资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 《直线的倾斜角与斜率》
教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年7月
教学目标
教学目标： 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.通过问题思考探究理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 4.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 5.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率的实际问题．
教学内容
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线倾斜角与斜率。 直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法，并初步体会坐标法的思想。 1.教学重点： 理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系。 2.教学难点： 应用斜率公式求直线的斜率的实际问题
教学方法和策略
本课设计上以“引入—探究—归纳”模式作为教学特色。同时教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 学科素养： 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握倾斜角和斜率之间的关系. 4.掌握过直线斜率的计算公式，并应用解决实际问题
教学过程
导语：学生自学章引言的内容，3分钟左右 师：我们知道，点是构成直线的基本元素。在平面直角坐标系中，表示点用什么表示（几何问题）？ 生：坐标（代数问题） 师：直线（几何问题）用什么表示？ 生：用方程（代数问题）表示 师：本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线方程研究起位置关系等。 感受解析几何的发展，让学生了解数学发展，也引入到本节课课题——直线的倾斜角与斜率 问题：那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的相关问题，我们先需要弄清楚在平面坐标系中探索确定直线位置的几何要素，用代数方法把这些几何要素表示出来。 设计意图：解析几何是最基本的研究方法，需要学生经历多次的教学体验才能深刻理解的问题，。学生第一次接触坐标法，应该给学生思考时间（看引言内容）（第一次体验坐标法），然后讲解（师：通过简单的一问一答，让学生在对熟悉的问题理解的基础上，初步体会坐标法的核心思想）（第二次体验坐标法），通过课后阅读章引言，让学生进一步理解坐标法的本质问题（第三次体验坐标法） 一、倾斜角 1、引入 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 师：在平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定？ 问题2 在平面直角坐标系内给一个点，过这个点有无数条直线。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请学生手动操作体验 启发性讲解：（借助信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般地，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它就叫倾斜角。 教师给出倾斜角的定义: 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。图2中直线l的倾斜角为锐角，直线l’的倾斜角为钝角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 追问：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？ 教师根据学生回答给出倾斜角的几何意义： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 设计意图：倾斜角的概念符合概念教学的同化模式，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的已有相关概念产生联系，从而使得学生获得概念生成。 练习1：判断下列直线的倾斜角是否正确？ 练习2：已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ． 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 斜率 引入 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 问题1：将此图形抽象到坐标系中，（利用几何画板给出图形），演示出一条直线l与x轴的交点A相对固定，直线上另一点B在直线上运动，观察坡度情况？如果B点固定A点在x轴上运动，观察坡度的变化情况？ 概念生成： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 设计意图：首先把已知直线与x轴的交点相对固定，另一点沿着直线运动，产生“升高”和“前进”的印象，从而比较自然的反应出坡度问题（特殊情形），再把固定点也动起来，我们就很顺利的通过构造直角三角形作进一步分析（一般情况），这样动态化教学处理，使得知识的形成“鲜活”，更加自然。 2、引入二 由于两点可以确定一条直线，那么我们直线上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，可知直线l由P1，P2唯一确定。所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系的。 3、问题探究 问题2：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(详情教材52页) (1)已知直线l 经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示　(1)tan α＝＝.(2)tan α＝＝1－.(3)tan α＝ 设计意图：通过问题的特殊到一般探究过程，在已学向量知识建立起直线上两点坐标与切斜角的的关系，提供研究刻画直线倾斜程度（几何问题）到坐标运算（代数问题）的解决手段和内在联系。 4、提取公式 如果线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，可得斜率公式：k＝(x1≠x2) 5、知识拓展 教材54页，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)，则 6、练习：教材P54 例题1 三、倾斜角和斜率的应用 问题1：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？ 问题2：根据上面例题1进一步分析当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？ 引导学生发现斜率的正切值，结合正切正切函数y=tan x()的图象（图7） (同时借助辅助软件，动态观察其变化，总结出倾斜角与斜率的变化关系) 让学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系，引导学生发现不是所有直线都有些率。 结论： 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大
结论拓展： (1)当倾斜角为90°时，即x1＝x2时，直线的斜率不存在，. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 设计意图：利用正切函数的图象（几何问题）（课标要求是能画出正切函数的图象）进一步理解倾斜角的变化，引起斜率的变化情况（代数问题），应用数形结合思想，从函数角度理解两者关系。 例题解析： 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 四、课堂小结 1．知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围． (2)直线斜率的定义和斜率公式． 2．方法归纳：数形结合思想． 3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
教学反思
让学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的过程。因为数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。因此，本课设计上以“引入—探究—归纳”模式作为教学特色。同时教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

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