资源简介

4.3.1对数的概念 教学设计
教学目标
1. 经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念； 2. 能够说出对数与指数的关系，并能根据定义进行互化和求值； 3．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想; 4. 提升学生的数学抽象，数学运算，直观想象，数学建模等数学核心素养.
教学内容
教学重点： 1. 对数概念的理解；
2. 对数式与指数式的相互联系与转化.
教学难点： 对数概念的合理生成与深刻理解.
教材分析
本节课内容为人教A版数学必修第一册第四章第三节第一小节《对数的概念》,主要内容是对数概念的理解和指数式与对数式的相互转化. 教材将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.本节课是对数函数的入门，对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备.同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.
学情分析
1.已经学习函数的概念、表示法与一般性质，对函数有了初步的认识； 2.已经学习分数指数幂和指数函数，学生了解了研究函数的一般方法，逐步积累了从具体到抽象、从特殊到一般的研究经验。 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难： 1.对数的概念是一个全新的概念，学生理解起来有一定的困难，不能将对数的概念顺利纳入到已有的认知结构当中去. 2.不能深刻理解指数式和对数式之间的内在联系.
教法学法分析
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，为了帮助学生更好的理解指数式和对数式的相互关系和转化，借助信息技术工具，将式中三个量之间的对应用动画的形式形象的呈现给学生，以此突破重点，突破难点.最后作业中让学生分组查阅对数发明的历史背景，了解对数产生的必要性和合理性，加深对对数概念的理解，并增强数学文化的育人价值.
教学过程
教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图
情 境 问 题 在4.2.1的问题1中，我们得到经过年后地景区的游客人次为2001年的倍数之间的函数关系式为： 问题1 请你根据地景区的游客人次为2001年的倍数与所经过年数的关系设计一个问题. （1）经过20年游客人数为2001年的多少倍？ （2）经过多少年游客人数是2001年的2倍，3倍？ 教师：展示情景. 学生：学生思考. 教师：提出问题. 师生：根据题设条件，共同完成问题1. 【预设结果】 根据题设条件可提出的问题分为两类： 一类是已知经过的年数，求游客人数为2001年的倍数；另一类是已知游客人数为2001年的倍数，求经过的年数. 教师：具体地，可研究题设的两个具体问题： 学生：思考（1）、（2）并作答. 【预设结果】 问题（1）的答案为 问题（2）需设出未知数：设经过年后游客人数是2001年的2倍，3倍，则有： 情境引入. 提出问题. 呈现问题情境，设置开放问题，让学生轻松进入到课堂状态. 将一般问题具体化，让学生更容易展开对问题的思考、追问.
问 题 探 源 以上问题的数学本质指向方程 （其中）中已知两个量求第三个量的问题. 问题2 你能把以 上问题从已知、未知的 角度进行归类分析 吗？这两个问题之间 有什么联系？请借助 问题1中的结果说明. 教师： 在总结问题1的基础上提出问题2. 学生：思考问题2． 师生： 通过师生、生生对话解决问题 2. 【预设结果】 第一个问题可归类为已知，求.第二个问题可归类为已知，求.第一个问题是指数运算问题，第二个问题是一种新的运算，并且是和指数运算互逆的运算. 第一个问题举例，如“已知，求”可以求解；第二个问题举例， 如：“已知，求”目前不可解. 引导学生从较高的角度分析问题， 运用量纲思 想给问题分类，发现新旧知识联系.
存 在 性 探 讨 问题3满足方程的实数是否存在？如果存在，有几个？ 问题4 更一般地，对于方程（其中）中已知 求 是否存在呢 教师：提出问题3，引导学生运用指数函数知识解决. 学生：思考问题3. 师生：通过对话解答问题3. 【预设结果】 分别作出指数函数和的图像如下图所示，借助图像进行存在性和唯一性的说明，满足方程的实数存在且唯一. 教师：提出问题4. 学生：借助已有经验解答问题4. 【预设结果】更一般地，对于（其中），也可类似地进行存在唯一性的说明: 对于（其中），已知求是唯一存在的. 教师引导学 生借助已学 指数函数的 相关知识对 新问题的可 求解性进行 探讨分析, 并适时进行数学直观想象核心素养的渗透.
表 示 方 法 问题5 经过以上探究分析，我们知道满足方程中的是唯一存在的，并且都是实数，那么该如何表示呢？更一般地，“方程（其中）已知求”的 怎么表示呢？ 教师：提出问题5并对特殊情况下求进行说明. 学生：感悟特殊情况下的的表示，并类比迁移到一般情况. 【预设结果】从简单的特例入手： 由我们可以得到，但中的怎么表示呢？它是一个新数且与0.84和0.5都有关，于是我们引入新符号表示 ，即 ，这种新数就是对数，这种表示方式选取了对数的英文名logarithm 的前3个字母. 更一般地， 方程（其中），已知求可以表示为，即：自然引入新概念. 通过认知冲 突的建立和 消除引入新 数的表示符 号，为学生 创造性地解 决问题提供 必 要 地 训 练.
对 数 的 概 念 问题6 由对数的概念可知：指数式与对数式密切相关中，因而可以通过所学的指数知识来研究对数. （1）指数式与 对数式中的名称与位置有什么变化？ （2）根据指数式中的范围，你能得到对数式中相应的哪些性质 教师：一般地，如果（其中），那么数叫做以为底的对数（logarithm），其中叫做对数的底数，叫做真数.记作，读作：以为底的对数，并注意书写规范： 特别注意：是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写. 举例：由可知是以0.84为底0.5的对数，记作；由可知是以2为底3的对数，记作. 两类特殊的对数： （1）通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，简记为= （ 2 ）在物理、化学、建筑学等自然学科中还经常用到以常以无理数 （e=2.71828…）为底的对数，叫做自然对数，简记为=. 教师： 提出问题6. 学生：思考（1）（2）. 师生：通过对话解答问题. 【预设结果】(1) （2）指数式中可取任意实数，对应与对数式中可以取得任意实数，即：对数值可以是任意实数；指数 式中，对应与对数式中，即：对数的真数一定是正数，换句话 说：负数和零没有对数. 形成对数的 概念，展示 对数书写的 格式规范. 设计问题， 引导学生深 入理解对数 概念的内涵.
概 念 的 应 用 例1 将下列指（对）数式化为对（指）数式： 探究发现：求下列各对数的值. 思考：根据上面求得的值，你能得出真数为1和时对数的值有怎样的规律？ 教师：投影展示例1. 学生：独立完成例1. 师生：共同答疑解惑. 【预设结果】师生共同归纳出对数的性质：当时 （1） （2） 并借助指、对数关系式进行证明. 本道例题重在指数式和对数式的互化，强化学生对对数概念的理解，更加深刻的理解对数式和指数式的关系，并能准确的知道指数式和对数式各自量之间的对应，以及各自的范围.同时强化常用对数和自然对数。再次深刻的让学生意识到，对数就是一个数，求解对数值相当于求解指数式中的指数.最后深化学生数学运算能力的提高. 计算几组具体对数的值，让学生自然发现对数的两个性质，得出“1的对数为0，底数的对数为1”的结论.
课 堂 小 结 你从对数概念的引入、对数知识的研究过程 中学到了什么？ 师生： （1）对数的概念. （2）指数式和对数式的互化. （3）常用的对数结论. （4）思想方法：转化、类比、由特殊到一般、数形结合. （5）核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模. 结合对数概 念的生成过 程概括数学 新概念研究 方法.体会新概念形成过程，积累概念学习的一般规律.
布 置 作 业 基础篇： 1.习题4.3：复习巩固1、2； 3. 求下列各式中的值. 4、完成4.3.1点金与分层； 提高篇： 5.（1）已知满足等式求的值. （2）求值： （3）已知： 求的值. 课外篇： 6、分组完成课本的文献阅读与数学写作. 及时巩固本节课所学知识，同时为后续内容做好铺垫；让学生自己完成对数发明的历史背景，了解对数产生的必要性和合理性，加深对对数概念的理解，并增强数学文化的育人价值.
板 书 设 计 4.3.1 对数的概念 1.情景问题 2．对数的定义 3.指数式与对数式的互化 4.应用 例1 5.对数的常用性质 6.课堂小结 7.作业
教学反思
本节课的教学内容为：对数概念引入的必然性分析，对数的概念与对数的简单性质．具体教学中遵循以学生为中心，引导学生参与到“为什么引入对数概念，对数是什么，对数有哪些作用”的新概念建构过程中，通过问题链营造有效对话氛围，增强互动和及时反馈，提高课堂效率.本节课在内容上拓展了对数概念产生的必然性分析，借助学生具备的指数相关知识分析了对数的存在性，为学生更好地理解新概念搭建了必要的脚手架；在新概念的内涵解析方面通过沟通指对数关系，巩固了学生研究新概念的方法，为学生创造性地解决新问题提供了帮助；在知识的形成过程中，遵循事物认知的一般规律，以情境问题引入，继而转化为数学问题，让学生在明晰问题产生背景的基础上深化数学地理解问题的习惯，从已有数学知识入手分析问题、解决问题，弄清楚问题的来龙去脉，进而在新概念的基础上进一步建构对数的知识体系，形成对数概念、对数运算、对数函数以及对数运用的大数学的学习观；例、习题的配置上，力图体现知识的核心结构——指对数互化，在培养学生数学运算素养的同时， 强调新知建构，着眼于对数性质的直接运用；教案的设计上也重视学生基本思想、基本技能的培养，用对应的眼光审视必然性，用数形结合的思想解释新问题，以必要的逻辑推理体验数学味，进而陶冶学生的数学情感。

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