资源简介

8.1 基本几何图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球
一、内容和内容解析
内容：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第1节第2课时的内容．教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，让学生初步理解“旋转体”的概念。教学中可结合实物模型或计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程．
通过学习有关旋转体的结构特征，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．
二、目标和目标解析
目标：
（1）理解圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征.
（2）了解简单组合体的概念及结构特征.
（3）经历从物体到几何体的抽象过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．
目标解析：
（1）利用实物模型或信息技术，通过观察、分析、比较、归纳，抽象圆柱、圆锥、圆台和球的组成要素及其位置关系；会对它们进行分类与表示；能判断一个物体所表示的几何体是否为圆柱、圆锥、圆台和球；能从联系的角度认识圆柱、圆锥、圆台和球的联系与区别.
（2）结合章引言与本节课的学习，能说出立体几何的主要内容，感受直观感知、操作确认、思辨论证的立体几何学习方法.在圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的抽象过程中，反复经历“实物→立体图形”的过程，提升数学抽象和直观想象的素养．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：圆柱、圆锥、圆台和球的组成元素的形状、位置关系，抽象概括出它们的结构特征．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：本节课所学的各种几何体，学生大多在以前已经有所认识，但以往的认识往往停留在直观感知水平，只知道某种几何体是“这样的一个”，而不清楚是“怎样的一个”．本节课是要从结构特征的角度对它们进行描述，这就需要从几何体的形成方式及面、棱、顶点、母线等要素及其位置关系等角度去把握几何体的结构特征，从而能说清楚各种几何体概念．这是一个“确定研究对象”的过程，也是我们学习立体几何的出发点．
2．教学问题二：在本节课的学习过程中，学生往往能借助初中所学知识，通过观察实物抽象出空间几何体，但要上升到用数学语言去描述它们则比较困难．教学时可先让学生做一些柱体、锥体、台体、球体的模型，通过观察他们自己所做的模型，结合教科书，再讨论得出空间几何体的结构特征．另外，面对众多的几何体，找到合理的标准将其分类，是学生学习时可能遇到的另一个学习障碍．这需要教师逐步引导，明确分类时要考虑物体的内部结构和外部特征，从而确定分类的标准．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的抽象．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、分析、比较、归纳抽象圆柱、圆锥、圆台和球的组成要素及其位置关系，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用实物模型．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视圆柱、圆锥、圆台和球的组成要素及其位置关系的抽象过程，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
创设情境，生成问题 观察下列实物图 [问题1] 上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ [问题2] 上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ [问题3] 如何形成上述几何体的曲面？ 教师1： 提出问题1． 学生1：它们不是由平面多边形围成的. 教师2： 提出问题2． 学生2：可以由某些平面图形旋转而成. 教师3： 提出问题3． 学生3：上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成. 通过观察图片，引入本节新课。激发学生的学习兴趣。
探索交流，解决问题 [问题4] 如图，矩形ABCD绕AB边所在直线旋转一周，其余三边BC、CD、DA旋转的结果是什么？围成什么几何体？ [问题5] 如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB、CD.它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？ [问题6] 在上图中，连接AC，则AC是母线吗？ [问题7] 圆柱的轴截面是什么图形？ [问题8] 如图，Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，其余两边BC、AB旋转的结果是什么？围成什么几何体？ [问题9] 如图，在圆锥中任取不重合的两条母线，如AB、AD，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？ [问题10] 直角三角形绕着斜边旋转，得到什么几何体？ [问题11] 圆锥的轴截面是什么图形？ [问题12] 如图，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到什么？ [问题13] 如图，直角梯形ABCD绕垂直于底边的腰BC所在的直线旋转一周，腰AD与底边AB、CD旋转的结果是什么？它们围成什么几何体？ [问题14] 如图，在圆台中任取不重合的两条母线，如AD、EF，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AF，那么AF是母线吗？ [问题15] 把圆台的各母线延长，交于一点吗？ [问题16] 圆台的轴截面是什么图形？ [问题17]如图，把半圆绕它的直径所在的直线旋转一周，半圆弧旋转的结果是什么？把圆绕它的一条直径所在的直线旋转半周，圆弧旋转的结果呢？与球有何关系？ [问题18] 在球面上任取两点A、B，线段AB一定是球的直径吗？什么时候是直径？ 教师4：提出问题4． 学生4：边BC、DA各旋转成一个圆面，边CD旋转成一个曲面．它们共同围成一个圆柱． 教师5：小结： 1、圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O’O。 教师6：提出问题5． 学生5：AB∥CD且AB=CD，截面ABCD是矩形．　 教师7：提出问题6． 学生6：不是. 教师8：提出问题7． 学生7：矩形，一条边是底面圆的直径，另一条边是圆柱的高． 教师9：提出问题8． 学生8：边BC旋转成一个圆面，边AB旋转成一个曲面．它们共同围成一个圆锥． 教师10：总结： 2、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。圆锥也有轴、底面、侧面和母线。 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。 教师11：提出问题9. 学生9：AB与AD相交于A.截面ABD是过顶点A的三角形． 教师12：提出问题10. 学生10：直角三角形绕着斜边旋转，得到两个对底的圆锥. 教师13：提出问题11. 学生11：等腰三角形，底是底面圆的直径，腰是圆锥的母线. 教师14：提出问题12. 学生12：一个小圆锥和一个圆台． 教师15：小结. 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。圆台也有轴、底面、侧面、母线。 圆台也用表示它的轴的字母表示，如圆台O’O。 教师16：提出问题13. 学生13：腰AD旋转成一个曲面，底边AB、CD各旋转成一个圆面，它们围成一个圆台． 教师17：提出问题14. 学生14：AD与EF反向延长后交于一点．过AD、EF的截面是等腰梯形．AF不是母线． 教师18：提出问题15. 学生15：因为圆台是由圆锥截得的，所以圆台中各母线延长后必相交于一点，否则不是圆台. 教师19：提出问题16. 学生16：等腰梯形，上下底分别是底面圆的直径，腰是圆台的母线. 教师20：小结. 圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示. 教师21：提出问题17. 学生17：半圆弧旋转的结果是一个球面，圆弧旋转的结果也是一个球面．球面围成的几何体就是球． 教师22：提出问题18. 学生18：不一定．当AB过球心时是直径． 教师23：小结. 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。 半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径， 球常用球心字母O表示，如球O。 小结：常见空间几何体有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。其中棱柱、圆柱统称为柱体，棱锥、圆锥统称为锥体，棱台、圆台统称为台体，所以简单空间几何体概括分类为：柱体、锥体、台体和球体。 5.简单组合体　 (1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 通过思考，引入圆柱的定义，提高学生分析问题的能力。 通过思考，引入圆锥的定义及其结构特征，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，引入圆台的定义及其结构特征，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，引入球的定义及其结构特征，提高学生分析问题、概括能力。
典例分析，举一反三 1.旋转体的结构特征 例1.给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 2.简单组合体的结构特征 例2. 如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征。 3.旋转体中的计算问题 例3.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． [课堂练习1] 下列命题正确的是________(只填序号). ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥； ⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. [课堂练习2] 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径. 教师24：完成例题1. 学生19：D 教师25：完成例题2. 学生20：几何体如图所示，其中，垂足为E。这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的，其中圆柱BE的底面分别是圆B和圆E，侧面是由梯形的上底CD和下底AB旋转形成的；圆锥AE底面是圆E，侧面是由梯形的 边AD绕轴AB旋转而成的。 教师26：完成例题3. 学生21：设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm. 根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm. 根据相似三角形的性质，得＝.解得l＝9. 所以圆台的母线长为9 cm. 教师27：布置课堂练习1、2． 学生22：完成课堂练习，并核对答案． 通过例题1的讲解，让学生进一步理解旋转体结构特征，提高学生解决与分析问题的能力。 通过例题2让学生进一步理解组合体结构特征，提高学生解决与分析问题的能力。 通过例题3让学生通过建模解决问题，提高学生能力。 [课堂练习1] 巩固旋转体的结构特征． [课堂练习2] 巩固球的结构特征，应用其特征解决问题.
课堂小结 升华认知 [问题19]通过这节课，你学到了什么知识？ 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ [课后练习] 1.下列几何体是台体的是(　　) 2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(　　) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________. 4.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？ 教师28：提出问题19． 学生23： 学生24：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.D 2.B 3.2 4.　旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的. 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．

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