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第一章 三角形
1.3探索三角形全等的条件
第1课时 SSS
教学目标
1. 掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．
2.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能进行有条理的思考，体会分类思想在数学活动中的应用，积累数学活动经验．
3.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．
4.通过探索活动，体验数学知识在现实生活中的广泛应用，培养学生勇于探索、敢于创新的精神．
二、教学重难点
重点：三角形全等的判定方法-SSS．
难点：三角形全等条件的探索过程．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【情境引入】 情境：小明踢球时，不小心把学校花架上一块三角形玻璃击碎了，想赶紧去配一块，可是玻璃已经碎了，你能帮他想想办法吗？ 问题1：要配置玻璃，你先想到什么？ 预设答案：所配三角形玻璃与原三角形玻璃全等． 追问：判断两个三角形全等需要几个条件？ 预设答案：由两个三角形全等的性质，可得：当两个三角形全等时，如下图： 对应边：AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C' 对应角：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 反过来：当满足这六个条件时，这两个三角形全等． 教师活动：出示情境，通过问题引导学生思考，得出判断两个三角形需要六个条件后，进一步引导学生思考，条件能否尽可能的减少？ 积极思考 通过问题情境的创设，引入本课的课题，激发学生的好奇心，同时使学生体会探索的过程是为了解决问题的实际需要．
环节二 探究 新知 【探究】 问题2：只给1个条件画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 预设答案： ①只满足一条边对应相等时： ②只满足一个角对应相等时： 通过举例，得到只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等． 问题3：只给2个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 预设答案：一边一角，两边，两角． 【操作】分别按照下面的条件做一做． (1)三角形的一个内角为30°，一条边为3 cm； (2)三角形的两个内角为30°和50°； (3)三角形的两条边分别为4 cm，6 cm． 预设答案： (1) (2) (3) 通过以上讨论可知，只给出1个或2个条件时，都不能保证所画出的两个三角形一定全等． 问题4：如果给出3个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 预设答案：三条边，三个角，两边一角，两角一边． 追问1：已知一个三角形的三个内角分别为，和，你能画出这个三角形吗？ 预设答案： 结论：三个内角分别相等的两个三角形不一定全等． 追问2：用三根长度分别为4 cm，5 cm和7 cm的木棒摆一个三角形，把你摆出的三角形与同伴摆出的进行比较，它们一定全等吗？ 预设答案： 通过观察，拼出的三角形的大小和形状都是一样的．已知三角形的三边长度，所拼出的三角形都是全等的． 【归纳】 三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS”． 几何语言： 如图，在△ABC与△A'B'C'中： ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)． 上面的结论说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了．如下图： 用三根木条订成一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 下图是用四根木条订成的框架，它的形状是可以改变的，它不具有稳定性． → 【交流】 三角形稳定性在生活中有什么应用？请距离说明． 预设答案：自行车的三角区、桥梁、建筑物屋顶等． 学生实际操作，小组交流，汇总并举手发言． 学生思考并回答 通过学生实践举例，形成认识：只给出一个元素或两个元素不能保证所画的三角形一定全等. 通过对前面的总结，进一步加深对三角形的稳定性的理解.并通过让学生发现生产生活中利用三角形稳定性的例子，体会数学知识在生活中的应用.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】如图，在△ABC中，ABAC，AD是中线， △ABC与△ABD全等吗？为什么？ 分析： 解：△ACD≌△ABD．理由如下： 在△ABC与△ABD中， 因为AD是△ABC中线，所以BDCD． 又因为ABAC，ADAD． 根据SSS，所以△ACD≌△ABD． 明确例题的做法 通过例题的训练，让学生进一步熟悉在利用SSS判定三角形全等的方法，提高学生对所学知识的应用意识.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑. 1.如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（ ） A.∠A=∠C B. AB=AD C. AD//BC D. AB//CD 解：由AB=CD，AD=CB，BD=BD得， △CDB≌△ABD， 故∠A=∠C， A选项正确． ∠ADB=∠CBD， 从而AD//BC，C正确． ∠ABD=∠CDB， 从而AB//CD，D正确． 故选B． 2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC.点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求证：△ABD≌△ACE. 证明：∵BE=CD，(已知) ∴ BE–DE=CD–DE，(等式的性质) 即BD=CE. 在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE(SSS)． 3.如图，已知AD=BC，BD=AC．试说明∠ADB=∠BCA． 证明：在△ADB和△BCA中， ∴ △ABD≌△BAC.(SSS) ∴ ∠ADB=∠BCA 自主完成练习，再集体交流 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.
环节六 布置 作业 教科书 第100页 习题 4.6 第2、3题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.第四章 三角形
4.3探索三角形全等的条件
第2课时ASA(AAS)
教学目标
1.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法．
2.学会运用“角边角”“角角边”判定方法进行简单的说理．
3.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．
4.通过探索活动，体验数学知识在现实生活中的广泛应用，培养学生勇于探索、敢于创新的精神．
二、教学重难点
重点：应用“角边角”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．
难点：能运用“角边角”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件．
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【情境引入】 情境：小明踢球时，不小心把学校花架上一块三角形玻璃击碎了，想赶紧去配一块，可是玻璃已经碎了，你能帮他想想办法吗？ 问题1：上节课中，我们虽然找出了一种方法，利用SSS就可以得到一个与原三角形全等的三角形，但是玻璃已经碎了，我们无法测出它的三条边，小明是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？ 教师活动：出示情境，通过问题引导学生思考，学生暂时还不能回答出这个问题，先保留疑问，通过接下来的探究，进行解决． 积极思考 承接上一课时的问题情境，继续探究，激发学生的好奇心，同时使学生体会探索的过程是为了解决问题的实际需要．
环节二 探究 新知 【探究】 如果给出3个条件画三角形，有4种可能的情况：三条边、三个角、两角一边、两边一角．由前面的学习可知：如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的（SSS）． 问题2：如果已知一个三角形的两角及一边，有几种可能的情况呢？ 预设答案： ①两角及两角所夹的边； ②两角及其中一个角的对边． 【操作】 如果三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边是2 cm，如下图，你能画出这个三角形吗？ 预设答案： 追问1：将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的？ 预设答案：所画的三角形都全等． 追问2：改变上述条件中的角度和边长，你能得到同样的结论吗？如下图： 预设答案： 所画的三角形都全等． 追问3：由此你能得出什么规律？ 【归纳】 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”． 几何语言： 如图，在△ABC与△A'B'C'中： ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)． 【探究】 问题3：如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“两角及两角所夹的边”这种情况吗？ 预设答案：根据三角形的内角和是180°，如果两个三角形有两个内角分别相等，则另一个内角一定也相等，从而可以把“两角及其中一个角的对边”转化为“两角及两角所夹的边”．也就是说，已知“两角及其中一个角的对边”所作出的的三角形也都是全等的． 【归纳】 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”． 几何语言： 如图，在△ABC与△A'B'C'中： ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)． 【探究】 问题4：如果两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个三角形全等吗？为什么？ 预设答案：因为直角三角形有一个隐含的条件，即有一个角是90°，故如果两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，总可以转化为“ASA”或“AAS”，从而这两个直角三角形全等． 【交流】 现在你能解决情境中的问题了吗？小明带哪一块碎片去就可以配一块与原来一样的三角形玻璃呢？ 预设答案：带第①块碎片去．因为在第①块碎片中，可以得到这块三角形玻璃的两个角和这两个角所夹的边，由此所配的三角形玻璃都是全等的． 抢答 学生实际操作，小组交流，汇总并举手发言． 尝试用文字语言、几何语言等归纳． 学生思考并回答． 学生思考并回答 培养学生分类的习惯，便于养成严谨的数学思维． 通过学生实践举例，形成认识：已知两角及两角的夹边，所作的三角形都全等． 抽象概括，得到利用“ASA”判定三角形全等的方法． 结合前面所学知识，培养学生的转化思想． 体会由一般到特殊的探究过程．便于知识的正迁移． 利用所学知识解决实际问题，感受数学在生活中的应用．
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例1】如图，AB与CD相交于点O， O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？ 分析： 解： △AOC≌△BOD．理由如下： 在△AOC与△BOD中， 因为O是AB的中点，所以AOBO． 又因为∠A∠B，且∠AOC∠BOD． 根据ASA，所以△AOC≌△BOD． 【例2】如下图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C． 求证：AD=AE． 分析： 证明：在△ADC和△AEB中， ∴△ADC≌△AEB（ASA） ∴AD=AE 明确例题的做法 通过例题的训练，让学生进一步熟悉在利用ASA判定三角形全等的方法，提高学生对所学知识的应用意识.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑. 1.如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是( ) A.AAS B.ASA C.SAS D.SSS 解：从图形中可以确定三角形的两个角；以及这两个角所夹的边，故依据ASA就可以画出与这个三角形全等的三角形． 故选B． 2.如图，∠ABC＝∠DCB，只需补充条件__________；就可以根据“AAS”得到△ABC≌△DCB． 分析：要利用“AAS”证明△ABC≌△DCB．从已知条件中可知，这两个三角形已经有一个角对应相等：∠ABC＝∠DCB；有一条公共边：BC＝BC；所以需要再添加一个角对应相等的条件．结合图形可知，应添加：∠A＝∠D． 3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2．求证AB=CD． 证明：在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA(AAS) ∴AB=CD． 自主完成练习，再集体交流 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.
环节六 布置 作业 教科书 第102页 习题4.7 第1，2，3题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.第四章 三角形
4.3探索三角形全等的条件
第3课时SAS
教学目标
1.理解并掌握判定两个三角形全等“边角边”判定定理．
2.在探究“边角边”判定定理的过程中，能进行有条理的思考．
3.通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．
4.通过探究对给定的两边及一角来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力．
二、教学重难点
重点：理解并掌握判定两个三角形全等的“边角边”判定方法．
难点：理解并掌握判定两个三角形全等的“边角边”判定方法．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【回顾】 问题1：到目前为止，我们学习了哪些判定两个三角形全等的方法？ 预设答案：SSS，ASA，AAS三种判定三角形全等的方法． 教师活动：提出问题，引导学生回顾已经学习的判定三角形全等的方法，在此基础上，提出新的问题：还有其他证明三角形全等的方法吗？通过接下来的探究，进行解决． 回顾所学知识，积极思考． 通过复习，回顾已经掌握的判定三角形全等的三种方法，进而引出新的思考，是否还有其他的方法，为讲解新知铺垫．
环节二 探究 新知 【探究】 如果给出3个条件画三角形，有4种可能的情况：三条边、三个角、两角一边、两边一角．前面我们分别探究了“三条边、三个角、两角一边”这三种情况，得到了SSS，ASA，AAS三种判定三角形全等的方法． 问题2：如果已知一个三角形的两边及一角，有几种可能的情况呢？ 预设答案： ①两边及两边所夹的角； ②两边及其中一个边的对角． 【操作】 如果三角形的两条边分别为2.5 cm和3.5 cm，它们所夹的角为40°，如下图，你能画出这个三角形吗？ 教师活动：让学生动手操作，利用直尺、量角器进行作图，教师巡视，并对作图有困难的学生，适当提醒． 预设答案： 追问1：将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的？ 预设答案：所画的三角形都全等． 追问2：改变上述条件中的角度和边长，你能得到同样的结论吗？如下图： 预设答案： 所画的三角形都全等． 追问3：由此你能得出什么规律？ 【归纳】 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边角边”或“SAS”． 几何语言： 如图，在△ABC与△A'B'C'中： ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)． 【探究】 问题3：如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，如：两条边长分别为2.5 cm和3.5 cm，长度为2.5 cm的边所对的角为40°，情况会怎样呢？ 预设答案： 教师活动：让学生动手操作，利用直尺、量角器，圆规进行作图，并尝试让学生自己梳理作图的关键步骤，教师适当补充：①作∠B=40°，②在∠B的一条边上取BA=3.5 cm，③以点A为圆心，以2.5 cm为半径画弧，与∠B的另一边交于点C． 追问：你发现了什么？ 预设答案：按照上述已知条件，作出的三角形有2个，这两个三角形不全等． 【归纳】 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等(即SSA不能判定两个三角形全等)． 【想一想】 如图，在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，增加一个什么条件就可以判定这两个三角形全等？ 教师活动：充分调动学生的积极性，让学生充当小讲师进行讲解． 预设答案：已知两个三角形的一组对边，一组对角分别相等． (1)添加一组对边相等： ∠A=∠D，AB=DE，AC=DF 利用SAS判定△ABC≌△DEF． (2)添加一组对角相等： ①∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E 利用ASA判定△ABC≌△DEF． ②∠A=∠D，AB=DE，∠C=∠F 利用AAS判定△ABC≌△DEF． 追问：如果增加条件BC=EF，能判定这两个三角形全等吗？为什么？ 预设答案：不能，因为SSA不能判定两个三角形全等． 积极思考，举手回答 学生实际操作，小组交流，汇总并举手发言． 尝试用文字语言、几何语言等归纳． 学生动手作图，小组交流后，得出初步结论 积极思考，并抢答，尝试讲解 学生思考并回答 培养学生分类的习惯，便于养成严谨的数学思维． 通过学生实践举例，形成认识：已知两边及两边的夹角，所作的三角形都全等． 抽象概括，得到利用“SAS”判定三角形全等的方法． 进一步探究判定两个三角形全等的条件，得出“SSA”不能判定两个三角形全等． 通过想一想环节，使学生更加熟练掌握判定三角形全等的方法，并能够在解题时灵活应用． 进一步强调SSA不能判定两个三角形全等．
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例1】如图，已知AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC．△AOD与△BOC全等吗？请说明理由． 分析： 解：△AOD≌△BOC．理由如下： 在△AOD与△BOC中， 因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC． 又因为OA=OB，OD=OC． 根据SAS，所以△AOD≌△BOC． 【例2】如图，已知△ABC≌△A1B1C1，D与D1分别是BC，B1C1上的一点，且BD=B1D1．AD与A1D1相等吗？为什么？ 分析： 解：AD=A1D1．理由如下： 在△ABD与△A1B1D1中， 因为△ABC≌△A1B1C1，所以AB=A1B1，∠B=∠B1． 又因为BD=B1D1． 根据SAS，所以△ABD≌△A1B1D1． 所以AD=A1D1． 明确例题的做法 通过例题的训练，让学生进一步熟悉利用SAS判定三角形全等的方法，提高学生对所学知识的应用意识.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑. 1.如图，已知：AC=AD，且AB平分∠CAD，则利用( )可证明△ABC和△ABD全等. A.SAS B.ASA C.SSA D.SSS 解：从图形及已知条件可得：AC=AD，∠BAC＝∠BAD，AB＝AB．故根据SAS可得△ABC≌△ABD． 故选A． 2.如图，已知ABAD，要使△ABC与△ADC全等，还需要增加一个什么条件？ 分析：(1)已知ABAD，ACAC，可添加BC=DC，根据SSS可得△ABC≌△ADC． (2)已知ABAD，ACAC，可添加∠BAC=∠DAC，根据SAS可得△ABC≌△ADC． 3.如图，△EFG的三条边相等，三个内角也相等，且EH=FI=GJ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． 证明：△EHJ≌△FIH，理由如下： ∵△EFG的三条边相等，三个内角也相等， ∴EF=FG=GE，∠E=∠F=∠G=60°． 又∵EH=FI=GJ， ∴FH=GI=EJ． 在△EHJ和△FIH中 EH=FI，∠E=∠F，EJ = FH， ∴△EHJ≌△FIH(SAS)． 自主完成练习，再集体交流 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.
环节六 布置 作业 教科书 第104页 习题 4.8 第1、2题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.

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