资源简介

8.5.1直线与直线平行
一、内容和内容解析
内容：直线与直线平行．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第5节第1课时的内容．本节内容是空间直线平行的传递性和等角定理，由平面图形推广到立体图形得到，直线与直线平行是研究空间直线、平面平行的基础．
通过基本事实4和等角定理的应用，培养直观想象的核心素养．
二、目标和目标解析
目标：
（1）正确理解基本事实4和等角定理．
（2）能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．
目标解析：
（1）两条平行直线必然在同一平面内，因此，平面几何中学习的有关直线与直线平行的判定和性质在空间中仍然适用．本节主要研究一些在平面几何中成立的有关平行线的结论在空间的推广，主要是平行线的传递性和等角定理．
（2）基本事实4和等角定理都是由平面图形推广到立体图形得到的，并非所有平面图形的结论都可以推广到空间，可以推广的一定要证明．
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在基本事实4和等角定理的教学中，从平面图形的性质推广到空间图形是进行数学类比教学的很好机会；同时借助长方体直观感受基本事实4和等角定理，也是培养空间感教学的好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：现在的学生空间感普遍偏弱，而本节课又需要将平面图形的结论推广到空间，因此，建立空间感是本节课的第一个教学问题．解决方案：借助长方体进行教学，以长方体和教室中的实例为载体让学生观察，培养学生的空间想象能力．
2．教学问题二：怎样应用基本事实4和等角定理解决问题是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：借助例题中的具体图形让学生想到要证空间两直线平行，只需找到一条直线使它与要证的两直线都平行即可．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：基本事实4与等角定理的运用．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳掌握线线位置关系，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中借助立体几何模型．既可以提高学生空间想象能力，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视基本事实4与等角定理的运用，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
创设情境，引入新知 [问题1] 国旗是我们伟大祖国的象征和标志，代表祖国的尊严.升降国旗制度是学校对学生进行的爱国主义教育.升旗仪式时同学们都站得整齐如一，如图.若其中两位升旗手所在的直线分别为a，b，旗杆所在的直线为c. 直线a平行于直线c吗？直线b平行于直线c吗？直线a平行于直线b吗？ [问题2] 由此你能得出什么结论？ 教师1： 提出问题1． 学生1：平行，平行，平行． 教师2：提出问题2． 学生2：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 通过生活中的具体情境，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
探索交流，解决问题 [问题3] 动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系？并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立？ [问题4] 观察长方体A1B1C1D1－ABCD，∠D1A1B1与∠B1C1D1的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？ [问题5] 观察长方体A1B1C1D1－ABCD，∠D1A1B1与∠DAB的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？ 教师3：提出问题3． 学生3：平行，成立. 教师4：小结：平行线的传递性：基本事实4 （1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性． （2）符号表示： a∥c. 教师5：提出问题4 学生4：∠D1A1B1与∠B1C1D1的两边分别平行，两角大小互补. 教师6：提出问题5． 学生5：∠D1A1B1与∠DAB的两边分别平行，两角大小相等． 教师7：小结：等角定理. 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 通过思考，引入基本事实4与等角定理，提高学生分析问题、概括能力。
典例分析，举一反三 1.证明直线与直线平行 例1.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形. 2.等角定理及应用 例2.如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝. 求证：△A1B1C1∽△ABC. [课堂练习1] 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′. [课堂练习2] 1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点. 求证:(1)MC∥A1E,A1F∥CN; (2)∠EA1F=∠NCM. 教师8：完成例题1. 学生6：(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形. (2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH∥BD，EH＝BD. 因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形. 教师9：完成例题2. 学生7：在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC. 所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC． 教师10：布置课堂练习1、2． 学生8：完成课堂练习，并核对答案． 通过例题，进一步巩固线面平行的判定，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。 [课堂练习1] 巩固线线平行． [课堂练习2] 巩固等角定理的应用.
课堂小结 升华认知 [问题10]通过这节课，你学到了什么知识？ 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ [课后练习] 1.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　) A.60° B.120° C.30° D.60°或120° 2.若直线a，b与直线l相交成等角，则直线a，b的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.异面、平行、相交都有可能 3.如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条. 4.在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 教师11：提出问题10． 学生9： 学生10：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.D 2.D 3.3 4.D 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．

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