资源简介

8.6.1直线与直线垂直
一、内容和内容解析
内容：直线与直线垂直．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第6节第1课时的内容．本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想．
通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养．
二、目标和目标解析
目标：
（1）了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
（2）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．
目标解析：
（1）异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而生成的，它是指这两条异面直线经过平移后成为两条相交直线时，这两条相交直线所成的角.角度是刻画方向差异的量，平移不改变方向，所以可以用如此方法定义两条异面直线所成的角.
（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，直观感知——操作确认——思辨论证的认识过程是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用异面直线的夹角证明线线垂直题，也是进行数学建模教学的好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：异面直线所成的角是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用具体实物和绘图软件两个角度进行直线的平移，遵循直观感知——操作确认——思辨论证的认识过程，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．
2．教学问题二：如何由异面直线推导线线垂直是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过对典型实例的观察、实验、猜想等合情推理的活动后，概括出直线与直线垂直．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：会求两异面直线所成的角．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到异面直线所成的角，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用数形结合的方法．既可以培养学生的空间想象能力，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视异面直线所成角的求解，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，线线垂直的证明其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
创设情境，引入新知 [问题1] 如图，在正方体中，直线与直线AB，直线与直线AB都是异面直线，直线与相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ [问题2] 异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？ 教师1： 提出问题1． 学生1：不同． 教师2：提出问题2． 学生2：学生思考． 通过观察与思考，引入异面直线所成角的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
探索交流，解决问题 [问题3] 什么是异面直线所成的角？ [问题4] 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变 [问题5] 什么是直线与直线垂直？ [问题6] 两条直线垂直，一定相交吗？ 教师3：提出问题3． 学生3：异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90. 教师4：提出问题4． 学生4：无关，不改变. 教师5：提出问题5． 学生5：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 教师6：提出问题6. 学生6：不一定.当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不一定相交. 通过思考，进一步理解异面直线所成的角，提高学生分析问题、概括能力。
典例分析，举一反三 1.求异面直线所成的角 例1.在正四面体中，，E，F分别为SC AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ） A．30°B．45° C．60°D．90° 2.证明直线与直线垂直 例2.如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. [课堂练习1] 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° [课堂练习2] 如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：. 教师7：完成例题1. 学生7：取AC中点G，连接EG，GF，因为E，F分别为SC AB的中点，所以 ，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角. 因为，所以，又，所以，所以△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°.故选B. 教师8：完成例题2. 学生8：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G. 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. ∴DB1⊥EF. 教师9：布置课堂练习1、2． 学生9：完成课堂练习，并核对答案． 通过例题讲解，让学生理解怎样求两异面直线所成的角，提高学生解决问题的能力。 [课堂练习1] 巩固异面直线的夹角． [课堂练习2] 巩固线线垂直的证明.
课堂小结 升华认知 [问题7]通过这节课，你学到了什么知识？ 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ [课后练习] 1.设a，b，c是直线，则(　　) A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D.若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线 2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 3.在正方体中，则直线与直线所成角大小为（ ） A．B． C．D． 4.如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是 ． 教师10：提出问题7． 学生10： 学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习． 【答案】1.C 2.B 3.C 4.90° 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．

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