资源简介

6.1平面向量的概念
一、教学内容及其解析
1.内容：本单元教学包含1课时.向量的实际背景与概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量．
2.内容解析：
内容的本质：本单元是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习．在物理学中，位移、速度、力是既有大小又有方向的量，在数学中，我们可以以位移、速度、力等物理量为背景抽象出向量的概念． 受由用带箭头的线段表示位移启发，教科书用有向线段直观表示向量．零向量、单位向量是特殊而重要的向量．平行向量、相等向量、共线向量对具有特殊而重要关系的向量进行刻画．
蕴含的数学思想和方法：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有物理背景和几何背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．向量是从丰富的物理背景中抽象出来的，体现了数学抽象的过程.向量是沟通几何与代数的桥梁，因此数形结合是研究向量的重要的思想方法.由于向量与数量具有结构上的类似，因此在研究向量的过程中用到了类比的方法.
知识的上下位关系：
育人价值：向量是沟通几何与代数的桥梁，在数学和物理学科中具有广泛的应用．用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，能提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养．
教学重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.
二、学情分析
学生学习过数量，可以类比着研究数量的内容、方法研究向量.向量是一个全新的概念，但是学生有生活经验和物理素材的认知基础，如物理学中的位移、力、速度等概念，所以不难理解向量的定义．共线向量与平行向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性．学生知道两条直线的平行关系，这与向量的平行关系不完全一致，学生在学习的过程中可能会混淆。
三、教学目标及其解析
目标 达成目标的标志
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示． 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景；初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．通过类比用带箭头的线段表示位移，理解用有向线段表示向量，进而理解向量的表示.
2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义． 借助有向线段的长度和方向，理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义；能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系．
四、教学问题诊断分析
认知基础 与将要达到水平的差异 难点
向量是一个全新的概念，但是学生有生活经验和物理素材的认知基础，如物理学中的位移、力、速度等概念，所以不难理解向量的定义． 在学习向量的表示时会遇到困难，一是用符号表示时，往往会忘记字母是带箭头的，这是由于受实数书写习惯的负迁移所致；二是容易将有向线段与向量混为一谈． 向量的概念
共线向量与平行向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性．两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量是平行向量，也就是共线向量，反之也对． 向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线容易混淆. 共线向量的概念
五、教学支持条件分析
借助GGB或几何画板作图，能直观形象地理解向量的概念与表示．
第1课时 平面向量的概念
（一）课时教学内容：向量的实际背景与概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量．
（二）课时教学目标：
1.经历从位移、速度、力等现实中的常见现象，抽象出向量的过程，理解平面向量的概念，提升数学抽象的核心素养。
2.经历由“有向线段表示位移”到“有向线段表示向量”的过程，知道有向线段的三要素，提升直观想象的核心素养。
3.通过类比实数的体系来研究向量，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；知道向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，提高数形结合、转化与化归的能力。
（三）教学重点与难点
1.教学重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.
2.教学难点：向量的概念和共线向量的概念.
（四）教学过程设计
第一阶段：学进去
【环节一】诱思
【问题1】请将下列各量按照一定的标准进行分类.
速度、长度、面积、体积、质量、密度、位移、压强、力、频率、加速度．
【预设】按照物理中的标量和矢量进行分类。标量：长度、面积、体积、质量、密度、压强、频率；矢量：速度、位移、力、加速度．
【追问1】标量和矢量的区别是什么？
【预设】标量只有大小；矢量既有大小又有方向.
【追问2】在数学中，将以上的两类物理量进行抽象得到数量和向量，请你试着给出这两个量的定义.
【预设】数量：只有大小没有方向的量叫做数量.
向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector）．
【追问3】说一说向量与数量的区别与联系.
【预设】向量两个要素：大小、方向；数量一个要素：大小.向量的大小是数量.
设计意图：首先让学生感受到要研究的内容不是凭空设想的，是来源于现实世界；其次通过举例激活学生
已有的相关经验，体会两种量之间的同与不同，形成区分两种量的必要性；然后通过比较、归纳两类典型
丰富实例的共性，给出两种量的定义．问题1让学生经历“观察、辨别、分化、类比、抽象、建构”的过程.
　　【环节二】导学
【问题2】请你根据新知的研究路径，谈一谈该如何研究向量呢？
【预设1】实际背景 归纳共同属性 概念 表示 性质 应用
【预设2】实际背景 数量概念 表示 性质 应用
【预设3】我们已经从物理当中抽象出了向量的概念，接下来学习向量的表示.
【追问】如何表示向量呢？你是怎么想到的？
【预设】向量可以用一条带着箭头的线段表示，是从物理中的位移的表示抽象出来的.
向量的几何表示法：
【有向线段】在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment）（图6.1-2）．
向量的符号表示法：，…… 注意：印刷用黑体a，书写用．
　　
【追问3】线段AB与线段BA是同一条线段，向量与向量是同一个向量吗？
【预设】不是同一个向量，因为起点不同，方向不同.
　　【追问4】说一说向量和有向线段的关系是什么？
【预设】它们都是既有大小又有方向的量，但有向线段不是向量．有向线段的基本要素是起点、方向和长
度；向量的基本要素是大小和方向．我们用有向线段表示向量，用有向线段的方向表示向量的方向，用有
向线段的长度表示向量的大小，与起点的具体位置无关．
【追问5】向量是一个二元概念，它的大小如何表示呢？
【预设】可以用有向线段的长度表示.
【向量的模】向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．
设计意图：先明确数学中新知的研究路径，引领学生站在系统的高度明确向量的学习过程。学生类比着数量的学习过程，能够自然地想要要研究向量的表示，这种类比的学习方式贯穿学生学习高中数学的始终。学生从熟悉的位移表示入手，体会用“带有方向的线段”表示向量的合理性；在教师的引导下，得到向量的几何表示以及向量的模的概念和表示。
【特殊向量】长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记作0．
　　 模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）．
设计意图：对于零向量和单位向量、引导学生在研究一组对象时，常常关注特殊对象；同时引导学生体会
向量中的“零向量和单位向量”，类似于实数中的“零元和单位元”，为后续类比实数的运算研究向量做
铺垫.
【问题3】两个向量之间有哪些关系呢？
【预设1】大小的角度：类比数量之间有大于、等于、小于关系，猜想向量也有类似的关系.
【预设2】方向的角度：向量可以用有向线段表示，类比直线之间的位置关系，如：平行、垂直、相交
【追问1】以上的猜想都是正确的吗？
【预设1】数量有大小而没有方向，其大小有正数、负数和0之分，既可进行运算，又可比较大小；向量的
模是正数 或 0，如图6.1-3左图所示，由于向量a和b的方向不能比较大小，于是|a|>|b|有意义，而a>b没有意义．所以不能说a>b，即使如图6.1-3右图所示，向量a和b的方向相同也不行．所以两个向量之间只有相等关系，但不能比较大小.
　　
　　【相等向量】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）．
　　表示：如图6.1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b．
　　
注意：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定．
【预设2】表示两个向量的有向线段是平行关系，则这两个向量平行；表示两个向量的有向线段是垂直关系，则这两个向量垂直；表示两个向量的有向线段是重合关系，则这两个向量重合.
【追问2】我们今天主要研究平行关系，这种关系，还有其他的表达方式吗？
【预设1】两个向量方向相同或者相反，则这两个向量平行.
【预设2】两个非零向量方向相同或者相反，则这两个向量平行.
【平行向量】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors）．
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．
　　表示：向量a与b平行，记作a∥b．
　　如图6.1-4，用有向线段表示的向量a与b是两个平行向量．
　　
　 【追问3】向量平行与线段平行有什么区别和联系
　 【预设】如图6.1-5，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线，在上任取一点则
可在上分别作出．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上．
　　
　　
线段共线，则它们一定在同一条直线上；线段平行，则它们不能在一条直线上．
平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）．
设计意图：首先让学生体会研究问题的基本逻辑：向量概念和表示——特殊向量——两个向量之间的关系；其次，体会概念的重要性，对于两个向量之间的关系要从概念入手进行分析；还要避免向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线相混淆，让学生认清平行向量与平行线、共线向量与共线线段的区别．　
第二阶段：讲出来
【环节三】展示
【问题4】请谈一谈你对向量的认识。
【环节四】交流
【问题5】请其余同学补充、质疑、交流。
第三阶段：灵活用
【环节五】示范
　　【例1】在图6.1-7中，分别用向量表示地至两地的位移，并根据图中的比例尺，求出地至两地的实际距离（精确到）．
　　
　【预设】表示地至地的位移，且____________；
表示地至地的位移，且_____________.
　设计意图：这是一个简单的问题．要求用向量表示位移并求两点间的距离.画出有向线段表示位移，目的在于
从向量的角度认识位移，以正确理解向量概念及其几何表示；两点间的距离就是相应有向线段的长度，也就
是相应向量的模.
【例2】如图6.1-8，设是正六边形的中心．
　　（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与相等的向量．
【预设】（1）是共线向量；是共线向量；是共线向量．
（2）
设计意图：结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和共线向量的概念，正六边形的边长等于其外接圆的半径，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质.学生可以利用正六边形的性质结合图形进行分析，还可以让学生判断向量是否相等，意在通过长度相等且方向相反的两个向量不相等，让学生从反面认识相等向量的概念，也为后继引入相反向量的概念进行铺垫.
【环节五】模仿
【练习1】判断下列命题的真假.
（1）若a与b都是单位向量，则a=b．
（2）若a与b是平行向量，则a=b．
（3）若向量a // b, b// c ,则a// c.
（4）把表示单位向量的有向线段起点放到一起，终点形成一个圆.
【预设】（1）假命题（2）假命题（3）假命题（4）真命题
【环节六】迁移
【练习2】如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
【预设】相等的非零向量共有24对.
易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对.
设计意图：结合正方形，直角三角形的一些几何性质，让学生进一步巩固相等向量的概念，这个过程中需要学生有分类讨论的意识，如何分类是这个问题需要突破的难点.
【小结】请你谈谈本节课学了哪些内容，有什么体会。
【追问1】我们研究的起点是什么？研究的基本路径是什么？
【预设】实际背景 归纳共同属性 向量的概念 几何表示 特殊向量
两个向量的关系
【追问2】研究的过程中，用到了哪些思想方法呢？
【预设】数学抽象、数形结合、类比
【追问3】量分为两类，一类是数量，另一类是向量.对于向量你觉得后续还可以研究哪些内容？
数量：实际背景 数量 实数 运算及性质 应用
【预设】向量之间的运算，位置关系，应用.
　设计意图：回顾整理本节课研究的内容（基本知识和基本技能）、研究方法（基本思想方法）和研究路径（基本活动经验），让学生明确本节课学习的内容和要求．这个环节也承担章引言的作用，让学生知道本章研究的对象时什么.培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，进而发展学生数学抽象和直观想象的素养..
　　（五）目标检测设计
　　1.下列结论正确的是______（填写正确的序号）．
　　（1）若a与b都是单位向量，则a=b．
　　（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
　　（3）直角坐标平面上的轴、轴都是向量．
　　（4）若a与b是平行向量，则a=b．
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合．
　　（6）海拔、温度、角度都不是向量．
　2.如图，的三边均不相等，分别是的中点．
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模相等的向量；
（3）写出与相等的向量．
参考答案：1.（2）（5）（6）
2.(1)(2)(3)
（六）作业设计
1. 下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向
③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
2. （多选）下列叙述中错误的是（ ）
A．若a=b，则3a>2b B．若a // b，则a与b的方向相同或相反
C．若向量a // b, b// c ,则a// c D．对任一非零向量a， 是一个单位向量
3.如图，点是的对角线的交点，且，分别写出和折线 中与a,b，c相等的向量.
4.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
参考答案：
1.A 2. ABC
3.与a相等的向量有，
与b相等的向量有，与c相等的向量有.
4. （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

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