资源简介

28.1锐角三角函数(1)
教学目标
通过对实际问题的探究，使学生能正确理解三角函数定义及正弦函数的概念；
理解在直角三角形中，当锐角度数一定时，这个角的对边与斜边的比值是固定的值；
使学生能正确理解正弦函数定义，并能根据正弦函数定义正确进行相关计算；
结合对正弦函数定义的探究，培养学生由特殊到一般的演绎推理、分析、归纳的综合学习能力.
教学重点
正确理解正弦函数的概念，会根据边长求出正弦值，或根据正弦值及一边长，求另一边的长等应用题.
教学难点
引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中，任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定的事实.
教学过程设计
情境引入，新课教授
问题1：意大利伟大的科学家伽俐略曾在比萨斜塔的顶层做过自由落体运动的实验：
可用“塔身中心线与垂直线所成的夹角α”来描述比萨斜塔的倾斜程度.
从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的两边长，求其一个锐角的度数.
即：已知直角三角形的两边长，如何求其一个锐角的度数？ BC = 5.2 m
AB = 54.5 m
三边关系√
直角三角形的 两个锐角的关系√
“边角关系”？
师生互动：学生通过观看多媒体的演示，思考老师提出的问题.
设计意图：问题的提出，目的在于引出新课和引起学生思考. 激发学生兴趣和求知欲望.
问题2：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，那么需要准备多长的水管？
分析： 这个问题可以归结为：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，
∵ ∠C = 90°，∠A = 30°，
求AB在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长
的水管？
在Rt△ABC 中，当∠A = 30°时，
师生互动：学生根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即，得到AB＝2BC＝70m
，也就是说，需要准备70m长的水管. 接着，让学生思考，出水口高度为50 m时，准备多长的水管？学生很容易得出结果：100 m .
设计意图： 通过课件的演示，教师让学生对生产生活中的实际问题进行主动探究。引导学生自主探究数学问题，使学生自觉思考，善于发现问题。
问题3：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，你能求出 BC∶AB 的值吗？
B ′ C ′ ∶AB ′ 呢？
通过这个问题，你能得出什么结论？
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的
对边与斜边的比值都等于. 是固定值
问题4：任意画一个 Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，
你能得出什么结论？
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的
对边与斜边的比值都等于 . 是固定值
小结： 综上可知，在Rt△ABC 中，∠C = 90°：当∠A = 30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；
当∠A = 45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值。
思考： 一般地，当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？对边与斜边的比这个比值，与三角形的大小有关吗？
探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’，使得：∠C = ∠C’ = 90°， ∠A = ∠A’ = α. 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
归纳：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值！只与∠A 的度数有关
师生互动：教师简要讲评，总结：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 用相似证明时，学生想不到或有疑问时教师注意点拨.
设计意图：学生通过分类情况的探讨，发现，并从中发现规律，引出正弦函数的概念.
定义：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦 . 记作 sin A .
∠B 的正弦如何表示呢？
师生互动：教师边讲边板书概念，强调写法和注意事项，举例求正弦值.
设计意图：以“在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.”为基础给出锐角正弦概念，结合图形，便于学生理解认识和应用.
二、巩固练习
1. 如图，判断：
（1）sin A = （ ）
（2）sin B = （ ）
（3）sin A = 0.6 m （ ）
（4）sin B = 0.8 （ ）
注意(1) sinA 没有单位 (2)sinA 是一个比值
如图，判断：
sin A= （ ）
分析：
求∠A的正弦的前提：在直角三角中
例如，当∠A = 30°时，
当∠A = 45°时，
我们发现，∠A的正弦 sin A 随着∠A的变化而变化，对于锐角A 的每一个确定的值， sin A 有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是∠ A 的函数.
师生互动：教师组织学生进行练习，学生独立完成，之后由学生口答，说明依据.
设计意图：巩固加深对锐角正弦的理解和应用，培养学生应用意识以及综合运用知识的能力，并为此获得成功的体验.
三、例题讲解
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°， 求 sin A 和 sin B 的值。求∠A、 ∠B 的对边与斜边的比.
解：（1）在 Rt△ABC 中，
在 Rt△ABC 中，
师生互动：学生理解认识30°和45°的正弦值，尝试独立完成例1，一名学生板书，并解释做题依据与过程，师生评议，达成一致.
设计意图：通过例题讲解学会运用勾股定理和正弦概念求出一个角的正弦值.
四、巩固提升
1. 根据右图，求 sin A 和 sin B 的值．
2.在Rt△ABC 中，锐角A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值（ ）
A.扩大 100 倍 B.缩小 倍
C.不变 D.不能确定
分析：sin A的值，只与∠A 的度数有关，与三角形的大小无关
已知△ABC中，∠C = 90°，sinA= 若AB = 10， 求 BC的值.
小结：在直角三角形中，已知斜边、一锐角的正弦值和其对边中的任意两个量，可求第三个量。
已知△ABC中，∠ACB = 90°, CD⊥AB于D，若AB = 5，BC = 4，求 sin α 的值.
分析：sin α = sin B
归纳技巧: 求一个角的正弦值，①直接法：用定义②间接法：转化为求与它相等角的正弦值。
师生互动：学生独立完成，教师简单引导和讲评.
设计意图：巩固所学知识，进一步加深对新知的理解和应用.
五、能力提升
1. 在平面直角平面坐标系中,已知点A(3, 0)和B(0, -4)，则sin∠OAB=____
2. 如图，则 sin A =______ .
∠A为锐角，sin A 的取值范围 .
在△ABC中，∠C = 90°，sin A + sin B = ，AC + BC = 28，求AB的长.
师生互动：学生独立完成，小组内核对完成情况，教师简单引导和讲评.
设计意图：通过几道提高题巩固本节知识，发展学生的发散思维、求异思维.
六、课堂小结
1. 锐角三角函数定义:在直角三角形中
sin 30°= sin 45°=
sin A 是∠A 的函数.
师生互动：让学生参与小结，培养他们对所学知识的回顾思考习惯，通过小结也强调了本节课的重点，巩固所学知识.
设计意图：加强教学反思，将知识进行系统整理，总结方法，形成技能，提高学生的学习效果.
七、作业布置
完成课本相应练习。
板书设计：
28.1.1锐角三角函数
锐角三角函数定义: 在直角三角形中
sin 30°= sin 45°=
sin A 是∠A 的函数.

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