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§7.2.2复数的乘除运算
一、内容和内容解析
内容：复数的乘除运算．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章第2节第二课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.
通过实例，明确复数的乘除运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.
二、目标和目标解析
目标：
（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养．
（2）理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养．
目标解析：
（1）与复数的加法法则类似，教学时要引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则．
（2）鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异，将复数看作关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，只要在结果中把换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可.
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，推导乘法的运算法则是进行数学类比教学的很好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握复数的乘法和除法运算．
三、教学问题诊断分析
教学问题一：学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但独立推导复数乘法法则，从思维角度看学生还缺乏经验．解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习共轭复数和分母有理化等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措，这样有助于学生理解复数的乘法法则．
教学问题二：复数的除法运算是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过复习共轭复数的性质，，类比分母有理化帮助学生理解．
教学问题三：如何在复数范围内求二次方程的根？这是学生不好理解的一个地方．解决方案：两种方法解决：一是拓展求根公式，当△<0时，将，从而求解；二是将方程的根设为，代入方程．利用复数的相等求解.
基于上述情况，本节课的教学难点定为：求复数范围内的方程根．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的乘、除法法则，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视复数除法法则的推导理解，让学生体会到类比的基本过程.
五、教学过程与设计
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
复习回顾，温故知新 [问题1] 多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？ 教师1： 提出问题1． 学生1：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd. 通过复习，为引入本节新课做好铺垫。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
探索交流，解决问题 [问题2] 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？ [问题3] 复数的乘法满足交换律和结合律吗？ [问题4] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z的共轭复数等于什么？z是一个怎样的数？ [问题5] 一元二次方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？引入虚数单位i后，方程的解是什么？ [问题6] 若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？ [问题7]若z≠0且z＋＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？ [问题8] 三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？ 教师2：提出问题2． 学生2：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 教师3：提出问题3． 学生3：满足. 教师4：提出问题4． 学生4： ＝a－bi，z＝a2＋b2是一个实数． 教师5：提出问题5． 学生5：没有，x＝±i. 教师6：总结复数的乘除法法则： (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
（3）复数的除法运算 复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同 设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，则 ＝＝＝＋i. 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 教师7：提出问题6． 学生6：z＝ z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数． 教师8：提出问题7． 学生7：z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数． 教师9：提出问题8． 学生8：设z＝a＋bi，则＝a－bi，所以|z|＝，||＝＝，z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝||2＝z·. 通过思考，类比多项式的乘法及分母有理化的运算引入复数的乘除运算，提高学生分析问题、概括能力。
典例分析，举一反三 1.复数的乘法运算 例1.计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 例2.　＝(　　) A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i 3.复数范围内解方程 例3.在复数范围内解方程x2＋4x＋6＝0. [课堂练习1] 已知i是虚数单位，则＝(　) A.1－2i B.2－i C.2＋i D.1＋2i [课堂练习2] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 教师10：完成例1． 学生9：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i 教师11：复数代数形式的乘法运算常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). (3)(1±i)2＝±2i. 教师12：完成例2． 学生10：＝＝＝2－i.故选D． 教师13：完成例3. 学生11：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2， 因为(i)2＝(－i)2＝－2，所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 学生12：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根． 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以 又因为b≠0，所以解得a＝－2，b＝±. 所以x＝－2±i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 教师14：布置课堂练习1、2． 学生13：完成课堂练习，并核对答案． 通过例题进一步巩固复数的乘除运算，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。 [课堂练习1] 巩固复数的除法法则． [课堂练习2]让学生体会在复数范围内解二次方程的方法．
课堂小结 升华认知 [问题9] 通过这节课，你学到了什么知识？ 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ [课后练习] 1.设a是实数，且＋是实数，则a等于(　　) A. B.1 C. D.2 2.(1＋i)(2－i)＝(　　) A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i 3.设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于________. 4.已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和. 教师15：提出问题9． 学生14： 学生15：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.B 2.D 3.1 4.4 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对运算巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．

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