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第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
一、教学目标
1、正确认知正态分布
2、掌握利用正态分布解决一些问题的方法
二、教学重点、难点
重点：正确认知正态分布
难点：正确利用正态分布解决一些问题
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【情景】
高尔顿板与正态分布
【关于正态分布的视频欣赏】
正态分布
【问题】正态分布究竟是什么？
【阅读研讨】反复研读课本，同桌或小组交流记忆相关结论（用时约4-5分钟）
（二）阅读精要，研讨新知
【情景】
随机变量(random variable)
离散型随机变量 连续型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量(discrete random variable). 取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0的随机变量，称为连续型随机变量（continuous random variable）
【问题】自动流水线包装的食盐， 每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，
它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量)，用表示这种误差，
则是一个连续型随机变量，检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差
(单位: g)的观测值如下:
-0.6 -1.1 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.4 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1..4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
（1）如何描述这100个样本误差数据的分布
（2）如何构建适当的概率模型刻画误差的分布
【解读】
通过数据分析，画出频率分布直方图，接近一条光滑的钟形曲线， 如图所示.
随着样本数据量越来越大，分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知， 频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线， 如图所示.
由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数.
在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式：
，其中为参数.
【图象特征】显然，对任意的,它的图象在轴的上方.
可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.
我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.
若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布(normal distribution),
也称为高斯分布. 记为.
特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布.
【解读】若，则如图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，
而为区域的面积.
正态曲线及其特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称
（2）曲线在处达到峰值
（3）当无限增大时，曲线无限接近轴
正态曲线中的参数关系
函数的图象可由的图象平移得到.因此，在参数取定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移.
当取定值时，正态曲线的峰值与成反比， 对任意的，正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.
当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散.
【发现】若，则
【例题研讨】阅读领悟课本例题（用时约为1-2分钟，教师作出准确的评析.）
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min. 样本方差为36；骑自行车平均用时34 min. 样本方差为4.
假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布.
（1）估计的分布中的参数;
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线；
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种
交通工具 请说明理由.
解：（1） 随机变量的样本均值为30，样本标准差为6；
随机变量的样本均值为34，样本标准差为2.
用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到
（2）和的分布密度曲线如图7.5-7所示.
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具由图7.5-7 可知，
，
所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；
如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.
【发现】
3原则
0.682 7
0.954 5
0.997 3
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取中的值，统计学中称之为3原则.
【发现与困惑】上述表格中的标红的数字，与以前的课本有所误差，
唉……考试题中的答案，不可避免的要出现纠纷了.
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1．（多选）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是(　　)
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
解：由图象知，，，
所以，故A错；
因为，所以，故B错；
对任意正数，，故C错；
对任意正数，是正确的，故选ABC.
2．已知某批零件的长度误差 (单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差
落在区间(3,6)内的概率为(　　)
(附：若随机变量服从正态分布，则0.682 6，
0.954 4)
A．0.045 6 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4
解：由正态分布的概率公式知0.682 6，0.954 4，
所以(0.954 40.682 6)0.135 9，故选B.
3. 2010年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况；共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量服从正态分布，已知耗油量的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．
解：由题意可知,故正态密度曲线以为对称轴，又
所以
所以耗油量大于9升的汽车大约有 辆
答案：180
4. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图:
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 (同一组数据用该区间的中点值作代表);
（2）由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差．
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间(187．8,212．2)的产品件数,利用(i)的结果,求．
附: ．若,
则，.
解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
（2）(ⅰ)由(1)知,从而
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间的概率为0.6826
依题意知,
所以
（四）归纳小结，回顾重点
正态分布(normal distribution)~ 正态曲线~高斯分布. 记为.
，其中为参数.称为正态密度函数.
轴和曲线之间的区域的面积为1.
特别地，当时， 称随机变量服从标准正态分布.
正态曲线及其特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称
（2）曲线在处达到峰值
（3）当无限增大时，曲线无限接近轴
3原则
0.682 7
0.954 5
0.997 3
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取中的值，统计学中称之为3原则.
（五）作业布置，精炼双基
1. 完成课本习题7.5 1、2、3、4
2. 阅读课本《概率分布图及概率计算》
3. 阅读《小结》，完成复习参考题7
五、教学反思：（课后补充，教学相长）

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