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第六章 实数
·6.1平方根·
第二课时 平方根
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本课是前面学习的算术平方根的延续，同时也是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础.但该阶段的学生容易对平方根与算术平方根进行混淆，因此在教学过程需要跟学生讲清楚两者的区别于联系.
二、教学目标
1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2.能正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
三、重点难点
【教学重点】
平方根的概念及求法.
【教学难点】
平方根与算术平方根联系与区别.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.教师对算术平方根进行复习回顾：
一般地，若一个非负数x的平方等于a，即x =a，
则x叫做a的算术平方根，非负数a的算术平方根记作,读作“根号a”.
教师提问：一个数的算术平方根是什么？举例25和.
学生代表口述答案.
2.教师提问：平方是49的数有几个？
教师引导学生思考：什么数的平方是49？
预设：有学生回答7，有学生回答-7，此时教师提问-7正确吗？学生积极回答-72也等于49.
教师总结：这样的数有2个，那他们之间存在什么关系呢？
生：相反数.
师：由前面的学习可知7是49的算术平方根，那么-7与49有什么关系呢？
引起学生思考，教师借此揭示课题：本节课我们将带着这个问题进行新科学系.
设计意图：先复习算术平方根的相关之，再引出主题，让学生感受到平方等于49的数有两个，并且为相反数，为归纳平方根的概念做铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
探索一：平方根的概念
根据上面的研究过程填表：
师：如果我们把±1、±4、±6、±7、±分别叫做1、16、36、49、的平方根， 你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
教师引导学生仿照算术平方根的概念结合上面的实例归纳平方根的概念，如果学生总结不到位，教师加以修正得到平方根的概念：
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x =a，那么x叫做a的平方根．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
教师举例：例如：3和-3是9的平方根，简记±3是9的平方根．
让学生完成上面的运算，学生之间相互纠正，教师引导学生比较两图中的运算特点，联想他们之间的关系.
学生猜想两种运算互为逆运算.教师展示PPT.
练一练：
下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.
（1）-64 （2）0 （3）
学生进行练习，-64没有平方根，0的平方根还是0，的平方根是±.
教师提问：通过刚才的练习，你们有发现正数的平方根有什么特点？
生：正数的平方根有两个，它们互为相反数；
教师追问1：0的平方根是多少？
生：0的平方根是0.
教师追问2：负数有平方根吗？
生：负数没有平方根.
教师追问3：为什么负数没有平方根？
学生联想到算数平方根，回答：因为一个数的平方为0或正数，因此负数没有平方根.
教师在PPT上延时开平方与平方的对比表，学生完成表格：
教师提问：如果知道一个数的算术平方根，既可以立即写出他的负的平方根，这是为什么呢？
学生小组内交流：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；其中正的平方根即为它的算术平方根，由此就可以写出它的负的平方根.
设计意图：本节课主要是通过填表及一些具体实例让学生对平方根有一定的认知，在此基础上，引导学生用文字语言类比算术平方根的概念写出平方根的概念，使学生的学习形成正迁移.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.
（1）0.16 （2）6 （3）（-4）2
例2.计算
例3.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值．
设计意图：在学生学习完新课时，通过对例题的研究和练习，再次强化学生对平方根概念的认识.
【答案】例1.（1）0.16的平方根是±0.4；（2）6的平方根是±；（3）（-4）2的平方根是±4.
例2.原式=12.
例3.a+2b的值为9.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列表述正确的是( )
A.9的平方根是-3 B.-7是-49的平方根
C.-15是225的平方根 D.(-4)2的平方根是-4
2.下列各数中没有平方根的是( )
A. (-10)2 B. 0 C. D. -（-5）2
3. 平方得的数是______;64开平方得_____;-6是______的平方根;（-9）2的平方根是_____.
4.填空：
（1）64的算术平方根是________；
（2）(-6)2的平方根是________；
（3）若a的平方根只有一个,那么a=_____；
（4）若数b的一个平方根是1.2，那么b的另一个平方根是________；
（5）的算术平方根是________；
5.若3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，求a的值及这个正数分别是多少？
设计意图：本环节为基础习题训练，主要为了强化学生对本课知识的理解，巩固基础.
【答案】1.C 2.D 3.±；±8；36；±9.
（1）8（2）±6（3）0（4）-1.2（5）3.
这个正数是1.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1. 36的平方根是（ ）
A.±6 B.6 C.-6 D.±
2.（2019·深圳模拟）设a是9的平方根，b=()2，则a与b的关系是（ ）
A.a=±b B.a=b
C.a=-b D.以上结论都不对
3.一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.﹣2
4.（2019 滨州）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m+n)3的平方根为（　　）
A.4 B. 8 C.±4 D. ±8
5.（2018 无锡期末）若2x-5没有平方根，则x的取值范围为（　　）
A.x＞ B.x≥ C.x≠ D.x＜
6. 已知实数x，y满足（x2+y2）2-16=0，则x2+y2= ．
7.（2019春 孝义市期中）如果a，b是2019的两个平方根，则a+b-2ab= ．
8. 对于代数式3m-9，当m取何值时，
（1）有两个平方根，并且它们互为相反数？
（2）只有一个平方根？
（3）没有平方根？
9. 已知=2,求2x+5的平方根.
10.（2019 荔城区校级期中）已知x=1-a，y=2a-5．
（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；
（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．
设计意图：通过本环节的练习，可以加深学生对平方根的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力.
【答案】1.A 2.A 3.B 4.D 5.D
4 7.4038
8.（1）m＞3.（2）m=3.（3）m＜3.
9.2x+5的平方根为3和-3.
10.（1）x+y+16的平方根是±3；
（2）这个数为9.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.你能求解下列解方程吗？
（1）(2x-1)2-169=0
（2）(x-m)2=n(m,n是已知数，且n＞0)
设计意图：本环节主要考察平方根与方程的应用，展现了教学有梯度的理念.
【答案】1.（1）解得x=﹣6或x=7.
（2）解得x=m+或x=m-
第七环节 【总结反思 知识内化】
1.平方根的概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x =a，那么x叫做a的平方根．
2.平方根的表示法:±（a≥0）.
3.平方根的性质
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0.负数没有平方根.
4.平方与开平方互为逆运算，利用这一关系可以求一个数的平方根.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.

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