资源简介

教学准备
1. 教学目标
知识与技能
掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线．
过程与方法
掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．
情感、态度与价值观
通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．
2. 教学重点/难点
教学重点
双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程．
教学难点
在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
教学过程
教学过程设计

新知探究
探究点一 双曲线的定义
【问题导思】
1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
【提示】　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
【提示】　双曲线的一支．
3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|
【提示】　只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．
4 . 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵
表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．
探究点二 双曲线的标准方程
【问题导思】
1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？
【提示】　能．
(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得
(4)化简：移项，平方后可得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
双曲线的标准方程
【典例精讲】
命题方向一 双曲线标准方程的理解
例1.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题
①曲线C不可能是圆；
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
其中正确命题的序号是________．
【解析】　当4－k＝k－1＝0时，即时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题．
【答案】　③④
【小结】
1．双曲线焦点在x轴上 标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上 标准方程中y2项的系数为正．
2．在曲线方程中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线．
【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程表示双曲线”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
【答案】A
命题方向二 求双曲线的标准方程
例2.
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程．
解析：
(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为
(2)方法一　设双曲线方程为
由题意易求得
又双曲线过点
又∵
故所求双曲线的方程为
方法二　设双曲线方程为 (－4【小结】
1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法．
2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：
(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；
(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；
(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．
【变式训练】
(1)与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________．
(2)设双曲线的焦点为双曲线上的一点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则双曲线的方程为________．
【解析】　
(1)由题意知双曲线的焦点为
设其方程为，又过Q(2,1)，则解得a2＝2，则所求双曲线的方程为
(2)由双曲线的定义可知2a＝4，即a＝2，又∴b2＝c2－a2＝3，又因为双曲线的焦点在y轴上，故其方程为
【答案】
命题方向三 双曲线定义的应用
例3.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
解析：如图
建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝330×4＝1 320，
即2a＝1 320，a＝660.
又|AB|＝2 000，
所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.
因为|PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
小结　
(1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．
【变式训练】已知圆C1：和圆C2：动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，
则2a＝2，a＝1，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝8
因此所求动点M的轨迹方程为
当堂检测
1．设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.
【答案】B
2．若k>1，则关于x，y的方程所表示的曲线是（　）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
【解析】将双曲线方程化为标准形式
所以a2＝1，
∴右焦点坐标为
【答案】C
4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程．
【解】由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有
∴a＝4，∴b2＝62－42＝20，
∴双曲线的标准方程为
课堂小结
1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：
(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支．
(2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.
板书
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