资源简介

8.4.1平面
一、内容和内容解析
内容：平面的三个基本事实及其推论．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第4节第1课时的内容．立体几何定性研究的重点是直线、平面间的位置关系.研究这些位置关系，需要学生对点、直线、平面这些组成立体图形的基本要素有所理解．在立体几何的研究中，立体图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决立体图形问题的重要思想方法，而转化的基本依据就是关于平面的基本事实及其推论.平面的性质与确定通过三条公理及其重要推论来刻画,通过教学使学生初步了解从具体的直观形象到严密的数学表述的方法,使学生的思维从直觉思维上升到分析思维.因此，本小节内容是几何学习的重要基础.
与点、直线一样，平面是不加定义的几何概念，三个基本事实刻画了平面的“平”和“无限延展”的特征.点是空间的基本元素，直线、平面都是点的集合，因此在图形语言和文字语言的基础上，用集合的符号表示几何对象及其之间的关系是自然的，并且书写简洁.立体几何中的概念、定理，一般要用图形、文字、符号三种语言形式表示．
二、目标和目标解析
目标：
（1）初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论．
（2）在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．
目标解析：
（1）会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论的内容；能利用三个基本事实说明平面“平”、“无限延展”的基本特征；能够利用三个基本事实和推论作图、证明简单问题．
（2）在探究三个基本事实的过程中，体会通过研究基本元素之间的位置关系来刻画基本元素特征的方法；体会从研究问题出发，通过直观感知、实验操作获得结论，再对某些结论通过说理或推理确认结论的研究立体几何问题的一般思路．发展直观想象和数学抽象的素养.
基于上述分析，本节课的教学重点定为：对平面的概念、三个基本事实和推论的理解．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：本节课所研究的三个基本事实和推论，是立体几何的理论基础．对于平面的概念，其“平”、“无限延展”是客观存在的，学生会对为什么学习这三个基本事实，并用它们对平面的特征进行刻画不理解．教学时要注意引导学生从公理化的角度理解平面的概念和三个基本事实之间的关系：基本事实的意义就是去刻画平面这一不加定义的概念，利用基本事实，就可以用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”．
2．教学问题二：在本节课的学习中，要用图形、文字、符号三种语言形式表述基本事实和推论．图形语言比较直观，文字语言也比较容易理解．但用集合的符号语言表示几何元素之间的关系以及几何命题，学生还不习惯．这种不习惯多数情况是学生对图形表达的几何要素之间的关系不理解．教学时要引导学生理解图形或文字语言所反映的几何关系的本质，逐步熟悉用符号语言进行表达．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：1.对三个基本事实和推论的理解；2.图形语言、文字语言、符号语言的相互转化．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到三个基本事实和推论，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中借助实物模型．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视三个基本事实和推论的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，基本事实的证明与基本事实的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
情境引入 [问题1] 初中时我们学习的是平面多边形，平面多边形是由哪些基本元素构成的？ 学生：点线． [问题2] 现在我们立体几何要研究的是空间多面体，它是由哪些基本元素构成的？ 学生：点线面. 探索新知 [问题3] 在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象而来的，那么现在的平面又是怎么来的呢？有什么特点呢？ 学生：平面是从课桌面、黑板面，平静的水面等抽象出来的，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的. 教师：小结． 1.平面的特点： 平面是绝对平的； 平面是无限延展的，不可度量; 平面没有厚度. 2.平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,如果平面是水平放置的,常把一组对边画成横向的,如果平面是竖直放置的,常把一组对边画成竖向的.如下图. (1)水平的平面 (2)竖直的平面 3.平面的表示 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等. [问题4] 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 思考： 1.过一点有几个平面？ 2.过两点有几个平面？ 3.过在同一直线上的三点有几个平面？ 4.过不在一直线上的三点有几个平面？(实物演示) 学生：1.过一点有无数个平面. 2.过两点有无数个平面. 3.过在同一直线上的三点有无数个平面. 4.过不在一直线上的三点有且只有一个平面. 教师：小结 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(文字语言) 图形语言： 作用：确定平面的主要依据. 实例：在日常生活中，我们经常看到这样一个场景：自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 空间中点与直线、平面的位置关系：点是空间最基本的元素，点动成线，线动成面，点撒成面，直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线和平面都可以看成是点的集合，因此，用集合的符号来表示几何对象之间的关系是自然的，并且书写简洁. [问题5] 直线l与平面α如果只有一个公共点P，那么直线在平面内吗？如果直线与平面有两个公共点，那么直线在平面内吗？ 学生：若一个公共点，直线不一定在平面内，两个公共点，则直线一定在平面内． 教师：小结 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.(文字语言) 图形语言： 符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 空间中直线与平面的位置关系： 作用：确定直线在平面内的依据. [问题6] 把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ 学生：由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线． 教师：小结 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(文字语言) 相交平面画法：如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如下图. 图形语言： 符号语言：P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 作用：判定两平面相交的依据. 教师：小结 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论(实物演示). 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 作用：确定一个平面. 通过观察图片，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力. 类比直线的特征，引出平面的特征，类比直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”． 通过思考，引入基本事实1，提高学生分析问题、概括能力. 通过讲解，让学生能用数学语言表示基本事实1，提高学生的数学素养. 通过讲解，让学生明白点与直线、平面关系的数学符号表示，教给学生数学语言的运用. 通过思考，引入基本事实2，提高学生分析问题的能力. 通过讲解，让学生能用数学语言表示基本事实2，提高学生的数学素养. 通过思考，引入基本事实3，了解两个相交平面交于一条直线. 通过讲解，让学生能用数学语言表示基本事实3，提高学生的数学素养.
小试牛刀 1.下列有关平面的说法是否正确： (1)书桌面是平面. (2)平面的形状是平行四边形. (3)面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. (4)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 2.下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可以确定一个平面 3.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________. 4.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论． 5.空间中四点可以确定几个平面？（ ） A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 1个或4个或无数个 答案：1.×××√ 2.D 3.0 4.4 5.D 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
课堂小结 [问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 1. 三个基本事实的内容； 2.三个基本事实的的作用； 3.三个推论. 五、课后作业 习题8.4 1,2,3,6,8题 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力.
六、教学反思
在教学过程中，应倡导“动手实验、直观感知、归纳猜想、操作确认”学习方式，充分体现学生的“主体性”，让学生不断经历“概念及定义的探索及发现过程”.这样能降低学生学习的难度，激发学生学习兴趣.

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