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6.3平面向量基本定理及坐标表示（单元教学设计）
一、【单元目标】
（1）理解平面向量基本定理及其意义。
（2）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。
（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的平面夹角。
（5）能用坐标示平面向量共线、垂直的条件。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
平面向量基本定理是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任意向量的表示，为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础，只有正确地构建向量的坐标才能有正确的坐标运算。平面向量的基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识，同时又为后续的学习做了奠基，起到了承前启后的作用。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约 5课时
教学重点： 平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示。
教学难点： 平面向量基本定理唯一性证明。
五、【教学问题诊断分析】
6.3.1平面向量基本定理
引言：上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力.
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？
1、复习回顾
问题1：向量的加法运算法则
三角形法则：首尾连连首尾 平行四边形法则同起点,连角线
问题2：平面向量共线定理
若向量(≠ )与共线, 则当且仅当有唯一一个实数λ, 使得=λ.
即与共线= .
问题3：当是零向量时，还能用表示吗？
答：可以，取，，则
问题4：若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？
答：若向量与共线，取，则
若向量与共线时，取，则
问题5：平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？
答：假设
即（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0
假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0
不妨假设λ1－μ1≠0
则
由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾
则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2
所以表示形式是唯一的
2、新知探究
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底
注意：(1)基底不唯一，关键是不共线
(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解
(3)基底给定时，分解形式唯一
【例1】如图，不共线，且，用表示
解：因为
所以
重要结论：如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则
【例2】如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形
证明：如图，设＝a，＝b
则＝a＋b，＝a－b
因为CD＝AB，所以CD＝DA
因为a2＝CD2，b2＝DA2
所以
因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形
方法规律　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算
(2) 基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量
3．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1、如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　A　)
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
2.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）.
A.与 B.与 C.与 D.与
答案：AC.
解：结合图形可知，与不共线，与不共线，
∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底.
3、在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以 ＝e1，＝e2表示
解：＝－＝e1－e2
因为D，E，F依次是边AB的四等分点
所以＝＝(e1－e2)
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2
4、如图所示，平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，
若＝a，＝b，试用a，b表示向量，
解：　＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b
＝＋＋＝－＋＋＝b－a
5．已知M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，
试用a，b将，，表示出来
解：＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a
＋ b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
4、课堂小结
1．对基底的理解
(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决
5、课后作业
1.习题6.3 1、11（1）
2．6.3.1平面向量基本定理（分层作业）（必做题+选做题）
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1.复习引入
问题1：什么是平面向量基本定理？
【答案预设】如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力能分解成两个方向的力，互相垂直，这就是力的正交分解.
引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解．
2.问题探究
问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢
【预设答案】
（1）建立直角坐标系，选x,y轴方向上的单位向量 作为基底；
（2）作平面内的任意一个向量，以为基底，根据平面向量基本定理，分解向量；
（3）这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对 (x，y) 叫做向量的坐标，记作.
其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.
【设计意图】借助平面直角坐标系，引导学生理解平面向量的正交分解及坐标表示.
概念深化
思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标是什么含义？？
思考2：你能写出向量的坐标表示吗？
思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？
【活动预设】
（1）以x、y轴方向上的单位向量为基底，分解后的系数所对应的实数对(x,y)
（2）.
（3）点A（0，1），区间（0，1），向量＝（0，1），如果不作说明则指向不明.
【设计意图】引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解.
平面向量坐标与点得坐标的联系
问题3： 如图，以O为起点作向量 ，则的坐标与点A的坐标有何联系？
【活动预设】
设，则向量的坐标 (x，y) 就是终点A的坐标；
反过来，终点A的坐标 (x，y) 也就是向量的坐标.
因为，所以终点A的坐标 (x，y) 就是向量的坐标.
所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.
【设计意图】理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系.
5.初步应用
例：如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标.
【预设的答案】
方法1：由图可知，，所以.
同理，，，
.
方法2：作
易得点M的坐标为(2,3),则
因为点M与N关于y轴对称，与点P关于原点对称，与Q点关于x轴对称
则N(-2,3),P(-2,-3),Q(2,-3),
同理，，，.
【设计意图】
（1）加深对向量坐标表示的理解；
（2）向量坐标与点坐标联系的应用.
6.课堂小结
思考：1.你对平面向量的坐标表示如何理解？
2.平面向量的坐标与点的坐标有什么联系？
【设计意图】总结本节课学习的重点内容.
7．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1.设是平面直角坐标系内分别与轴，轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，
若＝，＝，则2＋的坐标是(　　)
A． B． C． D．
2.设是平面直角坐标系内分别与轴，轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A． B． C． D．
【预设答案】1.D 2.C
【设计意图】巩固本节课学习的重点内容.
8.课后作业
1. 习题6.3.2
2.6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示（分层作业）（必做题+选做题）
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
一、复习回顾
问题1：平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题2：用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
问题3：如图，取与 轴、 轴同向的两个单位向量作为基底，
分别用 表示OA，OB，并求出它们的坐标.
问题4：向量的坐标呢？
答案：法一：直接用定义对向量做正交分解
法二：把向量的起点移到原点的位置，终点C的坐标（4，-2）就是向量的坐标
问题5：能不能其他的方法进行求解呢？这就是我们今天要探索的向量坐标的简单运算
二、探索新知
思考1：已知，你能得到的坐标吗？
【答案】
即
同理可得。
这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
【设计意图】通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。
例1.已知的坐标。
解：
【设计意图】通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
探究：如图，已知，你能得出的坐标吗？
【答案】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
在刚才的那道题中
如图所示：两点的坐标分别为
由计算公式得：
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
【设计意图】通过例题进一步理解向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测：
1．点A(1，－3)，的坐标为(3，7)，则点B的坐标为(　　)
A．(4，4)　　　　　 B．(－2，4)
C．(2，10) D．(－2，－10)
【解析】　设点B的坐标为(x，y)，由＝(3，7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，得B(4，4)．
【答案】　A
2.若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则等于(　　)
A．(4，6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2，2)
【解析】　由＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．故选A．
【答案】　A
3.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.
【解】　如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2，0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、课堂小结
1·向量坐标表示加减运算：
2·向量的坐标表示方法：
定义法：分别向坐标轴引垂线.
原点法：向量起点放到原点，终点的坐标
两点法：终点的坐标-起点坐标。
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
五.课后作业
1. 习题6.3.3
2.6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示（分层作业）（必做题+选做题）
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
一、复习回顾
向量的坐标表示为.
已知，则
若，则
【向量共线定理】向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得.
【探究1】已知，那么
二、新知探究
【发现】，即
【结论】实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
例6 已知，求的坐标.
解：
【探究2】如何用坐标表示两个向量共线（平行）的条件
【发现】设，其中.
因为向量共线的充要条件是存在实数，使.
所以，消去，得
【结论】向量共线（平行）的充要条件是.
例7 已知，且，求.
解：因为，所以，所以
例8已知，判断三点之间的位置关系.
解：作图观察，猜想三点共线，然后证明.
因为
因为
所以
又直线有公共点
所以三点共线.
例9设是线段上的一点，点.
（1）当是线段的中点时，求点的坐标；
（2）当是线段的一个三等分点时，求点的坐标.
解：（1） 如图6.3-16，是线段的中点
所以
所以点的坐标是---中点坐标公式
（2）如图6.3-17,当点是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果，那么
，点坐标为.
同理，如果，那么点坐标为.
三、达标检测：
1. 已知向量，则向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
解：，故选A
2. 已知向量,且，则的值分别为 (　　)
A. 　　　　　 B. C. D.
解：因为，所以
所以解得。故选D
3. 在中,,对称中心为，则等于 (　　)
A. B. C. D.
解： ，故选B.
4. 已知向量，若，则的值等于(　　)
A.　　　　　 B. C. D.
解：由已知，，,
因为，所以，解得，故选A
5. 已知为坐标原点，，且.
（1）为何值时，点在轴上？在轴上？在第二象限？
（2）四边形可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由.
解：由已知得，，又
所以
（1）若点在轴上，则有；
若点在轴上，则有
若点在第二象限，则有
（2）
若四边形是平行四边形，则有,即，方程无解。
所以，四边形不可能是平行四边形.
四、课堂小结
向量
已知，则
已知，则线段的中点为
向量共线（）的充要条件是
五、课后作业
1. 习题6.3.4
2. 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示（分层作业）（必做题+选做题）
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、复习回顾
平面向量数乘运算的坐标表示：已知，.
二、新知探究
问题1 已知，，怎样用坐标表示呢？
因为，
所以.
又，，，
所以.
结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
问题2 用坐标表示向量的模.
若，则，.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么
，
.
问题3 复习：设是非零向量，.如何用坐标表示两个向量垂直？
设，，则
.
例10 若点，则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：
因为，
，
所以.
于是.
因此，是直角三角形.
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
.
例11 设，，求及的夹角（精确到）.
解：.
因为，，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“”键，得.
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式.
证明：如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则，.
由向量数量积的坐标表示，有.
设与的夹角为，则.
所以.
另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，.于是， .所以.
于是.
三、课堂检测
已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：对于A，因为，所以向量不平行，A错误；对于B，因为，所以，则，B正确；对于C， ，，C错误；对于D，，C错误；对于D，，D错误.故选B.
已知，若向量与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由向量与垂直，得.
因为，所以，
即，解得.故选B.
已知向量，，且，则__________.
答案：12
解析：∵，∴，解得.故答案为12.
四、课堂小结：
平面向量数量积的坐标表示；
用坐标表示两个平面向量的夹角；
用坐标表示平面向量垂直的充要条件.
五、课后作业：
1. 习题6.3.5
2.6.3.5平面向量数量积的坐标表示（分层作业）（必做题+选做题）

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