正确的结论吗？数学语言要求精简、通俗易懂，但教材中语言拗口、难理解，好多教师在理解的时候都存在歧义，更别说学生了。因此总是怕学生理解不透，就反复强调，这样是不是显得重复啰嗦？教学时，怎样才能更好地克服语言歧义呢？能否根据学生的回答，对教材语言做适当的修正呢？我还在不断地探索中。

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