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《平方差公式》教学设计
【教学内容】浙教版义务教育教科书数学七年级下册第3章整式乘除中乘法公式的第1课时
【教学目标】
1.会推导平方差公式，并了解平方差公式的几何背景。
2.掌握平方差公式的形式、特点，并能运用平方差公式进行简单的运算。
3.体验推导平方差公式的过程中，培养学生分析、综合、抽象和概括能力，发展学生的符号意识和运算能力。
【教学重难点】
重点：推导平方差公式，并会运用公式进行简单计算。
难点：正确理解公式中a与b的广泛含义。
基于以上思考，本节课确立了“问题情境、抽象建模、验证模型、模型辨析、应用拓展”的教学思路，遵循知识产生的过程，从特殊到一般，再一般到特殊将所学的知识用于实践中。
【教学准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、创设情境
活动1：如图1，在边长为a的正方形草坪中建造一个边长为b（b图1 图2
活动2：根据多项式乘法法则计算：
；；；；；
，观察计算结果中的项数，你有什么发现？
设计意图：本环节涉及两个数学活动，活动一通过计算剩下草坪的面积，借助图形直观，学生易于发现结论有助于学生，感悟数与形的关系，了解平方差公式及和背景。活动2说明了平方差公式与多项式乘法之间的内在联系，平方差公式是多项式乘以多项式的特殊情况。渗透研究数学问题的基本策略，由一般到特殊，活动的设计遵循先“形”后“数”，先“直观”后“抽象”的教学原则。
二、抽象模型
通过刚才的计算，两个二项式相乘，结果可能是二项式。那么相乘的这两个二项式是满足什么条件，乘积才会是二项式呢？你能用数学符号表示你的猜想吗？
设计意图：以“乘积的结果有多少项”为切入点，接下来问题串进一步引导学生主动建构平方差公式模型，渗透数学建模的思想，在师生互动中进一步发展学生的符号意识，感受数学思想。同时培养了学生观察、推导、归纳概括能力和语言表达能力。
教师板书：
特殊的多项式乘法运算——平方差公式
左边 右边
三、验证模型
你能通过计算证明你的猜想正确吗？
设计意图：通过计算证明结论正确，用图形直观到计算推演，体现了合情推理与演绎推理融合。从实际问题中抽象出数学模型，再证明数学模型的正确，符合课标对模型思想的基本要求。
四、模型辨析
1.平方差公式的特征是什么？如何判断多项式乘多项式能否使用平方差公式直接计算？
2.下列各式符合平方差公式的特征吗？如果符合请您指出对应的a和b，并计算结果。
计算：；；；；；；
教师板书：
特殊的多项式乘法运算——平方差公式
左边 右边
注：字母a和b表示的都是整式。
解题的步骤：一判断，二套公式，三化简。
设计意图：引导学生观察公式的结构特征，在互动交流中自主辨析，逐步理解公式的本质属性，即相同的项为a相反的向量为b，与顺序无关。最后一题能够更好的帮助学生理解公式中字母a和b的广泛意义，把多项式看成一项，感受整体数学思想，进一步发展符号意识。
五、应用拓展
下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（ ）
B. C. D.
设计意图：进一步认识应用平方差公式，首先要变形成满足平方差的两数和与两数差相乘的形式，再运用公式来求解。若不能用平方差公式计算，仍然要运用多项式乘法去做，进一步说明了平方差公式是多项式乘法的特殊情况。
阅读材料：
12世纪，印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》中给出了一种平方算法：。例如，2972＝（297+3）（297-3）+ 32＝300×294＋９=88209．婆什迦罗实际上运用了平方差公式的另一种形式。[[endnoteRef:1]]我们可以借鉴该公式进行简便计算，例如102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996. [1: ]
计算：
设计意图：引导学生灵活运用所学的平方差公式解决问题，体验到用平方差公式计算的优越性。让学生感受数学文化，数学史的魅力，激发学生学习兴趣。
计算：
设计意图：第1题让学生感受到某些实际问题，需要多次使用平方差公式。第2题引导学生自主建构平方差公式的模型，把隐含平方差公式特征的整式乘法，通过整理变形，在使用平方差公式完成计算。
六、课堂小结，布置作业。
1.本节课我们学方差公式：，我们在运用公式时，要注意什么？
2.作业布置
设计意图：让学生进一步感悟平方差公式的特征，学会正确运用平方差公式进行计算，通过学生自己小结，了解学生掌握的情况。
【教学思考】
1.以数学活动为载体，发展符号意识。
符号意识是指能从具体的情况中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示；会进行符号间的转换；能选择适当的程序解决用符号所表示的问题。在抽象建模环节注重发展学生符号意识，引导学生关注等式的主要特征，引导学生用数学语言描述数学结论，自主建构出平方差公式，模型。通过解决实际问题让学生学会运用平方差公式进行运算和推理，感受到平方差公式中a与b的广泛意义，进一步发展符号意识。
2.以知识为载体，渗透数学思想方法。
平方差公式蕴含了丰富的数学思想方法，教学中应在引导学生探索平方差公式的生成过程中，把“数学思想方法”的教学进入到数学知识教学中，在“问题情境”环节中，渗透了数形结合的思想、一般到特殊的思想方法。在“抽象建模”的环节中，让学生自主建构，感受数学建模的思想。在“应用拓展”环节，解决实际问题，让学生感受化归、类比、整体等思想方法。
数学学习与数学思想厚重，数学思想方法促进符号意识和运算能力的发展。教学中应注重引导学生在数学知识学习中感悟数学思想方法，增强以数学思想方法指导的运算意识，以数学思想方法指导概括、抽象、建模和推理的思维活动，发展符号意识，提高运算能力，推理能力，提升数学的核心素养。

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