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8.6.3 平面与平面垂直
一、内容和内容解析
内容：平面与平面垂直．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第6节第3课时的内容．本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理．
通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．
二、目标和目标解析
目标：
（1）理解二面角的概念，并会求简单的二面角．
（2）理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题．
（3）理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．
（4）能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题.
目标解析：
（1）类比直线与直线垂直先定义直线与直线所成的角，所以为了定义两个平面互相垂直，需要引进两个平面所成的角．这样的处理方式，渗透了数学研究的一般思路，以使学生养成前后一致、逻辑连贯地思考问题的习惯.
（2）类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把平面与平面的位置关系转化为直线与平面的位置关系，进而引导学生观察身边的现象，得到平面与平面垂直的判定定理．
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节的教学中，类比平面与平面平行的相关性质推导平面与平面垂直的相关定理是进行数学类比教学的很好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握面面垂直的判定定理和性质定理．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：对二面角概念的理解是本节课的第一个教学问题．解决方案：为了加强对二面角概念的直观感知，通过举例子，增加学生对二面角的感知．
2．教学问题二：平面与平面垂直的判定通过观察引导学生观察教室相邻的两个墙面与地面构成的二面角的大小，引出两个平面垂直的位置关系，结合实例进行观察．
3．教学问题三：平面与平面垂直的性质是第三个教学问题．解决方案：按照一般到特殊的原则，借助问题串引导学生感知在两个相互垂直的平面中，有哪些特殊的直线、平面的位置关系．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系,平面和平面垂直的性质定理的应用．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到面面垂直的判定定理和性质定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中注重数形结合．既可以培养学生的空间想象能力，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视面面垂直的判定定理和性质定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
创设情境，引入新知 [问题1] 在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？ 教师1： 提出问题1． 学生1：学生思考． 通过观察实例，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
探索交流，解决问题 [问题2] 我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？ [问题3] 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？ [问题4] 如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？ [问题5] 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ [问题6] ， 垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？为什么？ 教师2：二面角的概念 (1) 半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2) 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． (3) 二面角的画法和记法： 面1－棱－面2 点1－棱－点2 二面角 二面角 教师3：提出问题2． 学生2：门—轴—墙所成的角． 教师4：二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关. 教师5：提出问题3． 学生3：3个. 教师6：平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作： 图形表示： 教师7：提出问题4． 学生4：用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面 教师8：面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 图形： 符号语言： 简记：线面垂直，则面面垂直 教师9：提出问题5． 学生5：（1）不一定 （2）与AD垂直． 教师10：提出问题6. 学生6：垂直 证明：在平面内作BE⊥CD,垂足为B， 则∠ABE就是二面角的平面角. ∵, ∴AB⊥BE 又由题意知AB⊥CD,且BECD=B， 教师11：平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号表示： α⊥β，α∩β＝l， a⊥β 通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力. 通过观察，由实例引入两平面垂直，提高学生分析问题法人能力. 通过观察实例，引入平面与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力. 通过思考，引入平面与平面存在的额性质定理，提高学生分析问题的能力
典例分析，举一反三 1. 对面面垂直判定定理的应用 例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面． 证明：平面平面. 2. 求二面角 例2 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中: (1)求二面角D′-AB-D的大小; (2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小. 3. 平面与平面平行的性质定理的应用 例3 在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：. [课堂练习1] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M. [课堂练习2] 如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. 教师12：完成例题1. 学生7：证明：∵是的直径，点是上的动点， ∴，即． 又∵垂直于所在平面，平面 ∴． ∴ ∴平面． 又平面， ∴平面平面． 教师13：完成例题2. 学生8：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角, 在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°. 所以二面角D′-AB-D的大小为45°. (2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB. 从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°. 所以二面角M-AB-D的大小为45°. 教师14：完成例题3． 学生9：过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC. 又BC 平面PBC，故AE⊥BC. 又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，故PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC. 又AC 平面PAC，故BC⊥AC. 教师15：布置课堂练习1、2． 学生10：完成课堂练习，并核对答案． 通过例题1，进一步巩固面面垂直判定定理，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。 通过例题2，进一步巩固二面角的求法，提高解决问题的能力。 通过例题3讲解，让学生进一步理解平面与平面垂直的性质定理的运用，提高学生解决问题的能力 [课堂练习1] 巩固面面垂直的判定定理． [课堂练习2] 巩固复数的相等.
课堂小结 升华认知 [问题7]通过这节课，你学到了什么知识？ 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ [课后练习] 1、自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，则必须具有条件(　　) A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β 2.m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： (1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β； (2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； (3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为(　　) A.(1)(2) B.(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3) 3.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角D1 BC D的平面角的大小为________． 4.如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________． 教师16：提出问题7． 学生11： 学生12：学生课后进行思考，并完成课后练习． 【答案】1.D 2.B 3.45° 4.垂直 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．

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