资源简介

8.6 空间直线、平面的垂直（单元教学设计）
一、【单元目标】
1．知识与技能：
1. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角；
2. 了解直线与平面垂直的定义．
3. 理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．
4. 理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
5. 能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明．
6. 掌握直线与平面平行的性质定理；?
7. 能用直线与平面平行的性质定理解决相关问题；
8. 理解直线到平面的距离，两平行平面的距离定义.
9. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．
10. 了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．
11. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.
12. 掌握平面与平面垂直的性质定理；?
13. 运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；
14. 了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系.
2．数学学科素养
1．逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直、判断直线与平面垂直；
2．直观想象：面面垂直的定义、平面与平面垂直的性质定理；
3．数学运算：求两异面直线所成角、求直线到平面的距离，两平行平面的距离；
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
第一节直线与直线垂直是所有垂直关系的基础，在初中已经学过矩形，直角三角形等垂直关系，本节教材重点介绍了异面直线所成角，对平面中直线与直线的垂直关系进一步深化.也为后续线面垂直、面面垂直打下基础.
第二节线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。
第三节内容两个平面垂直的判定定理是平面与平面位置关系的重要内容.通过这节的学习可以发现:直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了套完整的证明体系,而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系,利用高维位置关系也能推导低维位置关系,充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位。这节课的重点是判定定理,难点是定理的发现及证明。
平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
第一课时：直线与直线垂直
第二课时：直线与平面平行的垂直
第三课时：平面与平面平行的垂直
教学重点：直线与直线、直线与平面、平面与垂直的判定定理；
教学难点：直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
8.6.1 直线与直线垂直
问题1：什么是异面直线所成角？
【答案】异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.
【破解方法】通过教室里的具体线条举例给学生演示异面直线所成的角，让学生加深理解。
问题2：怎么证明两条直线垂直？
【答案】如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b.
【破解方法】通过异面直线所成的角的理解，利用特殊情况交代两条直线相互垂直，初步的感受立体几何的证明思路.
典例分析
题型一 证明两直线垂直
例1.空间四边形，，，分别是，，的中点，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：点，分别是，的中点，，同理，
或的补角是异面直线与所成的角，
在中，，，，满足，，
即异面直线与所成的角是，
．
【变式训练】在空间四边形中，，、分别是、的中点，，求证：.
【解答】解：取的中点，连结，，，
因为、分别是、的中点，
所以，，
，，
所以与所成的角即为与所成的角．
在三角形中，，，，
所以三角形为直角三角形，所以，
即与所成角的大小为．
则．
解题技巧（证明两直线垂直的常用方法）
(1)利用平面几何的结论,如矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理;
(2)定义法:即证明两条直线夹角是90°;
(3)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线.
题型二 求异面直线所成的角
例2.如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：连接，
是长方体，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，，
平面．
（2）解：连接，，
为异面直线与所成角，
，
又平面，
，
在△中，，
，
异面直线与所成角的大小为．
【变式训练】如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）．
【解答】解：（1）证明：（1）设和交于点，连接，
，分别是，的中点，，
又面，面，
面．
（2）解：由（1）知，，
异面直线与所成的角就等于与所成的角，
即为异面直线与所成角，
，，且，
异面直线与所成角的正弦值为：
．
解题技巧 求异面直线所成角的一般步骤:
(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求
8.6.2 直线与平面垂直
问题1观察下面实例，你能否给出直线与平面垂直的定义？
【答案】1.直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。记作。
直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。唯一公共点P叫做垂足.
2.直线与平面垂直的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
【破解方法】通过实际例子，抽象出直线与平面垂直的定义，体现从具体到抽象的处理思路.
问题2：：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
【答案】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
【破解方法】通过结合教室里的具体例子，将抽象的概念具体化.
问题3：点到平面的距离怎么定义？
【答案】过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
【破解方法】通过观察实例，让学生思考点到平面距离的定义，提高学生的概括问题、分析问题的能力。
问题4：线面垂直的判定定理是怎么样的？
【答案】一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意：面内两条相交直线。
【破解方法】通过探究，让学生更形象的得到直线与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。
问题5：直线和平面所成角是怎么定义的，如何表示？
【答案】和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线，斜线和平面相交的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.平面的斜线和它在平面内的射影所成的角叫做直线和平面所成的角.
直线和平面所成角的取值范围为：。
【破解方法】通过具体例子讲解，理解直线与平面所成角的求法，提高学生解决问题的能力。
问题6：如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则那么直线a,b一定平行吗？能得出什么结论？有什么作用？
【答案】两直线平行，得出结论：直线和平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
作用：证线线平行。
【破解方法】通过具体例子讲解，理解直线与平面垂直的性质定理，提高学生解决问题的能力。
典例分析：
题型一：直线与平面垂直的判定
例1．如图正方体中，证明：
（1）；
（2）平面．
【解答】证明：（1）连接，
因为在正方体中，底面，
所以，
又底面为正方形，
所以，
平面，平面，，
所以平面，
所以．
（2）连接，因为在正方体中，侧面，
侧面为正方形，所以，，
又因为平面，平面，，
所以，平面，平面
所以，，
由（1）可知，
所以平面．
例2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上
（1）证明：平面
（2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离
【解答】证明：（1），，，即，
平面，，且
平面
解（2）三棱锥的体积为，
，．
．
为中点，即点到平面的距离等于点到平面的距离．
在中，由余弦定理可得．
由．
点到平面的距离为．
【变式训练】如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直．，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．
【解答】证明：（Ⅰ）设于交于点．
因为，且，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）连接．因为，，
且，所以平行四边形为菱形．所以．
因为四边形为正方形，所以．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．又，
所以平面．
题型二：直线与平面所成的角
例3．如图1所示，在平面多边形中，四边形为长方形，为正三角形，，，沿将折起到△的位置，使得平面平面（图．
（1）证明：；
（2）若点为线段的中点．求与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：由长方形的性质可得，
因为平面平面，平面平面，平面，
由面面垂直的性质有平面，又平面，
所以；
（2）解：作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
由面面垂直的判断定理可得平面，
连接，，取的中点，连接，，则，且，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
由平面，平面，可知，
同理可得，因为，
所以，又，所以，
在直角中，，，
易求，又，
所以，
所以，又，
所以，
即与平面所成角的正弦值是．
例4．如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
【解答】证明：（1）如图一，连接与交于点，连接．
在中，、为中点，.
又平面，平面，平面.
（2）证明：（方法一）如图二，，为的中点，、
又，，平面.
取的中点，又为的中点，、、平行且相等，
是平行四边形，、平行且相等．
又平面，平面，即所求角.
由前面证明知平面，，
又，，平面，此三棱柱为直棱柱．
设，，，.
（方法二）如图三，，为的中点，、
又，，平面.
取的中点，则，平面．
即与平面所成的角.
由前面证明知平面，，
又，，平面，此三棱柱为直棱柱．
设，，，.
【变式训练】如图所示，在正三棱柱中，，点为棱的中点．
（1）求证：平面
（2）求与平面所成角的正切值．
【解答】（1）证明：连接交于，连接
是的中点
是的中点，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：正三棱柱中，点为棱的中点．
平面，
平面．
平面，
过作，平面
平面．
是与平面所成角
，
由得
即与平面所成角的正切值为
8.6.3 平面与平面垂直
问题1： 在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？二面角的定义是怎么样的？如何画二面角及二面角的记法是怎样的？
【答案】1..二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
(3) 二面角的画法和记法：
面1－棱－面2 点1－棱－点2
二面角 二面角
【破解方法】通过观察实例，引入二面角的定义，提高学生分析问题的能力。
问题2：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？
【答案】二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
【破解方法】通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。
问题3：平面与平面垂直的定义是怎么样的？
【答案】一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：
图形表示：
【破解方法】通过观察，由实例引入两平面垂直，提高学生分析问题能力。
问题4：观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？
【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。
【破解方法】通过观察，由实例说明两平面垂直，提高学生分析问题能力。
问题5：平面与平面垂直的判定定理是怎么样的？
【答案】如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
图形：
符号语言：
简记：线面垂直，则面面垂直。
【破解方法】通过三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题能力。
问题6：平面与平面垂直的性质定理是怎么样的？其关键点和作用是什么？
【答案】两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
符号表示：
α⊥β，α∩β＝l， a⊥β
关键点：①线在平面内；②线垂直于交线
作用： ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
【破解方法】通过思考，引入平面与平面存在的额性质定理，提高学生分析问题的能力。
题型一：平面与平面的垂直判定定理
例7．如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥与四棱锥的体积之比．
【解答】解：证明：由已知平面，，
所以平面
又平面，
因为四边形为正方形，
所以
又，
因此平面
在中，因为、分别是、中点，
所以
因此平面
又平面，
所以平面平面；
（Ⅱ）因为平面，
四边形为正方形，不妨设，
则，所以，
是正方形，，
平面，，
又与相交于面，
面，所以即为点到平面的距离，
三棱锥，
所以．
例8．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．，，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【解答】证明（1）是的中点，是的中点，
，
又平面，平面，
平面
（2）底面，
，
又，且
平面，
而平面，
平面平面．
例9．如图，棱柱的侧面是菱形，
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为侧面是菱形，所以
又已知，且，
又平面，又平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）解：设交于点，连接，
则是平面与平面的交线，
因为平面，所以．
又是的中点，所以为的中点．
即．
【变式训练】已知中，，，平面，，、分别是、上的动点，且．
（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面平面；
（Ⅱ）当为何值时，平面平面？
【解答】证明：（Ⅰ）平面，，
且，平面．
又，
不论为何值，恒有，平面，平面，
不论为何值恒有平面平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又平面平面，
平面，．
，，，
，
，
由得，，
故当时，平面平面．
题型二：面面垂直性质定理的应用
例11．如图，在正四棱柱中，，是的中点．
（Ⅰ）求直线和平面所成角的大小；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求二面角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）连接．是正四棱柱，
平面，
是在平面上的射影，
是直线和平面所成的角
在△中，，
，
即直线和平面所成角的大小是
（Ⅱ）证明：在△和中，
，
△，．
，
由（Ⅰ）知，是在平面上的射影，
根据三垂线定理得，
（Ⅲ）设，连接．平面，且，
根据三垂线定理得，，是二面角的平面角
在中，由．
在中，，，
即二面角的大小是.
例12．如图，四棱锥中，底面，，，，，为棱上的一点，平面平面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）连接，取的中点，连接，
由此知，即为直角三角形，故．
又平面，故，
所以，平面，．
作，为垂足，因平面平面，
故平面，，与平面内的两条相交直线、都垂直，
平面，，．
，
所以
（Ⅱ）由，，，，知
，又．
故为等腰三角形．
取中点，连接，则，．
连接，则，．
所以，是二面角的平面角．
连接，，，
，
所以，二面角的大小为．
例13．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，，，，．
①求异面直线与所成角的余弦值；
②证明：平面；
③求二面角的正切值．
【解答】（Ⅰ）解：因为四边形是正方形，所以．
故为异面直线与所成的角．
因为平面，所以．故．
在中，，，
，故．
所以异面直线和所成角的余弦值为；
（Ⅱ）证明：过点作，交于点，
则．由，可得，
从而，又，，所以平面；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得，即为的中点．
取的中点，连接，则，
因为，所以．
过点作，交于，
则为二面角的平面角．
连接，可得平面，故．
从而．由已知，可得．
由，，得．
在中，，
所以二面角的正切值为．
【变式训练】如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【解答】证明：如图所示，连接，由是菱形且知，
是等边三角形．因为是的中点，所以，又，所以，
又因为平面，平面，
所以，而，因此平面．
又平面，所以平面平面．
解：由知，平面，平面，所以．
又，所以是二面角的平面角．
在中，．．
故二面角的大小为．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：在中，，，，则与相交或平行，故错误；
在中，，，，则与不一定垂直，故错误；
在中，，，，由面面垂直的判定定理得，故正确；
在中，，，，则由面面平行的判定定理得，故错误．
故选：．
2．在正四面体中，，，分别是，，的中点，下面四个结论中不成立的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：由可得平面，故正确．
若平面，垂足为，则在上，则，又
故平面，故正确．
由平面可得，平面平面，故正确．
故选：．
3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于　　．
【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为，底面积为12，
所以正四棱锥的高为3，
则侧面与底面所成的二面角的正切，
二面角等于，
故答案为
4．已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于　　．
【解答】解：已知如下图所示：
设，则，，
即为二面角的平面角
，且，
故答案为：
5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的大小．
【解答】（1）证明：平面，在平面内，
又，，平面
又在平面内，
（2）证明：连结，与相交于，连结
是平行四边形，是的中点
又为中点，
又在平面外，在平面内，平面
（3）解：过作，交于，交于，则为中点
，
又由 （1）（2）知，，，
（10分）
是二面角的平面角
连结，在中，
又，，
，即二面角的大小为．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．若是等边三角形所在平面外一点，且，，，分别是，，的中点，则下列结论中不正确的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：是等边三角形所在平面外一点，且，
，，分别是，，的中点，
，
平面，平面，平面，故正确；
，是中点，
，，
，平面，
，平面，故正确；
平面，平面，
平面平面，故正确；
设，连结，不是等边三角形的重心，与平面不垂直，
平面与平面不垂直，故错误．
故选：．
2．在正四面体中，，，分别是，，的中点，下面四个结论中不成立的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：选项，，分别是，的中点，
，
平面，平面，平面，即选项正确；
选项，正四面体，
和均为等边三角形，
又为的中点，
，，
，、平面，
平面，即选项正确；
选项，过点作平面，垂足为，则为的中心，
在上，且，
设与的交点为，连接，则，
，不重合，
平面与平面不垂直，即选项错误；
选项，平面，平面，
平面平面，即选项正确．
故选：．
3．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是　　．
【解答】解：将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，
，，，
是这个二面角的平面角，
设，则，
，
解得，
△是等边三角形，
‘，
这个二面角大小是．
故答案为：．
4．如图，已知三棱锥的四个顶点，，，都在球的表面上，是正三角形，是等腰直角三角形，，若二面角的余弦值为，则球到平面的距离为 　　．
【解答】解：取的中点，连接，，
由题可得：，，
因为二面角的余弦值为：，
在中，由余弦定理得，，
所以，线段为的球直径，故，
延长，过点作垂直于的延长线于点，，
所以球心到平面的距离为1．
故答案为：1．
5．如图，四边形是梯形，，，平面，、分别是、的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）因为四边形是梯形，，、分别是、的中点，可得，
所以，平面，平面；
（2）连接，由（1）可得，是平行四边形，，分别是的中点，．，，平面，可得平面，，，平面，，平面；
（3）由（2）可得：平面，所以二面角的平面角就是减去，，二面角的平面角为，
．
，，
．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本162页练习
2.课本习题8.5复习巩固及综合运用
七、【教学反思】

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